东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(文)含答案

东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试
文科数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}
(){}
03,1 -==x x x B x x A ，则B A （ ） A ．（-1,0） B ．（0,1） C ．（-1,3） D ．（1,3）
2.若复数ai
i
z ++=
11为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．2
1
- D ．-1
3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771
用算筹可表示为（ ）
中国古代的算筹数码 A ．
B ．
C ．
D ．
4.右图所示的程序框图是为了求出满足2822
n n -的最小偶数n ，那么在
空白框内
填入及最后输出的n 值分别是（ ）
A ．1+=n n 和6
B ．2+=n n 和6 C.1+=n n 和8 D ．2+=n n 和8
5.函数x
x
x x f tan 1)(2
+
+=的部分图像大致为（ ）
A ．
B ．
C. D ．
6.等差数列{}n a 的公差不为零，首项11=a ，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列{}n a 的前9项之和是（ ） A ．9
B ．10
C.81 D ．90
7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3
cm ）是（ ）
A ．34
B ．
3310 C.32 D ．33
8
8.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，满足),(*
2
42
N n m a a a n m ∈=，则n
m 1
2+的最小值为（ ） A ．1 B ．
23 C.2 D ．2
9 9.已知过曲线x e y =上一点),(00y x P 做曲线的切线，若切线在y 轴上的截距小于0时，则0x 的取值范围是（ ）
A ．),0(+∞
B ．),1
(+∞e
C.),1(+∞ D ．),2(+∞
10.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角C AD B --，则过D C B A ,,,四点的球的表面积为（ ） A ．π3 B ．π4 C.π5 D ．π6 11.将函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=32sin )(πx x f 的图像向右平移a 个单位得到函数的图
象，则的值可以为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12.已知焦点在轴上的双曲线的左右两个焦点分别为和，其右支上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）
A
B
C ．
D ．
第Ⅱ卷（共90分）
()cos(2)4
g x x π
=+
a 512
π712
π924
π
14124
π
x 22
22
11
x y m m -=-1F 2F P 12PF PF ⊥12PF F ∆23
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设实数，满足约束条件则的最大值为 ．
14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为 ．（最后结果精确到整数位）
15.已知函数满足，当时，)9()8(f f +的值为 ．
16.已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2，点E 满足ED AE 2
1
=，点F 为CD 的的中点.若2-=⋅则⋅= ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2=b ，且
A c C a
B b cos cos cos 2+=.
（I ）求B 的大小；
（II ）求ABC ∆面积的最大值.
18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示．
x y 0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪+≤⎩
25z x y =++2.1161.13y x =-+()f x 1()
(1)1()
f x f x f x ++=
-(1)2f =80%[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)
（I ）求出a 的值；
（II ）求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（III ）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.
19.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别是线段，的中点，．
（1）证明：平面； （2）求平面与平面的距离．
20.在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，点在椭圆
上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最大值． 21.已知函数)()(,ln )(R m m x x g x x f ∈+==． （I ）若
)
(x g ≤恒成立，求实数m 的取值范围；
（II ）已知21,x x 是函数)()()(x g x f x F -=的两个零点，且21x x ，求证：121 x x
.
ABCD PA ⊥ABCD E F AD PB 1PA AB =
=//EF DCP EFC PDC C 22221(0)x y a b a b +=>>123
(1,)2M C C (2,0)P -(2,0)Q (1,0)l C A B APBQ ()f x
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：
，曲线：（）．
（I ）求与交点的极坐标； （II ）设点在上，，求动点的极坐标方程． 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，． （I ）当时，求不等式的解集； （II ）对于都有恒成立，求实数的取值范围．
xOy x 1C cos 3ρθ=2C 4cos ρθ=02
π
θ≤<
1C 2C Q 2C 2
3
OQ QP =P ()|2||23|f x x x m =+++m R ∈2m =-()3f x ≤(,0)x ∀∈-∞2
()f x x x
≥+m
数学（文科）试题参考答案
一、选择题
1-5: 6-10: CBACC 11、12：CB 二、填空题
13.14 14.38 15.3
7
16.-7 三、解答题 17.解： （1）由正弦定理
C
C
B b A a sin sin sin ==可得 B A
C C A B B sin cos sin cos sin cos sin 2=+=
∵0sin B ，故2
1cos =B ， ∵π B 0，∴3
π
=B
（2）由3
,2π
=
=B b ，由余弦定理可得422-+=c a ac ，
由基本不等式可得4,42422≤-≥-+=ac ac c a ac ，
而且仅当2==c a 时B ac S ABC sin 21=
∆取得最大值32
3421=⨯⨯， 故ABC ∆的面积的最大值为3.
18.解：（1）由，得， （2）平均数为岁； 设中位数为，则，∴岁． （3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为32121,,,,b b b a a .
