2020高考数学文科大一轮复习导学案《集合》含答案

第一章集合与常用逻辑用语
第一节集合
知识点一元素与集合
1．集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
2．集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A.
3．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
4．常用数集及其符号表示
1．判断题
(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)
(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B ＝C.(×)
(3)任何集合都有两个子集．(×)
2．(1)已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为1或4.
(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5.
(3)集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为7.
(4)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝－2.
解析：(1)∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.
(2)∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．
(3)因为A＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7.
(4)∵A⊆B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.
知识点二集合间的基本关系
3．(必修1P12习题1.1A组第5(2)题改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是(D)
A．{a}⊆A B．a⊆A
C．{a}∈A D．a∉A
解析：因为22不是自然数，所以a∉A.
4．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为7.
解析：集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.
知识点三集合的基本运算
1．集合的三种基本运算
2.活用集合的三类运算性质
并集的性质：
A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
补集的性质：
A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.
5．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B ＝(A)
A．{0,2} B．{1,2}
C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
解析：由题意知A∩B＝{0,2}．
6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a 的取值范围是(3，＋∞)．
解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，
∵A⊆B，B＝{x|x<a}，∴a>3.
1．集合中子集的性质
(1)一个集合的真子集必是其子集，一个集合的子集不一定是其真子集；
(2)任何一个集合是它本身的子集；
(3)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C(真子集也满足)；
(4)若A⊆B，则有A＝∅和A≠∅两种可能．
2．集合子集的个数：集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集、2n－1个真子集、2n－1个非空子集、2n－2个非空真子集．
3．注意补集的两个性质
∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．
4．在解决含参数的集合问题时，要注意分类讨论和集合的互异性的应用．
考向一集合的概念
【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )
A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
(2)设A ＝{2,3，a 2－3a ，a ＋2
a ＋7}，B ＝{|a －2|,2}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．
【解析】 (1)解法1：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1，0,1}，所以A 中元素的个数为3×3＝9，故选A.
解法2：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.
(2)因为4∈A ，即4∈{2,3，a 2－3a ，a ＋2
a ＋7}， 所以a 2
－3a ＝4或a ＋2
a ＋7＝4.
若a 2－3a ＝4，则a ＝－1或a ＝4；
若a ＋2a ＋7＝4，即a ＋2
a ＋3＝0，a 2＋3a ＋2＝0，
则a＝－1或a＝－2.
由a2－3a与a＋2
a＋7互异，得a≠－1.
故a＝－2或a＝4.
又4∉B，即4∉{|a－2|,2}，
所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6.
综上所述，a的取值集合为{4}．
【答案】(1)A(2){4}
(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义.
(2)依据元素与集合的关系确定参数时，往往要对集合中含参数的元素取值情况进行分类讨论，并要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
(1)设集合A＝{－1,0,2}，集合B＝{－x|x∈A且2－x∉A}，则B＝(A)
A．{1} B．{－2}
C．{－1，－2} D．{－1,0}
(2)已知集合A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( C ) A ．－1∉A B ．－11∈A C ．3k 2－1∈A
D ．－34∉A
解析：(1)若x ＝－1，则2－x ＝3∉A ，此时－x ＝1；若x ＝0，则2－x ＝2∈A ，此时不符合要求；若x ＝2，则2－x ＝0∈A ，此时不符合要求．所以B ＝{1}．
(2)当k ＝0时，x ＝－1，所以－1∈A ，所以A 错误；令－11＝3k －1，得k ＝－10
3∉Z ，所以－11∉A ，所以B 错误；令－34＝3k －1，得k ＝－11，所以－34∈A ，所以D 错误；因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ，则3k 2－1∈A ，所以C 正确．
考向二 集合的基本关系
【例2】 (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )
A ．A
B
B ．B A
C ．A ⊆B
D ．B ＝A
(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 (1)易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}．因此B
A .故选B.
(2)由x2－2 019x＋2 018<0，解得1<x<2 018，故A＝{x|1<x<2 018}．又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 018.
【答案】(1)B(2)[2 018，＋∞)
本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是(－∞，1]．
解析：A＝{x|1<x<2 018}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，如图所示，可得a≤1.
已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
(1)(2019·中原名校联考)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，
c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围为(B)
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪
⎪⎪
y ＝x 2
－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若
A ⊆
B ，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
34，＋∞. 解析：(1)解法1：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝{x |0<x <c }．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1，故选B.
解法2：A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝{x |0<x <1}，取c ＝1，得B ＝{x |0<x <1}，则A ⊆B 成立，可排除C 、D ；取c ＝2，得B ＝{x |0<x <2}，则A ⊆B 成立，可排除A ，故选B.
