2018-2019学年上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题(解析版)

上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A ．11 B ．12
C ．13
D ．14
【答案】C
【解析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式，即可得到结果. 【详解】
∵等差数列{}n a 的公差为2，且10100S =， ∴101109
1021002
S a ⨯=+⨯= ∴11a =
∴()7171213a =+-⨯=. 故选：C 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题. 2．等比数列的前项和为，已知
，
，则
（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由题意可知，
，
，解得：
，
，求得
，故选C.
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C
【解析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果. 【详解】
{}n a Q 是等差数列
()
102
ms m m a a S +∴=
=
()112m m m a a S S -⇒=-=--=-
又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，
11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 4．设02
πα<<，若11sin ,(sin )(1,2,3,)n x n x x n αα+===L ，则数列{}n x 是（ ）
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．奇数项递增，偶数项递减的数列
D ．偶数项递增，奇数项递减的数列
【答案】C
【解析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0sin 1a <<，进而可得函数(sin )x
y a =为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。

【详解】
根据题意，02
πα<<
，则0sin 1a <<，指数函数(sin )x
y a =为减函数
1sin 0(sin )(sin )(sin )1a a a a ∴<<=
即110(sin )1x
x a <<<
2110(sin )(sin )(sin )(sin )1,x x a a a a ∴<<<=
即13201x x x <<<<
32110(sin )(sin )(sin )(sin )(sin )1,x x x a a a a a ∴<<<<=
即134201x x x x <<<<<
324110(sin )(sin )(sin )(sin )(sin )(sin )1,x x x x a a a a a a ∴<<<<<=
即1354201,,x x x x x <<<<<<L
1357864201x x x x x x x x <<<<<<<<<<L ，
数列{}n x 是奇数项递增，偶数项递减的数列，故选：C. 【点睛】
本题涉及数列的函数特性，利用函数单调性，通过函数的大小，反推变量的大小，是一道中档题目。

二、填空题 5．1lim 1n n →∞
⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
__________. 【答案】1 【解析】由1
lim =0x n
→∞即可求得 【详解】
11
lim(1=lim1lim =1-0=1x x x n n
→∞→∞→∞--） 【点睛】
利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。

6．等差数列{}n a 中，若13,21,2n a a d ===，则n =___________. 【答案】10.
【解析】直接由等差数列的通项公式结合已知条件列式求解n 的值． 【详解】
在等差数列{}n a 中，由13a =，21n a =，2d =， 且1(1)n a a n d =+-，所以1213
192
n a a n d ---===， 所以10n =． 故答案为：10. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查用基本量法求n ．
7．数列{}n a 中，已知*
41322,n n n a n N =-+∈•，50为第________项.
【答案】4
【解析】方程变为4132-48=0n n -•，设2n x =，解关于x 的二次方程可求得。

【详解】
*41322,n n n a n N =-+∈•，则5041322n n =-+•，即4132-48=0n n -•
设2n x =，则213480x x --=，有16x =或3x =- 取16x =得216n =，4n =，所以是第4项。

【点睛】
发现2
42n n =（）
，原方程可通过换元，变为关于x 的一个二次方程。

对于指数结构242n n =（），293n n =（），2
255n n =（）
等，都可以通过换元变为二次形式研究。

8．{}n a 为等比数列，若1234126,52a a a a a ++=-=，则n a =_______. 【答案】123n -•
【解析】将1234126,52a a a a a ++=-=这两式中的量全部用1,a q 表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。

【详解】
12326a a a ++=相当于2
11=26a q q ++（）
， 4152a a -=相当于3211-1=(1)(1)52a q a q q q -++=（）
， 上面两式相除得12,q -=3q ∴=代入就得12a =，123n n a -∴=g
【点睛】
基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。