设从5人中随机抽取3人，为（121,,b a a ），（221,,b a a ），（321,,b a a ），（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ），（321,,b b b ），共10个基本事件， 其中第2组恰好抽到2人包含（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ）共6个基本事件
CDCDD 10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=0.035a =200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=42.1x ≈
从而第2组抽到2人的概率5
3106==
19.解：（1）取中点，连接，，
∵，分别是，中点，∴，， ∵为中点，为矩形，∴，，
∴，，∴四边形为平行四边形， ∴，∵平面，平面， ∴平面．
（2）∵EF ∥平面PDC ，∴F 到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴DA PA ⊥，∵1==AD PA ，在PAD Rt ∆中2=DP ， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴CB PA ⊥，∵A AB PA AB CB =⊥ ,，∴⊥CB 平面PAB ，∴
⊥CB PB ，则3=PC ，∵222PC DC PD =+，∴PDC ∆为直角三角形，
∴2
2
2121=
⨯⨯=
∆PDC S PD E C PD C E V V --=，设E 到平面PDC 的距离为h ，
又∵A PA AD PA CD AD CD =⊥⊥ ,,，∴⊥CD 平面PAD 则212
1
131212131
⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
⋅h ∴4
2=
h ∴F 到平面PDC 的距离为
4
2 20.解：（1）∵
，∴， 椭圆的方程为，
将代入得
，∴， ∴椭圆的方程为． PC M DM MF M F PC PB //MF CB 1
2MF CB =E DA ABCD //DE CB 1
2
DE CB =//MF DE MF DE =DEFM //EF DM EF ⊄PDC DM ⊂PDC //EF PDC 1
2
c a =2a c =22
22143x y c c
+=3(1,)222
191412c c
+=2
1c =22
143
x y +=
（2）设的方程为，联立 消去，得，
设点，， 有，， 有， 点到直线
，
点到直线
，
从而四边形的面积（或）
令，，
有，设函数
，，所以在上单调递增，
有，故， 所以当，即时，四边形面积的最大值为6． 21.解：（1）令)0(ln )()()( x m x x x g x f x F --=-=，有x
x
x x F
-=-=
'111)(， 当1 x 时，0)( x F '，当10 x 时，0)( x F '，所以)(x F 在（1，+∞）上单调递减，在（0,1）上单调递增，
)(x F 在1=x 处取得最大值为m --1，
l 1x my =+22
1,43
1,x y x my ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
x 2
2
(34)690m y my ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 122634m y y m -+=
+12
29
34
y y m -=+2212(1)
||34
m AB m +==+P (2,0)-l (2,0)Q l APBQ 22112(1)234m S m +=⨯=+121
||||2
S PQ y y =-t 1t ≥22431t S t =
+2413t t
=+1()3f t t t =+2
1'()30f t t =->()f t [1,)+∞134t t
+≥2
2424
6313t S t t t
=
=≤++1t =0m =APBQ
若)()(x g x f ≤恒成立，则m --1≤0即1-≥m ，
（2）由（1）可知，若函数)()()(x g x f x F -=有两个零点，则2110x x 要证121 x x ，只需证121
x x
，由于)(x F 在（1，+∞）上单调递减，从而只需证()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛121x F x F ，由于()()1121ln ,0x x m x F x F -===， 即证0ln 1
1ln 11ln
111
111 x x x x m x x -+-=-- 令01
221)(),10(ln 21)(2
22 x x x x x x x h x x x x x h +-=
-+='-+-=， 有)(x h 在（0,1）上单调递增，
0)1()(=h x h ，
所以121 x x . 22.解：（1）联立，
∵，，
∴所求交点的极坐标．
（2）设
，且，，
由已知，得
∴
，点的极坐标方程为，． 23.解：（1）当时，
当解得；当
，恒成立； cos 3,
4cos ,
ρθρθ=⎧⎨=⎩cos θ=02
π
θ≤<
6
π
θ=
ρ=)6
π
(,)P ρθ00(,)Q ρθ004cos ρθ=0[0,
)2
π
θ∈23OQ QP =0
02,5,
ρρθθ⎧
=⎪⎨⎪=⎩24cos 5ρθ=P 10cos ρθ=[0,)2
π
θ∈2m =-41,0,3
()|2||23|21,0,2
345,.2
x x f x x x x x x ⎧
⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪
--≤-⎪⎩413,
0,
x x +≤⎧⎨≥⎩102x ≤≤302x -<<13≤
当解得， 此不等式的解集为． （2）令 当时，，当时，，所以在上单调递增，当
，所以在上单调递减， 所以，
所以，
当时，，所以在上单调递减， 所以， 所以， 综上，
．
453,3,2
x
x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩32
2x -≤≤-1|22x x ⎧
⎫
-≤≤⎨⎬⎩⎭
233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩
30
2x -
≤<22'()1g x x
=-+0x ≤<'()0g x ≥()g x [32x -≤≤'()0g x ≤()g x 3[,2-min ()(g x g =30m =+≥3m ≥-32x ≤-
22'()50g x x =-+<()g x 3(,]2
-∞-min 335()()026
g x g m =-=+≥356m ≥-3m ≥-。