高中物理竞赛热学

高中物理竞赛——热学
一．分子动理论
1、物质是由大量分子组成的（注意分子体积和分子所占据空间的区别）
对于分子（单原子分子）间距的计算，气体和液体可直接用3分子占据的空间，对固体，则与分子的空间排列（晶体的点阵）有关。

【例题1】如图6-1所示，食盐（N a Cl ）的晶体是由钠离子（图中的白色圆点表示）和氯离子（图中的黑色圆点表示）组成的，离子键两两垂直且键长相等。

已知食盐的摩尔质量为58.5×10－3
kg/mol ，密度为2.2×103kg/m 3，阿伏加德罗常数为6.0×1023mol －1，求食盐晶体中两个距离最近的钠离子中心之间的距离。

【解说】题意所求即图中任意一个小立方块的变长（设为a ）的2倍，所以求a 成为本题的焦点。

由于一摩尔的氯化钠含有N A 个氯化钠分子，事实上也含有2N A 个钠离子（或氯离子），所以每个钠离子占据空间为 v =
A
m ol
N 2V
而由图不难看出，一个离子占据的空间就是小立方体的体积a 3 ， 即 a 3 =
A
m ol N 2V = A
m ol N 2/M ρ，最后，邻近钠离子之间的距离l =
2
a
【答案】3.97×10－10m 。

〖思考〗本题还有没有其它思路？
〖答案〗每个离子都被八个小立方体均分，故一个小立方体含有8
1×8个离子 = 2
1分子，
所以…（此法普遍适用于空间点阵比较复杂的晶体结构。

） 2、物质内的分子永不停息地作无规则运动
固体分子在平衡位置附近做微小振动（振幅数量级为0.1A 0
），少数可以脱离平衡位置运动。

液体分子的运动则可以用“长时间的定居（振动）和短时间的迁移”来概括，这是由于液体分子间距较固体大的结果。

气体分子基本“居无定所”，不停地迁移（常温下，速率数量级为102
m/s ）。

无论是振动还是迁移，都具备两个特点：a 、偶然无序（杂乱无章）和统计有序（分子数比率和速率对应一定的规律——如麦克斯韦速率分布函数，如图6-2所示）；b 、剧烈程度和温度相关。

气体分子的三种速率。

最可几速率v P ：f(v) = N
N ∆（其中ΔN
表示v 到v +Δv 内分子数，N 表示分子总数）极大时的速率，v P =μRT
2=m kT 2 ；平均速率v ：所有分子速率的算术平均值，v
=
πμ
RT 8=
m
kT 8π；方均根速率2
v ：与分子平均动能密切相关的一个速
率，
2
v =
μ
RT 3=
m
kT 3〔其中R 为普适气体恒量，R = 8.31J/(mol.K)。

k 为玻耳兹曼常量，k =
A
N R = 1.38×10－23J/K 〕
【例题2】证明理想气体的压强P = 3
2n K ε，其中n 为分子数密度，K ε为气体分子平均动能。

【证明】气体的压强即单位面积容器壁所承受的分子的撞击力，这里可以设理想气体被封闭在一个边长为a 的立方体容器中，如图6-3所示。

考查yoz 平面的一个容器壁，P =
2
a F ①
设想在Δt 时间内，有N x 个分子（设质量为m ）沿x 方向以恒定的速率v x 碰撞该容器壁，且碰后原速率弹回，则根据动量定理，容器壁承受的压力
F =t
p ∆∆=t
mv 2N x x ∆• ②
在气体的实际状况中，如何寻求N x 和v x 呢？
考查某一个分子的运动，设它的速度为v ，它沿x 、y 、z 三个方向分解后，满足 v 2 = 2x v + 2y v + 2z v
分子运动虽然是杂乱无章的，但仍具有“偶然无序和统计有序”的规律，即
2v = 2x
v + 2y v + 2z v = 32x v ③
这就解决了v x 的问题。