9．用数学归纳法证明*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n N +++=⋅⋅⋅-∈L L 时，从“n k =到1n k =+”，左边需增乘的代数式是___________. 【答案】2(21)k ⋅+.
【解析】从n k =到1n k =+时左边需增乘的代数式是(1)(11)
1
k k k k k ++++++，化简
即可得出． 【详解】
假设n k =时命题成立，则(1)(2)(3)()2135(21)k
k k k k k k ++++=⋅⋅⋅⋯-L ， 当1n k =+时，1
(2)(3)(11)2135(21)k k k k k k ++++++=⋅⋅⋅⋯+L
从n k =到1n k =+时左边需增乘的代数式是(1)(11)
2(21)1
k k k k k k +++++=++．
故答案为：2(21)k ⋅+.
【点睛】
本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 10．数列{}n a 满足1211,3,(2)(1,2,)n n a a a n a n λ+===-=L ，则3a 等于__________. 【答案】15.
【解析】先由11a =，23a =，结合1(2)n n a n a λ+=-，求出λ，然后再求出3a ． 【详解】
11a =Q ，23a =，1(2)n n a n a λ+=-， 223a λ∴=-=，1λ=-． 3(4)315a λ∴=-⋅=．
故答案为：15. 【点睛】
本题以数列的表示法递推法为背景，考查利用递推关系求数列中的项，考查基本运算求解能力．
11．数列{}n x 满足*
1112,2,,,n n n x x x n n N x a x b +-=-≥∈==，则2019x =_________.
【答案】b a -.
【解析】根据数列递推关系，列出前面几项，发现数列{}n x 是以6为周期的周期数列，然后根据周期数列的性质特点可得出2019x 的值． 【详解】
由题干中递推公式，可得：
1x a =， 2x b =，
321x x x b a =-=-，
432x x x b a b a =-=--=-， 543()x x x a b a b =-=---=-， 654()x x x b a a b =-=---=-， 765()x x x a b b a =-=---=，
876()x x x a a b b =-=--=， 987x x x b a =-=-，L
∴数列{}n x 是以6为最小正周期的周期数列．
201963363÷=Q L ，
20193x x b a ∴==-．
故答案为：b a -. 【点睛】
本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求数列任一项的值，考查不完全归纳法的应用，考查从特殊到一般的思想和基本的运算求解能力．
12．数列{}n a 满足下列条件：11a =，且对于任意正整数n ，恒有2n n a a n =+，则
512a =______.
【答案】512
【解析】直接由2n n a a n =+，可得
88785122562561281282562=128222a a a a a =+=+++=++=L ，这样推下去
，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。

【详解】
2n n a a n =+Q
5122568256812878128128192562=128222122212112512
a a a a a a ∴=+=+++=++==+++++-=+
-=L
L
故选C 。

【点睛】
利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道中等难度题目。

13．数列{}n a 定义为11cos ,sin cos ,1n n a a a n n θθθ+=+=+≥，则
21n S +=_______.
【答案】(
)
2
sin (1)cos n n n θθ+++
【解析】由已知得两式112sin cos ,+1sin cos n n n n a a n a a n θθθθ++++=++=+（），，
相减可发现原数列的奇数项和偶数项均为等差数列，分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的和，再相加得原数列前21n +的和 【详解】
112sin cos ,
+1sin cos n n n n a a n a a n θθθθ++++=+∴+=+Q （），
两式相减得2s n ,-i n n a a θ+=
数列的奇数项，偶数项分别成等差数列，
12sin cos a a θθ+=+，，
21sin cos sin cos cos sin a a θθθθθθ+-+-===21cos (1)sin n a n θθ-=+-，2sin (1)sin sin n a n n θθθ=+-=，
数列的前2n 项中所有奇数项的和为：
(1cos +
sin 2
n n n θθ-）
， 数列的前2n 项中所有偶数项的和为：
sin +sin +sin 22
n n n n θθθ
=（）（1）
2121
(1+sin cos +
sin 22
(1+sin cos +sin cos +sin 22
(1)cos (1)sin n n n n n n S n a n n n n n n n n n θ
θθθθθθθ
θθ++-=++-=++=+++）（1））（1）
【点睛】
对于递推式为2-n n a d a +=，其特点是隔项相减为常数，这种数列要分类讨论，分偶数项和奇数项来研究，特别注意偶数项的首项为2a ，而奇数项的首项为1a . 14．已知数列{}n a 是正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足112n n n S a a ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
.
若1
1
n n n n a b S S ++=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，则99T =_______.
【答案】
910
【解析】利用1n n n a S S -=-将112n
n n S a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
变为11112)2n n n n n S S S n S S ----⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭
（，整理发现数列{2n S }为等差数列，求出2
n S ，
进一步可以求出n a ，再将n a ，n S 代入n b ，发现可以裂项求n b 的前99项和。