(2)因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
34，2，
所以y ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤716，2.又因为A ⊆B ，所以1－m 2
≤716，
解得m ≥34或m ≤－3
4. 考向三 集合的基本运算 方向1 集合的交、并、补运算
【例3】 (1)(2018·天津卷)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )
A ．{－1,1}
B ．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{2,3,4}
(2)(2019·山东临沂模拟)设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}
C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}
【解析】(1)由题意得A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，又C＝{x∈R|－1≤x<2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．故选C.
(2)A＝{x|2x(x－2)<1}＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，则∁U B＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}．
【答案】(1)C(2)B
方向2利用集合运算求参数
【例4】(1)(2019·邯郸二模)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是() A．[3,6) B．[1,2)
C．[2,4) D．(2,4]
(2)(2019·泰安二模)设全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|x>p}，
若(∁U A )∩B ＝∅，则p 应该满足的条件是( )
A ．p >1
B ．p ≥1
C ．p <1
D ．p ≤1
【解析】 (1)集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5<0}＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x |4x >2m }
＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x >m 2，∵A ∩B 有三个元素，∴1≤m
2<2，解得2≤m <4，∴实数m 的取值范围是[2,4)．
(2)∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |x >p }，∴∁U A ＝{x |x ≤1}，又(∁U A )∩B ＝∅，∴p ≥1.
【答案】 (1)C (2)B
集合的基本运算包括集合的交、并、补，解决此类运算问题一般应注意以下几点：一是看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提；二是对集合进行化简，有些集合是可以化简的，利用化简，可使问题变得简单明了，易于解决；三是注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn )图.
1．(方向1)(2019·江西南昌中学模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤2}，
B ＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}，则(∁U B )∩A ＝( D )
A ．(－∞，－1]
B ．(－∞，－1]∪(0,3)
C ．[0,3)
D ．(0,3)
解析：集合A ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0<x ≤4}，集合B ＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－1}．
因为全集U ＝R ，所以∁U B ＝{x |－1<x <3}，所以(∁U B )∩A ＝(0,3)，故选D.
2．(方向2)设A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围为1<a ≤2.
解析：依题设得：⎩
⎪⎨⎪⎧
(2－a )2
<1，
(3－a )2
≥1， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
1<a <3，
a ≤2或a ≥4.所以1<a ≤2. 3．(方向2)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝－1，n ＝1.
解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.
考向四 集合的新定义问题
【例5】 (2019·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，
定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B 中的所有元素之和为()
A．15 B．16
C．20 D．21
【解析】由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A ＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.
【答案】 D
与集合相关的新定义问题的解题思路
(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是(B)
A．7 B．10
C．25D．52
解析：因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，
所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．
由x∈A∩B，可知x可取0,1；
由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.
所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：
y
－1012 3
x
0(0，－1)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)
1(1，－1)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3) 所以A*B中的元素共有10个．
易错点：忽略空集是任何集合的子集出错
勿忘空集和集合本身．由于∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记．
典例 已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( )
A ．[－1,2)
B ．[－1,3]
C ．[2，＋∞)
D ．[－1，＋∞)
【易错分析】 集合B 为不等式2m －1<x <m ＋1的解集，但m 取值不同，解集也不同．当m ＋1≤2m －1时，集合B 为空集，而空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集，求解时应分B ＝∅和B ≠∅两种情况，结合数轴，讨论求解．
【解析】 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，得－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .
(1)当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪
⎧
－3≤2m －1，m ＋1≤4，
2m －1<m ＋1，
解得－1≤m <2. 综上，得m ≥－
1.
【答案】 D
易错警示 当题目中出现A ⊆B 或A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B 时，在解题过程中务必注意对集合A 进行分类讨论，即分A ＝∅和A ≠∅两种情况进行讨论，并注意对端点值的检验．
(2019·吉林长春检测)已知集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N *}，且A ∩B ＝A ，则a 的所有可能取值组成的集合是( D )
A ．∅
B.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
13 C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
13，14 D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫0，13，14 解析：由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .∵B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N *}＝{x |2<x ≤4，x ∈N *}＝{3,4}．当A ＝∅时，则方程ax －1＝0无实数解，∴a ＝0，此时显然有A ⊆B ，符合题意；当A ≠∅时，则由方程ax －1＝0，得x ＝1
a .要使A ⊆B ，则1a ＝3或1a ＝4，即a ＝13或1
4.综上所述，a 的所有可能取值组成的集合是⎩
⎨⎧
⎭⎬⎫0，13，14，故选D.。