另外，从速度的分解不难理解，每一个分子都有机会均等的碰撞3个容器壁的可能。

设Δt =
x
v a
，则
N x = 6
1·3N 总 = 2
1na 3 ④
注意，这里的6
1是指有6个容器壁需要碰撞，而它们被碰的几率是均等的。

结合①②③④式不难证明题设结论。

〖思考〗此题有没有更简便的处理方法？ 〖答案〗有。

“命令”所有分子以相同的速率v 沿+x 、−x 、+y 、−y 、+z 、−z 这6个方向运动（这样造成的宏观效果和“杂乱无章”地运动时是一样的），则 N x =6
1N 总 = 6
1na 3 ；而且v x = v
所以，P =
2
a F =
2
x x a t mv 2N •∆•=
2x
x 3
a v a
mv 2na 61••=3
1nm 2x v = 3
2n K ε
3、分子间存在相互作用力（注意分子斥力和气体分子碰撞作用力的区别），而且引力和斥力同时存在，宏观上感受到的是其合效果。

分子力是保守力，分子间距改变时，分子力做的功可以用分子势能的变化表示，分子势能E P 随分子间距的变化关系如图6-4所示。

分子势能和动能的总和称为物体的内能。

二、内能
P
O V
B A D
C 1．物体的内能
(1)自由度i ：即确定一个物体的位置所需要的独立坐标系数。

如自由运动的质点，需要用三个独立坐标来描述其运动，故它有三个自由度。

（2）物体的势能
(3)物体中所有分子热运动的动能和分子势能的总和称为物体的内能。

2．理想气体的内能
理想气体的分子之间没有相互作用，不存在分子势能。

因此理想气体的内能是气体所有分子热运动动能的总和，它只跟气体的分子数和温度有关，与体积无关。

分子热运动的平均动能：
()2
2
322213
2121
21v m n v v v m n /E E E E K K K K =++=+++=ΛΛΛ
理想气体的内能可以表达为：
PV
i
RT M mi kT i N E 222==⋅=
注意：N/NA=m/M=n ，R=NAk ；对于单原子分子气体i=3，对于双原子分子气体i=5。

一定质量的理想气体的内能改变量：
二、改变内能的两种方式 1．做功和传热 2．功的计算
(1)机械功
(2)流体体积变化所做的功
气体对外界所作的元功：ΔW｜=pSΔx=pΔV 。

外界(活塞)对气体做元功：ΔW=-ΔW ｜=-pΔV ；总功W=∑ΔWi=-∑piΔVi。

当气体膨胀时ΔV＞0，外界对气体做功W ＜0；气体压缩时ΔV＜0，外界对气体做功W ＞0。

准静态过程可用p-V 图上一条曲线来表示，功值W 为p-V 图中过程曲线下的面积，当气体被压缩时W ＞0，反之W ＜0。

3.热传递
内能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到同一物体的邻近部分的过程叫热传递。

热传递的方式有三种：对流、传导和辐射 （1）对流 （2）热传导
※如果导热体各点温度不随时间变化，这种导热过程称为稳定导热，在这种情况下，考虑长度为l ，横截面积为S 的柱体，两端截面处的温度为T1，T2且T1>T2，则热量沿着柱体长度方向传递，在△t 时间内通过横截面S 所传递的热量为：
t S l T T K
Q ∆-=2
1
式中K 为物质的导热系数。

固体、液体和气体都可以热传导，其中金属的导热性最好，液体除
水银和熔化的金属外，导热性不好，气体的导热性比液体更差。

石棉的热传导性能极差，因此常作为绝热材料。

（3）热辐射
一切物体都发射并吸收电磁波。

物体发射电磁波又称热辐射，发射出的是不同波长的电磁波。

温度越高，辐射的能量越多，辐射中短波成份比例越大。

一定时间内物体辐射能量的多少以及辐射能量按波长的分布都与物体的温度有关，这种与温度有关的辐射称为热辐射。

热辐射在真空环境中也能进行；热辐射与周围物体的温度高低是无关的。

三、热力学第一定律 1．热力学第一定律 2．热量的计算 热容
质量为m 、比热为c 的系统在一个热力学过程中，升高（或降低）温度为△T ，则该系统吸收（或放出）的热量为：
T C T cm Q ∆=∆=∆
定义热容：n c cm C n ==，式中cn 为摩尔热容，n 为摩尔数。