【详解】
112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
Q
11112)2n n n n n S S S n S S --⎛⎫∴=+≥ ⎪⎝--⎭
（
11
1
2n n n n n S S S S S --+
-∴-=
2222111
11
(1)1)21(1n n n n n n n n S S S S S S S S S n n n n ---+=
--==+∴∴∴-=+-==≥∴）
当1n =时，11S =
符合n S
，n S ∴=
1-=-n n n a S S (2)n ≥
当1n =时，11a =
符合=n a
n a ∴=
11n n n n a b S S ++=
==
9912399119111010T b b b b =+++=+=-=
L L 【点睛】
一般公式1n n n a S S -=-的使用是将1n n S S --变为n a ，而本题是将n a 变为1n n S S --，
给后面的整理带来方便。

先求n S ，再求n a ，再求n b ，一切都顺其自然。

15．一个三角形的三条边成等比数列， 那么， 公比q 的取值范围是__________.
【答案】
11
22
q <<
【解析】【详解】
设三边按递增顺序排列为2
,,a aq aq ， 其中0,1a q ≥>.
则2
a aq aq +>， 即210q q --<.q <<
.
由 q ≥1 知 q 的取值范围是1≤q . 设三边按递减顺序排列为2
,,a aq aq ，其中0,01a q ><<.
则2
aq aq a +>，即2
10q q +->.
1q <<.
综上所述，
q <<
. 16．数列{}n a 满足123451,2,3,4,5a a a a a =====，当5n ≥时，
1121n n a a a a +=-L •••，则是否存在不小于2的正整数m ，使
222
1212m m a a a a a a =+++L L ••成立？若存在，则在横线处直接填写m 的值；若不存
在，就填写“不存在”_______. 【答案】70
【解析】构造数列222
1212()n n n b a a a a a a =+++-L L ••， 两式222
1212()n n n b a a a a a a =+++-L L ••与
222
1121121)(n n n b a a a a a a ---=+-++L L ••相减可得数列{n b }为等差数列，求出n b ，
让n b =0即可求出m . 【详解】
设222
1212()n n n b a a a a a a =+++-L L •• 222
1122111()n n n b a a a a a a ---∴=+++-L L ••
两式相减得2
1121)(1n n n n n b b a a a a a ---
--=L （）•• 又1121n n a a a a +=-L •••
222
1(1)(1)11n n n n n n n b b a a a a a --+-=--+==
数列{}n b 从第5 项开始为等差数列，由已知易得1234,,,b b b b 均不为0
5251694112065b =++++-=-Q 5(5)65570n b n d n n b +-=-+-=-∴=
所以当n=70的时候222
1212m m a a a a a a =+++L L ••成立，故答案填70.
【点睛】
如果递推式中出现和的形式，比如222
12n a a a +++L ，可以尝试退项相减，即让n 取1
n -后，两式作差，和的部分因为相减而抵消，剩下的就好算了。

三、解答题
17．等差数列{}n a 的前n 项和为46,
62,75n S S S =-=-，求数列{||}n a 前n 项和.
【答案】2
243,172343154,82
2n n n n T n n n ⎧-≤≤⎪⎪=⎨
⎪-+≥⎪⎩ 【解析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式求出公差和首项，由此能求出
323n a n =-，且780,0a a <>，当17n ≤≤时，2
4332n n n n T S -=-=，当8n ≥时，
2343
15422
n T n n =
-+。

