高中数学必修一知识点梳理

高中数学必修一知识点梳理
一、集合。

1. 集合的概念。

- 集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

这些对象称为集合的元素。

例如，一个班级里的所有学生可以组成一个集合，每个学生就是这个集合的元素。

- 集合中的元素具有确定性（给定一个元素和一个集合，能确定这个元素是否属于该集合）、互异性（集合中的元素互不相同）、无序性（集合中的元素没有顺序要求）。

2. 集合的表示方法。

- 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

例如，集合A = {1,2,3}。

- 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合。

例如，集合B={xx > 0,x∈R}，表示所有大于0的实数组成的集合。

- 区间表示法（用于表示实数集的子集）：
- 开区间(a,b)={xa < x < b}。

- 闭区间[a,b]={xa≤slant x≤slant b}。

- 半开半闭区间(a,b]={xa < x≤slant b}和[a,b)={xa≤slant x < b}。

3. 集合间的基本关系。

- 子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆ B（或B⊇ A）。

如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂neqq B。

- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，那么A = B。

- 空集varnothing是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

4. 集合的基本运算。

- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。

例如，A = {1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩ B = {2,3}。

- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。

对于上面的A和B，A∪ B={1,2,3,4}。

- 补集：设U是全集，A⊆ U，则{∁ }_UA={xx∈ U且x∉ A}。

二、函数。

1. 函数的概念。

- 设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y = f(x)和它对应，那么就称f:A→ B为从集合A到集合B的一个函数。

其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{yy = f(x),x∈ A}叫做函数的值域。

2. 函数的表示法。

- 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，例如y = x^2+1。

- 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系，如二次函数y = x^2的图象是一条抛物线。

- 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如某段时间内的气温随时间变化的表格。

3. 函数的基本性质。

- 单调性。

- 设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x_1,x_2，当x_1时，有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），那么就说函数y = f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。

- 增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

- 奇偶性。

- 对于函数y = f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数y = f(x)就叫做偶函数；如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)= - f(x)，那么函数y = f(x)就叫做奇函数。

- 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。

4. 函数的最值。

- 设函数y = f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈ I，都有f(x)≤slant M（或f(x)≥slant M），并且存在x_0∈ I，使得f(x_0) = M，那么称M是函数y = f(x)的最大值（或最小值）。

三、基本初等函数。

1. 指数函数。

- 指数与指数幂的运算。

- 正整数指数幂a^n=a× a×·s× a（n个a相乘），a^0=1(a≠0)，a^-
n=(1)/(a^n)(a≠0)。

- 分数指数幂a^(m)/(n)=sqrt[n]{a^m}(a > 0,m,n∈ N^*,n > 1)。

- 指数函数的概念：函数y = a^x(a > 0,a≠1)叫做指数函数，其定义域为R。

- 指数函数的图象和性质。

- 当a > 1时，指数函数y = a^x在R上是增函数，图象恒过点(0,1)，且x>0时，y > 1；x < 0时，0 < y < 1。

- 当0 < a < 1时，指数函数y = a^x在R上是减函数，图象恒过点(0,1)，且x>0时，0 < y < 1；x < 0时，y > 1。

2. 对数函数。

- 对数与对数运算。

- 如果a^x=N(a > 0,a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作
x=log_aN。

- 对数的运算法则：log_a(MN)=log_aM+log_aN，log_a(M)/(N)=log_aM-log_aN，log_aM^n=nlog_aM等。

- 对数函数的概念：函数y=log_ax(a > 0,a≠1)叫做对数函数，其定义域为(0,+∞)。

- 对数函数的图象和性质。

- 当a > 1时，对数函数y=log_ax在(0,+∞)上是增函数，图象恒过点(1,0)，且x > 1时，y > 0；0 < x < 1时，y < 0。

- 当0 < a < 1时，对数函数y=log_ax在(0,+∞)上是减函数，图象恒过点(1,0)，且x > 1时，y < 0；0 < x < 1时，y > 0。

3. 幂函数。

- 一般地，函数y = x^α(α∈ R)叫做幂函数。

- 幂函数y = x^α的图象和性质与α的值有关。

例如，当α = 2时，y = x^2的图象是开口向上的抛物线，在(-∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数；当α=(1)/(2)时，y = √(x)，其定义域为[0,+∞)，在[0,+∞)上是增函数等。