结合热力学第一定律，可得：
T V p E T W E T Q C ∆∆+∆=
∆∆-∆=∆∆= ※3．气体的自由膨胀
四、热力学第一定律对理想气体热力学过程的应用 1．理想气体的等容过程
恒量=T p
， 0=∆=V p -W 。

p V i
T C n E Q V ∆⋅⋅=
∆⋅=∆=2
式中：R 2i T E T Q C V ⋅=∆∆=⎪
⎭⎫
⎝⎛∆=定容条件
，又称之为定容摩尔热容。

2．理想气体的等压过程
恒量=T V
，T -nR V p -W ∆=∆=，Q=nCp ΔT ， V p i
T nC E v ∆⋅=
∆=∆2
定压摩尔热容量Cp 与定容摩尔热容量Cv 的关系有Cp=Cv+R=R i 22
+。

3．理想气体的等温过程
pV=恒量，△E=0，Q=-W 。

在等温膨胀过程中，体积从V1变为V2，吸热为：1
2
V V
ln nRT = Q
在等温压缩过程中，体积从V1变为V2，放热为：
21
V V
ln nRT = Q
4．理想气体的绝热过程
气体始终不与外界交换热量的过程称之为绝热过程，即Q=0。

恒量=T pV。

)(21122V p V p i
T nC E W v -=
∆=∆=
绝热过程的状态方程是：γ
γ
2211V p V p =或1
-2
21
-1
1V T V T γγ=
其中：i i R i R i C C V p 2
222+=
+==γ
5．其他过程
气态方程： nRT pV =
热力学第一定律： △E=W+Q=nCV △T 功：p-V 图中过程曲线下面积，要注意功的正负。

过程方程：由过程曲线的几何关系找出过程的p ～V 关系式。

※五、热力第二定律 1．循环过程 热机
物质系统由某一状态出发，经历一系列的变化过程又回到初始状态，这样的周而复始的变化过程为循环过程，简称循环。

在p-V 图上，物质系统的循环过程用一个闭合的曲线表示。

经历一个循环，回到初始状态时，内能不变，因此△E=0。

利用物质系统(称为工作物质)持续不断地把热转换为功的装置叫做热机。

热机循环过程在P-V 图上是一根顺时针绕向的闭合曲线
热机效率表示吸收来的热量有多少转化为有用的功，是热机性能的重要标志之一，效率的定义
为：＜1
11
21Q Q -Q W /
==η
获得低温装置的致冷机也是利用工作物质的循环过程来工作的，不过它的运行方向与热机中工作物的循环过程相反。

2．卡诺循环
卡诺循环是在两个温度恒定的热源之间工作的循环过程。

卡诺热机的效率为：
1
212
111T T Q Q Q Q W -=-==
η
致冷机的功效常用从低温热源中吸热Q2和所消耗的外功W 的比值来量度，称为致冷系数，即：。

3．热力学第二定律
违背热力学第一定律的过程都不可能发生，不违背热力学第一定律的过程不一定都可以发生。

自然过程是按一定方向进行的。

表述1：不可能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取热量，使之全部变为有用的功，而其他物体不发生任何变化。

表述2：不可能将热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化（即热量不会自动地从低温物体传到高温物体）
在表述1中，我们要特别注意“循环动作”几个字，如果工作物进行的不是循环过程，如气体作等温膨胀，那么气体只使一个热源冷却作功而不放出热量便是可能的。

表述1与表述2具有等价性，是相互依存的。

4．卡诺定理
卡诺循环中每个过程都是平衡过程，所以卡诺循环是理想的可逆循环。

卡诺定理指出：
(1)在同样高温(温度为T1)和低温(温度为T2)之间工作的一切可逆机，不论用什么工作物，效
率都等于
）
（12
T T -1。

(2)在同样高低温度热源之间工作的一切不可逆机的效率，不可能高于可逆机，即：）
（1
2T T
-1≤η。

5．热力学第二定律的统计意义
内能、热力学定律典型例题
【例1】 一箱理想气体，由N 个分子组成，用mi 表示第i 个分子的质量，vi 表示第i 个分子的相对箱子无规则运动的速度，i=1，2，…，N ．若整箱气体又以恒定的速度u 运动，求此箱气体的总动能和内能．
【例2】质量为m1的圆筒水平地放置在真空中，质量为m2、厚度可忽略的活塞将圆筒分为体积相同的两部分，如图所示。