【详解】
4662,75S S =-=-Q
11
466261575a d a d +=-⎧∴⎨+=-⎩
解得13,20d a =-，323n a n ∴=- 设从第+1n 项开始大于零，
则1
203(1)0
2030n n a n a n +=-+-≤⎧⎨
=-+≥⎩
7n ∴=，即780,0a a <>
当17n ≤≤时，2
4332
n n n n T S -=-=
当8n ≥时，2343
15422
n T n n =
-+ 综上有2
243,172343154,82
2n n n n T n n n ⎧-≤≤⎪⎪=⎨
⎪-+≥⎪⎩ 【点睛】
本题考查数列的前n 项和的求法，是中档题，注意等差数列的函数性质的运用。

18．已知数列{}n a 的前n 项和(
)2
*
21n S n n n N =-+∈
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足：(
)*
133log log n n a n b n N ++=∈，求{}n
b 的前n 项和n
T （结果
需化简）
【答案】（1）0,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；（2）()3899164
n n n n T -+=•；
【解析】（1）运用数列的递推式得1n =时，11a S =，2n ≥时，1n n n a S S -=-，化简计算可得所求通项公式；
（2）求得21
3n n b n -=⋅，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算
可得所求和． 【详解】
（1）2
21n S n n =-+可得110a S ==
2n ≥时，22
121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+--+--=-
则0,1
23,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
（2）数列{}n b 满足133log log n n a n b ++=，
可得3321log log n n n b -+=，即21
3n n b n -=⋅，
前n 项和32113233,n n T n -=⋅+⋅++⋅L
3521913233n n T n +=⋅+⋅++⋅L
两式相减可得3521
2183333
3n n n T n -+-=++++-⋅L 化简可得(
)38991
64
n n n n T -+=•
【点睛】
本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．
19．某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件；若做广告宣传，广告费为n 千元比广告费为(1)n -千元时多卖出
()2
n b
n N +∈件。

（1）试写出销售量n S 与n 的函数关系式；
（2）当10,4000a b ==时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？
【答案】(1))2
1
2(n n b S -=)(+∈N n (2)57875S = 【解析】试题分析：
(1)根据若做广告宣传，广告费为n 千元比广告费为(1)n -千元时多卖出()2n
b
n N +∈件，可得1211021
,,,222
n n n b b b
S S S S S S --=
-=-=L ，利用叠加法可求得n S . (2)根据题意在10,4000a b ==时,利润n S T n n 100010-=,可利用⎩⎨⎧≥≥-+1
1
n n n n T T T T 求最值.
试题解析：
（1）设0S 表示广告费为0元时的销售量，由题意知
1211021
,,,222
n n n b b b
S S S S S S --=
-=-=L ， 由叠加法可得
1
121112
21222212
n n n n
b b b S b b b +⎛⎫
- ⎪
⎛
⎫
⎝⎭
=++++=⋅=- ⎪⎝⎭
-L 即为所求。

（2）设当10,4000a b ==时，获利为n T 元，
由题意知，1
10100040000(2)10002n n n
T S n n =-=-
-， 欲使n T 最大，则11220
240
n
n n n n n T T T T +-⎧≥≥⎧⎪⇒⎨⎨≥≤⎪⎩⎩，易知5n =，此时57875S =.
【考点】叠加法求通项,⎩⎨⎧≥≥-+11
n n
n n T T T T 求最值.
20．设数列{}n a 的前n 项和n S .已知2*11212
1,,33
n n S a a n n n N n +==---∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）是否对一切正整数n ，有
1211151
31
n a a a n ++⋯+<-+？说明理由. 【答案】（1）2
n a n =；（2）对一切正整数n ，有
1211151
31
n a a a n ++⋯+<-+. 【解析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）对一切正整数n ，有1211151
31
n a a a n ++⋯+<-+， 考虑当3n ≥时，22111111(1211
n a n n n n =<=---+），再由裂项相消求和，即可得证。

