圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相像三角形、解直角三角形及二次函数的综合
种类一：圆与相像三角形的综合
1．如图， BC 是⊙ A 的直径，△ DBE的各个极点均在⊙ A 上， BF⊥ DE于点 F.求证： BD·BE
＝ BC·BF.
2．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，以 AC为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于点 E.
(1)求证：点 E 是边 BC的中点；
求证：2＝BD·BA；
(2)BC
(3)当以点 O， D， E，C 为极点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．
解：(1) 连接 OD，∵ DE为切线，∴∠ EDC＋∠ ODC
＝90° .∵∠ ACB＝90°，∴∠ ECD＋∠ OCD＝ 90° .
又∵ OD＝ OC，∴∠ ODC＝∠ OCD，
∴∠ EDC＝∠ ECD，∴ ED＝ EC.∵AC 为直径，∴∠
ADC＝ 90°，∴∠ BDE＋∠ EDC＝ 90°，∠ B＋∠
ECD＝ 90°，∴∠ B＝∠ BDE，∴ ED＝ EB，∴ EB＝
EC，即点 E 为边 BC的中点
(2)∵ AC为直径，∴∠ ADC＝∠ ACB＝90° .又∵∠ B＝∠ B，∴△ ABC∽△ CBD，∴ABBC＝ BCBD，∴B C2＝ BDBA
(3)当四边形 ODEC为正方形时，∠ OCD＝ 45° .∵AC 为直径，∴∠ ADC＝ 90°，∴∠ CAD＝90°－∠ OCD＝ 90°－ 45°＝ 45°，∴ Rt△ ABC 为等腰直角三角形
种类二：圆与解直角三角形的综合
3．如图，在△ ABC中，以 AC 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，且 D 是 BC 的中点，DE⊥ AB，垂足为点 E，交 AC 的延伸线于点 F.
(1)求证：直线EF是⊙ O 的切线；
(2)已知 CF＝ 5， cosA＝25，求 BE 的长．
解： (1)连接 OD.∵ CD＝DB，CO＝ OA，∴ OD 是△ ABC的中位线，∴
OD∥ AB， AB＝2OD.∵ DE⊥ AB，∴ DE⊥OD，即 OD⊥ EF，∴直线 EF
是⊙ O 的切线
(2)∵ OD∥ AB，∴∠ COD＝∠ A，∴ cos∠ COD＝ cosA＝ 25.在 Rt△ DOF
中，∵∠ ODF＝ 90°，∴ cos∠ FOD＝ ODOF＝ 25.设⊙ O 的半径为 r，
则 rr ＋ 5＝ 25，解得 r＝ 103，∴ AB＝ 2OD＝ AC＝ 203.在 Rt△ AEF中，
∵∠ AEF＝ 90°，∴ cosA＝ AEAF＝AE5＋ 203＝25，∴ AE＝ 143，∴ BE
＝AB－ AE＝203－ 143＝ 2
4．(2015 ·资阳 )如图，在△ ABC中， BC是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，且⊙ O 与 AC 订交于点D， E 为 BC 的中点，连接 DE.
(1)求证： DE 是⊙ O 的切线；
(2)连接 AE，若∠ C＝ 45°，求 sin∠ CAE的值．
解： (1)连接 OD，BD，∵ OD＝ OB，∴∠ ODB＝∠ OBD.∵ AB 是直
径，∴∠ ADB＝ 90°，∴∠ CDB＝ 90° .∵ E为 BC的中点，∴ DE
＝BE，∴∠ EDB＝∠ EBD，∴∠ ODB＋∠ EDB＝∠ OBD＋∠ EBD，
即∠ EDO＝∠ EBO.∵ BC 是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，∴ AB⊥ BC，
∴∠ EBO＝90°，∴∠ ODE＝ 90°，∴ DE 是⊙ O 的切线
(2)过点 E 作 EF⊥ CD于点 F，设 EF＝ x，∵∠ C＝45°，∴△ CEF，
△ABC 都是等腰直角三角形，∴CF＝ EF＝ x，∴ BE＝ CE＝ 2x，∴
AB＝ BC＝ 22x.在 Rt△ ABE中， AE＝ AB2＋ BE2＝ 10x，∴ sin∠ CAE＝ EFAE＝ 1010
5．如图，△ ABC 内接于⊙ O，直径 BD 交 AC 于点 E，过点 O 作 FG⊥ AB，交 AC 于点 F，交 AB 于点 H，交⊙ O 于点 G.