圆筒的封闭部分充有n 摩尔的单原子理想气体氦，气体的摩尔质量为M ，温度为T0，突然放开活塞，气体逸出。

试问圆筒的最后速度是多少？设摩擦力、圆筒和活塞的热交换以及气体重心的运动均忽略不计。

(T0=273K ，m1=0.6kg ，m2=0.3kg ，n=25mol ，氦的摩尔质量为M ＝4×10-3kg/mol ，cV=12.6J/mol ·K ，γ=5/3）
【例3】横截面积为S 和αS(α＞1)，长度相同的两圆柱形“对Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
接”的容器内盛有理想气体，每个圆筒中间位置有一个用硬杆相连的活塞，如图所示。

这时舱Ⅰ内气体压强为p1，舱Ⅲ内气体压强为βp1，活塞处于平衡，整个系统吸收热量Q ，温度上升，使各舱温度相同。

试求舱Ⅰ内压强的变化。

1mol 气体内能为CT(C 是气体摩尔热容量)，圆筒和活塞的热容量很小，摩擦不计。

【例4】将1mol 温度为27℃的氦气，以100m/s 的定向速度注入体积为15L 的真空容器中，容器四周绝热。

求平衡后的气体压强。

【例5】绝热容器A 经一阀门与另一容积比A 的容积大得多的绝热容器B 相连。

开始时阀门关闭，两容器中盛有同种理想气体，温度均为30℃，B 中气体的压强是A 中的两倍。

现将阀门缓慢打开，直至压强相等时关闭。

问此时容器A 中气体的温度为多少？假设在打开到关闭阀门的过程中处在A 中的气体与处在B 中的气体之间无热交换。

已知每摩尔该气体的内能为E=2.5RT 。

【例6】一根长为76cm 的玻璃管，上端封闭，插入水银中。

水银充满管子的一部分。

封闭体积内有空气 1.0×10-3mol ，如图所示，大气压为76cmHg 。

空气的定容摩尔热容量CV=20.5J ·mol-1·K-1，当玻璃管温度降低10℃时，求封闭管内空气损失的热量。

【例7】一台四冲程内燃机的压缩比r=9.5，热机抽出的空气和气体燃料的温
00
度为27℃，在latm=105Pa压强下的体积为9.5V0，如图所示，从1→2是绝热压缩过程；2→3混合气体燃爆，压强加倍；从3→4活塞外推，气体绝热膨胀至体积9.5V0，这时排气阀门打开，压强回到初始值latm(压缩比是气缸最大与最小体积比，γ是比热容比)。

求：
（1）确定状态1、2、3、4的压强和温度；
（2）求此循环的热机效率。

【例8】有一卡诺致冷机，从温度为-10℃的冷藏室吸取热量，而向温度为20℃的物体放出热量。

设该致冷机所耗功率为15kW，问每分钟从冷藏室吸取的热量是多少？
【例9】某空调器按可逆卡诺循环运转，其中的作功装置连续工作时所提供的功率P0。

(1)夏天室外温度恒为T1，启动空调器连续工作，最后可将室温降至恒定的T2。

室外通过热传导在单位时间内向室内传输的热量正比于(T1-T2)(牛顿冷却定律)，比例系数A。

试用T1，P0和A来表示T2
(2)当室外温度为30℃时，若这台空调只有30%的时间处于工作状态，室温可维持在20℃。

试问室外温度最高为多少时，用此空调器仍可使室温维持在20℃。

(3)冬天，可将空调器吸热、放热反向。

试问室外温度最低为多少时，用此空调器可使室温维持在20℃。