13《13.1命题与证明》

D
1
E
C F
2
A
B
你有哪些收获?
⑴命题、逆命题、互逆命题的概念 ⑵什么叫证明 ⑶定理、逆定理、互逆定理的概念
谢谢！
条件变结论
命题“两直线平行，内错角相等”和它 的逆命题“内错角相等，两直线平行”都 是真命题，所以它们都是定理。因此它们 就是互逆定理。
归纳
互逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，
那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理。一个 定理与它的逆定理是互逆定理。
温馨提示：
（1）互逆定理必须都是真命题。 （2）一个定理一定有逆命题，但不一定有逆定理，只有当一个
证明真命题的步骤：
（1）根据题意画出图形； （2）根据题设和结论，结合图形，写出
“已知”和“求证”； （3）根据基本事实、 已有定理等进行证明
例题分析
证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角 相等，那么同位角也相等”是真命题。
第一步：
根据题意，画出图形
l3
3 1
l1
2
l2
证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角 相等，那么同位角也相等”是真命题。
｛ 3、命题的类型：
正确的命题叫做真命题 错误的命题叫做假命题
4、基本事实：有些命题经过实践检验被公认为真命题，
我们把这样的命题叫做基本事实
5、定理：
有些真命题，它们的正确性已经过演绎推理 得到证实，并被作为判定其他命题真假的依
据，这样的命题叫做定理
指出下列命题的题设和结论 1、如果两条直线相交，那么它们只
）
又∵ ∠1=∠2 （已知）
∴AB//EF
（内错角相等，两直线平行）
∴ CD// EF （ 平行于同一直线的两直线平行）
∴∠3=∠4
（ 两直线平行，同位角相等）
知识拓展
1、已知：AB∥CD, MH、NH分别平分∠AMN与∠CNM
求证：MH⊥NH （自己尝试证明）
M A
H1
2
C N
F
E B D
2、已知：如图直线c与直线a、b相交，且 ∠1=∠2。
定理的的逆命题是真命题时，该定理才有逆定理。 （3）互逆定理是互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理
1. 已知，如图，AB⊥BF， CD⊥BF，∠1=A∠12 B
求证： ∠3=∠4
C3
D
4
证明:∵ AB⊥BF， CD⊥BF （已知） E
2F
∴∠ B=∠CDF=90° （ 垂直定义 ）
∴AB// CD （ 同位角相等，两直线平行
试一试：
写出下列命题的逆命题，并判断其真假，对于 假命题，举出反例说明。 （1）两条直线被第三条直线所截，如果内错 角相等，那么这两条直线平行。 （2）如果ac>bc,那么a<b。 （3）如果两个数是偶数，那么这两个数的和 偶数。 （4）如果两个角是直角，那么这两个角相等。
证明
要说明一个命题是真命题，要从 命题的条件出发，根据已学过的 基本事实、定义、性质和定理等， 进行有理有据的推理，这种推理 的过程叫做证明。
题设：两条平行线被第三条直线所截
结论：内错角相等
将下列命题改写成”如果……那么” 的形式，然后指出它们的题设是什么? 结论是什么?
(1)同位角相等.
如果两个角是同位角，那么这两个角相等。
题设
结论
(2)形状和大小相同的两个三角形面积相等. 如果两个三角形的形状和大小相同，那么这两个三
题设 角形面积相等。
求证：a ∥ b c
3 1
a
2
b
3、已知:如图, ∠AOB+∠BOC=180°,OE
平分∠AOB,OF平分∠BOC,
求证:OE⊥OF
E
B
F
12
A
O
C
3、已知：如图DC//AB ，AD//BC。 求证：∠A=∠C
A
D
B
C
4.如图，DC//AB，DF平分∠CDB，BE平分 ∠ABD，求证：∠1=∠2
13.1 命题与证明
本节课的主要内容
1、什么叫做逆命题 2、什么样的两个命题叫做互逆命题 3、什么叫做证明 4、证明的一般步骤 5、什么叫做逆定理 6、什么样的两个定理叫做互逆定理
1、什么叫做命题：
能够进行肯定或否定判断的语句，叫做命题
2、命题的结构:
由条件和结论构成，写成“如果……，那么……”的形式
而且第一个命题的结论又是 第二个命题的条件
问题: (1)上述四个语句是命题吗?
这样的两个命题就 叫做互逆命题
(2)它们的题设,结论分别是什么?
(3)(1)和(2),(3)和(4)之间,你发现了什么?
一个命题的条件和结论，分别是另一个
归 命题的结论和条件的两个命题，称为互
纳 逆命题，其中一个叫做原命题，另一个
结论
（3）在同一个三角形中，等角对等边； 如果在同一个三角形中，有两个角相等，
题设 那么这两个角所对的边也相等。
结论
（4）对顶角相等。
如果两个角是对顶角， 那么这两个角相等。
题设
结论
观察交流
(1)两直线平行,同旁内角互补.
第一个命题的条件是第二个 命题的结 论
(2)同旁内角互补,两直线平行.
(3)对顶角相等. (4)相等的两个角是对顶角.
叫做原命题的逆命题。
命题的一般形式： 如果p，那么q, 其中p是条件，q是结论
逆命题的一般形式： 如果q，那么p, 其中q是条件，p是结论
“如果p,那么q ”中的条件和结论互换，便得 到“如果q，那么p”.我们把这样的两个命题称 为互逆命题，其中一个是原命题，另一个叫原 命题的逆命题
思考：原命题是真命题，那么它的逆命 题也是真命题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ？
第三步：
在“证明”中写出推 理过程，并且步步有 依据。
求证： ∠2=∠3 证明： ∵∠1=∠2
（ 已知 ）
l3
3 1
l1
∠1=∠3
∴∠2=∠3
（对顶角相等）
（等量代换）
2
l2
再探新知
定理：有些真命题它们的正确性已
经过演绎推理得到证实，并被作为判断 其他命题真假的依据，这样的真命题叫 做定理。
两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行 结论 变条件
第二步：
l3
在“已知”中写出条件， 在“求证”中写出结论
3 1
l1
已条知件：： 如图，直线 l 1 与 l 2 被 l3 所 截，∠1=∠2
求结证论：： ∠2=∠3
2
l2
证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角 相等，那么同位角也相等”是真命题。
已知：
如图，直线 l 1
与 l 2 被 l3 所 截，∠1=∠2
有一个交点； 题设：两条直线相交
结论：它们只有一个交点
2、如果∠1=∠2，∠2=∠3， 那么∠1=∠3； 题设：∠1=∠2，∠2=∠3
结论：∠1=∠3
3、两条直线被第三条直线所截，如果 同旁内角互补，那么这两条直线平行;
题设：两条直线被第三条直线所截，
同旁内角互补
结论：这两条直线平行
4、如果两条平行线被第三条直线所截， 那么内错角相等；
写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假。
（1）如果a=b，则a2=b2。 （2）等角的余角相等。 （3）同位角相等，两直线平行。
解（1）如果a2=b2 ，则 a=b。 （2）如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等。
（3）两直线平行，同位角相等。
提示：一个命题一定有逆命题，但是原命题与其逆命题的真假 没有任何关系