【详解】
（1）2121233
n n S a n n n +=---Q
321112(1)(2)
2333
n n n n n n S na n n n na ++++∴=---=-
当2n ≥时，1(1)(1)
2(1)3
n n n n n S n a --+=--
两式做差得11222(1)(1)n n n n n a S S na n a n n -+=-=---+
111n n a a n n
+∴
-=+，11n a
n n n ∴=+-=
2(2)n a n n ∴=≥，当1n =时，上式显然成立，2n a n ∴=。

（2）证明：当3n ≥时，
22111111
(1211
n a n n n n =<=---+） 可得
12111111111111151111(=-)422435211321
n a a a n n n n n n ++⋯+=++-+-++-+-+--++L ）（
由
11111111))0211212(1)n n n n n n n +-=-=>++++（（ 可得1111
)211n n n +
>
++（ 即有5111-)321n n +
+（<51
-31
n + 则当3n ≥时，不等式成立。

检验1,2n =时，不等式也成立，综上对一切正整数n ，有1211151
31
n a a a n ++⋯+<-+。

【点睛】
本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键． 21．设集合(){}12,,,|{0,1}(1,2,,)n n i
S x x x x i n =
∈=L L ，其中*
,2n N n ∈≥.
（1）写出集合2S 中的所有元素；
（2）设()()1212,,,,,,,n n n a a a b b b S ⋯⋯∈，证明
“011011
1212222222n n n n a a a b b b --++⋯+=+++L ••••••”的充要条件是
“(1,2,,)i i a b i n ==L ” （3）设集合(){}1
2
,,,,|{0,1}(1,2,,,)n
i
S x x x x i n =
⋯⋯∈=L L ，设
()()1212,,,,,,,,,n n a a a b b b S ∈L L L L ，使得
1
2
12111222n
n a a a A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L •••，且
1
2
12111222n
n b b b B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L •••，试判断“A B =”是
“(1,2,)i i a b i ==L ”的什么条件并说明理由.
【答案】（1）(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)；（2）证明见解析；（3）充要条件. 【解析】（1） 根据题意，直接列出即可
（2） 利用
1
1
2
n
i i i a -=⋅∑的和的符号和最高次的相同，利用排除法可以证明。

（3） 利用（2）的结论完成（3）即可。

【详解】
（1）2S 中的元素有(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)。

（2）充分性：当i i a b =时，显然
0110111212222222n n n n a a a b b b --++⋯+=+++L ••••••成立。

必要性：011011
1212222222n n n n a a a b b b --++⋯+=+++Q L ••••••
0111122(2(2(20n n n a b a b a -∴++⋯+=••)•-)-)-b
()()1212,,,,,,,n n n a a a b b b S ⋯⋯∈Q {}1,0,1n n a ∈∴--b
若n n a -b =1，则011011
1122(2(2(222=20n n n n a b a b a --++⋯+++≠+⋯-)-))••-b • 若n n a -b =-1，则011011
1122(2(2(22=2-2--0-n n n n a b a b a --≠++⋯+⋯-)-)-••b •)
若n n a -b 的值有m 个1，和n 个-1。

不妨设2的次数最高次为r 次，其系数为1，则
1
2
1222
2
122(21)1012
r
r r r r
r r -------=-=--=>-L ，说明只要最高次的系数是
正的，整个式子就是正的，同理，只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系数只能是0，就是说0n n a =-b ，即i i a b =
综上“011011
1212222222n n n n a a a b b b --++⋯+=+++L ••••••”的充要条件是
“(1,2,,)i i a b i n ==L ”
（3）1212111222n
n a a a A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ••• 等价于1
20122n n n n a a a A --++⋅⋯⋅⋅++=⋅L 2
22
1
2
12111222n
n b b b B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L •••
等价于1
20122n n n n b b b B --++⋅⋯⋅⋅++=⋅L 2
22
由（2）得“2n A ⋅=2n B ⋅”的充要条件是“(1,2,,)i i a b i n ==L ” 即“A =B ”是“(1,2,,)i i a b i n ==L ” 的充要条件 【点睛】
本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。