(1)求证： OF·DE＝ OE·2OH；
(2)若⊙ O 的半径为12，且 OE∶OF∶ OD＝ 2∶3∶ 6，求暗影部分的
面积． (结果保存根号 )
解： (1)∵ BD 是直径，∴∠ DAB＝ 90° .∵ FG⊥ AB，∴ DA∥ FO，
∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OFDE＝OEAD.∵O 是
BD 的中点， DA∥ OH，∴ AD＝ 2OH，∴ OFDE＝ OE2OH
(2)∵⊙ O 的半径为12，且 OE∶ OF∶ OD＝2∶ 3∶ 6，∴ OE＝ 4， ED
＝8，OF＝ 6，∴ OH＝ 6.在 Rt△OBH 中，OB＝ 2OH，∴∠ OBH＝ 30°，
∴∠ BOH＝ 60°，∴ BH＝ BOsin60°＝ 12× 32＝ 63，∴ S 暗影＝ S 扇形 GOB－S△OHB＝
60×π× 122360－ 12× 6×63＝ 24π－ 183
种类三：圆与二次函数的综合
6．如图，在平面直角坐标系中，已知 A(－ 4，0)， B(1，0)，且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半轴
于点 C(0，2)，过点 C作圆的切线交 x 轴于点 D.
(1)求过 A，B， C 三点的抛物线的分析式；
(2)求点 D 的坐标；
(3)设平行于 x 轴的直线交抛物线于E，F 两点，问：能否存在以线段EF为直径的圆，恰巧与
x轴相切若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明原因．
解： (1)y＝－ 12x2－ 32x＋2
(2)以 AB 为直径的圆的圆心坐标为O′ (－32，0)，
∴O′ C＝ 52， O′ O＝ 32.∵ CD为圆 O′的切线，
∴O′ C⊥ CD，∴∠ O′CO＋∠ DCO＝ 90° .又∵
∠CO′ O＋∠ O′ CO＝90°，∴∠ CO′ O＝∠
DCO，∴△ O′ CO∽△ CDO，∴ O′ OOC＝ OCOD，
∴322＝ 2OD，∴ OD＝ 83，∴点 D 的坐标为 (83，
0)
(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－ 32，设满
足条件的圆的半径为|r| ，则点 E 的坐标为 (－ 32＋ r， r)或 F(－ 32－r ， r)，而点 E 在抛物线y ＝－ 12x2－ 32x＋2 上，∴ r＝－ 12(－ 32＋ |r|)2 － 32(－ 32＋ |r|) ＋ 2，∴ r1＝－ 1＋ 292， r2＝－1－ 292(舍去 )．故存在以线段EF 为直径的圆，恰巧与x 轴相切，该圆的半径为－1＋ 292
7．如图，抛物线y＝ax2＋ bx－ 3 与 x 轴交于 A， B 两点，与y 轴交于点C，经过 A，B， C 三
点的圆的圆心抛物线的极点为M(1 ，m)恰幸亏此抛物线的对称轴上，
E.
⊙ M的半径为.设⊙ M与y 轴交于点D，
(1)求 m 的值及抛物线的分析式；
(2)设∠ DBC＝α，∠ CBE＝β，求 sin( α－β)的值；
(3)研究坐标轴上能否存在点 P，使得以 P， A， C 为极点的三
角形与△ BCE相像若存在，请指出点 P 的地点，并直接写出
点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．
解： (1)由题意，可知 C(0，－ 3)，－ b2a＝1，∴抛物线的分析
式为 y＝ ax2－ 2ax－ 3(a＞ 0)．过点 M 作 MN ⊥y 轴于点 N，连
接 CM，则 MN ＝ 1， CM＝ 5，∴ CN＝ 2，于是 m＝－ 1.同理，
可求得 B(3，0)，∴ a× 32－ 2a× 3－ 3＝0，解得 a＝ 1. ∴抛物
线的分析式为 y＝ x2－ 2x－3
(2)由 (1)得， A(－1 ，0)， E(1，－ 4)， D(0， 1)，∴△ BCE为直角三角形， BC＝32， CE＝ 2，∴OBOD＝31＝ 3， BCCE＝ 322＝3，∴ OBOD＝ BCCE，即 OBBC＝ ODCE，∴ Rt△BOD∽ Rt△BCE，得∠ CBE＝∠ OBD＝β，所以 sin(α－β )＝sin(∠ DBC－∠ OBD)＝ sin∠ OBC＝ COBC＝ 22
(3)明显 Rt△ COA∽ Rt△ BCE，此时点 O(0， 0)．过点 A 作 AP2⊥ AC 交 y 轴的正半轴于点 P2，由 Rt△ CAP2∽Rt△ BCE，得 P2(0，13)．过点 C 作 CP3⊥ AC交 x 轴的正半轴于点 P3，由 Rt△
P3CA∽ Rt△ BCE，得 P3(9，0)．故在座标轴上存在三个点 P1(0， 0)，P2(0， 13)，P3(9， 0)，使得以 P， A， C为极点的三角形与△ BCE相像。