初中数学人教版九年级上册《公式法》课件

ax2+bx=-c．
二次项系数化为1，得




2 + = − ．
2
配方，得 +
即
2
+
2
=



+
2
2
2 −4
．
42
=

−

+
2
．
2

+
2
2
2 − 4
=
42
因为a≠0，所以4a2＞0．
式子b2－4ac的值有以下三种情况：
2
(1) − 4>0
的实数根.试判断此三角形的形状.
解：方程整理得(b+c)x2-2ax-(b-c)=0，
因为方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根，
所以Δ=4a2-4(b+c)·[-(b-c)]=0，
即a2+b2=c2，
所以此三角形为直角三角形．
谢谢大家
1
为 > − 4 且 ≠ 0 ．
解：因为a=m 2 ，b=2m+1，c=1，方程有两个不相等的实数根，
所以Δ=b2-4ac=(2m+1)2-4m2=1+4m＞0，
1
4
所以m＞− ．
又因为二次项系数不为0，
所以m≠0，
1
4
即m＞− 且m≠0．
一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a≠0) 根的判别式 Δ＝b2－4ac．
人教版 九年级数学上
21.2.2
公式法
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移 → 二化 → 三配→ 四开．
1．了解一元二次方程根的判别式．
2．会用一元二次方程根的判别式判断根的情况．
3．能根据根的情况，确定方程中字母系数的取值范围．
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
移项，得
有两个相等的实数根这两种情况，此时 Δ ≥ 0，不要漏掉等号．
知识点1
判断方程根的情况的方法：
1．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 中的左边是一个完全
平方式，则该方程有两个相等的实数根；
2．若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两个不相
等的实数根；
3．当方程中a，c同号时，必须通过Δ的符号来判断根的情况．
所以此方程没有实数根.故选A.
利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1)3 2
3
2
− 4 − = 0；
Δ= −4
2
−4×3×
3
−
2
= 34 > 0
两个不相等的实根
(2) 25x2-20x+4=0．
Δ= −20
2
− 4 × 25 × 4 = 0
两个相等的实根
关于 x 的方程 m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围
方程转化为（x-2) 2+1= a ，要使方程成立，即a-1≥0，
解得a≥1 ，所以a的取值范围为 a≥1 ．
一元二次方程 x2−5x＋7＝0 的根的情况是( A
A． 没有实数根
C． 有两个不相等的实数根
)
B． 有两个相等的实数根
D． 有两个实数根
解：要判断方程是否有根，第一要判断Δ，
因为 Δ= (-5)2-4×1×7= -3<0，
2 −4
>0
42

2 − 4
+
=±
2
2
1 =
−+ 2 −4
,
2
2 =
−− 2 −4
2
方程有两个不相等的实数根．

+
2
2
2 − 4
=
42
因为a≠0，所以4a2＞0．
式子b2－4ac的值有以下三种情况：
(2) 2
− 4=0
2 −4
所以k≤0．
又因为二次项系数不为0，
所以k+1≠0，即k≠−1．
故k 的取值范围为k≤0 且 k≠-1.
D．k≤0 且 k≠-1
（202X·河南中考）一元二次方程（x+1）（x-1）=2x+3的根的情况是（ A ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
解：原方程可化为x²-2x-4=0，
通常用希腊字母“Δ”表示它，即 Δ＝b2−4ac．
知识点1
根的判别式 Δ＝b2－4ac
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根有三种情
况：
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程无实数根．
一元二次方程有实根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和
所以 k≠0且Δ＞0，即 (-4)2-4×k×2＞0，
解得 k＜2且 k≠0，
所以k的取值范围为 k＜2且 k≠0．
若关于 x 的一元二次方程 x2 －4x＋5＝a 有实数根，则 a 的取值范围是D
(A． a＜1
)
B． a＞1
C． a≤1
D． a≥1
解：因为关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋5＝a有实数根，
∴ a=1，b=-2，c=-4，
∴ ∆=（-2）²-4×1×（-4）=20>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根.
不解方程，直接判断下列一元二次方程根的情况：
(1) x2-4x-5=0；
(2) 2x2+3x+5=0；
(3) 4x2=4x-1．
两个不相等实根
没有实数根
两个相等实根
已知a，b，c为三角形的三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等
判别式的情况
根的情况
Δ＞0
两个不相等的实根
Δ＝0
两个相等的实根
Δ＜0
无实根
关于 x 的一元二次方程 (k+1)x2-2x+1=0 有两个实数根，则 k 的
取值范围是( D )
A．k≥0
B．k≤0
C．k<0 且 k≠-1
解：因为方程有两个不相等的实数根，
所以Δ=b2-4ac= (-2) 2-4(k+1)= -4k≥0，
42
=0
1 = 2 =
−
2
方程有两个相等的实数根．

+
2
2
2 − 4
=
42
因为a≠0，所以4a2＞0．
式子b2－4ac的值有以下三种情况：
(3) 2
− 4<0
2 −4
42
<0
方程无实数根．
知识点1
一般地，式子 b2−4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的判别式，
知识点1
一元二次方程根的判别式的应用：
1．不解方程，判断方程根的情况；
2．根据方程根的情况，确定方程中的字母的取值范围；
3．应用判别式证明方程根的情况．
跟踪训练
若关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+2=0有两个不相等的实数根，则 k 的取
值范围为 k&l元二次方程 kx2-4x+2=0有两个不相等的实数根，