等差数列的通项公式推导与应用练习

等差数列的通项公式推导与应用练习等差数列是数学中常见的一种数列，它的每一项与前一项之间的差固定。

等差数列在实际问题中有广泛的应用，如财务分析、物理学、统计学等。

本文将介绍等差数列的通项公式推导，并通过实例演示其应用。

一、等差数列通项公式的推导
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an。

根据等差数列的定义可知，an=a₁+(n-1)d。

因此，我们可以通过推导得出等差数列的通项公式。

首先，我们将等差数列的前n项和Sₙ表示为：
Sₙ=a₁+a₂+a₃+⋯+aₙ
由于等差数列的对称性，我们可以将Sₙ按从两端向中间进行相加的方式分组，如下所示：
Sₙ=（a₁+ aₙ）+（a₂+aₙ₋₁）+⋯+（aₙ+a₁）
根据等差数列的定义，我们可以将每一对括号中的两项相加整理得到：
Sₙ=（a₁+aₙ）+（a₁+d+aₙ₋₁−d）+⋯+（aₙ−₁+d+a₂−d）
+a₁+aₙ
将等差数列的前n项和Sₙ代入上述等式中可得：
Sₙ=（n/2）×（a₁+aₙ）
然后，我们将等差数列的前n项和Sn减去公差d的n-1项得到：
Sₙ-d(n-1)=a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)+⋯+（a₁+（n-2）d）+（a₁+（n-1）d）=（n/2）×（a₁+aₙ）
即：
Sₙ-d(n-1)=Sₙ
将等差数列的前n项和Sn-d(n-1)代入等式Sₙ=（n/2）×（a₁+aₙ）
中可得：
Sn=（n/2）×（a₁+aₙ）+d(n-1)
通过移项整理，我们可以得到等差数列的通项公式：
an=a₁+(n-1)d
二、等差数列的应用练习
下面通过一些实例，来练习应用等差数列的概念和通项公式。

例题一：
某公交车每隔15分钟经过一站，首班车是6:00，末班车是22:00。

某乘客在8:20从首站上车，请问他在第几站下车？
解答：
首先，我们需要确定等差数列的首项a₁和公差d。

由于首班车是
6:00，末班车是22:00，所以两个时间之间相差的分钟数为16 × 60 =
960分钟。

因此，a₁=0，d=15。

乘客上车的时间是8:20，即到首班车时间的时差为8 × 60 + 20 =
500分钟。

乘客下车的时间则是第n站末班车的时差。

根据等差数列的
通项公式an=a₁+(n-1)d，我们可以得到下面的等式：
500 = 0 + (n-1) × 15
解方程可得n-1=33，即n=34。

因此，乘客在第34站下车。

例题二：
某学生的语文成绩等差递增，前三次考试的成绩分别为80、85、90。

如果该学生有10次语文考试，求出他的最后一次考试成绩。

解答：
根据题意，我们知道该学生的语文成绩是等差递增的，且前三次考
试成绩分别为80、85、90。

设等差数列的首项a₁=80，公差d等于后
一次考试成绩与前一次考试成绩之差，即d=85-80=5。

根据等差数列的通项公式an=a₁+(n-1)d，我们可以得到最后一次考
试成绩：
an = 80 + (10-1) × 5 = 80 + 45 = 125
因此，该学生的最后一次考试成绩为125分。

结论：
等差数列的通项公式推导和应用是我们在解题过程中必须掌握的数
学概念。

通过推导等差数列的通项公式，我们可以更方便地计算数列
中的任意一项。

通过应用等差数列的概念和通项公式，我们可以解决
各种实际问题，如计算时间、成绩等。

掌握了等差数列的推导和应用，我们能够更加灵活地运用数学知识解决实际问题。