数学人教B必修5自主训练：31不等关系与不等式 含解析

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1.已知a ＜0,-1＜b ＜0,下列不等式成立的是( )
A.a ＞ab ＞ab 2
B.ab 2＞ab ＞a
C.ab ＞a ＞ab 2
D.ab ＞ab 2＞a
思路解析:由于-1＜b ＜0,所以0＜b 2＜1⇒a ＜ab 2＜0,且ab ＞0,易得ab ＞ab 2＞a.
本题也可以根据a,b 的范围取特殊值来比较,比如令a=-1,b=2
1-. 答案:D
2.“a ＞0,b ＞0”是“ab ＞0”的…( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
思路解析:由“a ＞0,b ＞0”可推出“ab ＞0”,反之,不一定成立,选A.
答案:A
3.如果log a 3＞log b 3,且a+b=1,那么( )
A.0＜a ＜b ＜1
B.0＜b ＜a ＜1
C.1＜a ＜b
D.1＜b ＜a
思路解析:∵a+b=1,a 、b ∈R ,∴0＜a ＜1,0＜b ＜1.
∵log a 3＞log b 3,∴b
a lg 3lg lg 3lg >. ∴lga ＜lgb.∴0＜a ＜
b ＜1.
答案:A
4.若a=22ln ,b=33ln ,c=5
5ln ,则( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜b ＜a
C.c ＜a ＜b
D.b ＜a ＜c
思路解析:易知a,b,c 都是正值,a b =2ln 33ln 2=log 89＞1,所以b ＞a;5
ln 22ln 5=c a =log 2532＞1,所以a ＞c.所以b ＞a ＞c.
答案:C
5.若f(x)=3x 2-x+1,g(x)=2x 2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系为_____________.
思路解析:f(x)-g(x)=3x 2-x+1-(2x 2+x-1)=x 2-2x+2=(x-1)2+1,
显然大于0,所以f(x)＞g(x).
答案:f(x)＞g(x)
6.日常生活中,在一杯糖水中,再加入糖,则这杯糖水变甜了,请根据这一事实提炼出一个不等式.
解:设有糖水b 克,其中含糖a 克,再加入m 克糖,则 原来的糖水的浓度为
b
a ×100%,加入m 克糖后, 糖水的浓度变为m
b m a ++×100%. 由事实可知糖水变甜,浓度增大,
故
b a ×100%＜m
b m a ++×100%, 答:当0＜a ＜b,m ＞0时,有b a ＜m
b m a ++. 7.若a ＞b ＞0,
c ＜
d ＜0,
e ＜0,求证:d b e c a e ->-. 思路分析:本题可以直接使用不等式的性质进行证明,首先根据c ＜d ＜0,得-c ＞-d ＞0,所以a-c ＞b-d ＞0,再由倒数的性质和e ＜0即可得到结论,也可以直接作差进行比较.
证明:⎭
⎬⎫>>>->-⇒<<000d a d c d c d b e c a e c a e d b e e c a d b d b c a ->-⇒-<-⇒⎪⎭⎪⎬⎫<>->-⇒
>->-⇒00110. 8.在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1=b 1＞0,a 3=b 3＞0,且a 1≠a 3,试比较a 2与b 2的大小. 思路分析:根据等比与等差的性质,求出a 2、b 2,再利用作差法比较.
解:设{a n }的公比为q,{b n }的公差为d,
则a 3=a 1q 2,b 3=b 1+2d=a 1+2d.
∵a 3=b 3,∴a 1q 2=a 1+2d,
即2d=a 1(q 2-1).∵a 1≠a 3=a 1q 2,
∴q 2≠1.∴q≠±1.
∵a 2-b 2=a 1q-(a 1+d)=a 1q-a 121-
a 1(q 2-1)=2
1-a 1(q-1)2＜0, ∴a 2＜b 2.
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9.如果a ＜0,b ＞0,那么,下列不等式中正确的是( ) A.
b
a 11< B.
b a <- C.a 2＜b 2 D.|a|＞|b| 思路解析:如果a ＜0,b ＞0,那么a 1＜0,b 1＞0,∴b a 11<,选A.其余三个选项可以举反例排除. 答案:A
10.若a 、b 、c ∈R ,a ＞b,则下列不等式成立的是( ) A.
b
a 11< B.a 2＞
b 2 C.1122+>+
c b c a D.a|c|＞b|c| 思路解析:应用间接排除法.取a=1,b=-1,排除A.取a=0,b=-1,排除B;取c=0,排除D.故应该选C.显然112+c ＞0,对不等式a ＞b 的两边同时乘以112+c ,得1
122+>+c b c a 成立. 答案:C
11.已知a ＞b ＞0,试比较2222b a b a +-与b
a b a +-的大小.
思路分析:本题用作差法及作商法都可比较大小.
解法一:作差法:
,0)
)(()(2))(()]())[((22222222222>++-=+++-+-=+--+-b a b a b a ab b a b a b a b a b a b a b a b a b a ∴b a b a b
a b a +->+-2222. 解法二:作商法:,121)(22222222
2>++=++=+-+-b
a a
b b a b a b
a b a b a b a ∴b a b a b
a b a +->+-2222. 12.如果用记号min{p,q}表示p,q 中的较小者,max{p,q}表示p,q 中的较大者.设f(x)=min{x 2-2x+6,x 2+6x+5},g(x)=max{x 2-x+2,x},试比较f(x)和g(x)的大小.
思路分析:首先根据两个定义写出f(x)和g(x)的函数表达式,由于其中含有未知量x,可能要对x 的范围进行讨论,然后再作差比较大小.
解:由于x 2-2x+6-(x 2+6x+5)=-8x+1,
由此可知,当x ＜
81时,x 2-2x+6＞x 2+6x+5. 当x≥8
1时,x 2-2x+6≤x 2+6x+5. 所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥+-<++=.81,62,81,56)(22x x x x x x x f 而x 2-x+2-x=x 2-2x+2=(x-1)2+1＞0,
所以x 2-x+2＞x.
所以g(x)=x 2-x+2.
(1)当x ＜
8
1时,f(x)-g(x)=x 2+6x+5-(x 2-x+2)=7x+3, 所以当x=7
3-时,f(x)=g(x). 当x ＜7
3-时,f(x)-g(x)＜0,f(x)＜g(x). 当73-＜x ＜8
1时,f(x)-g(x)＞0,f(x)＞g(x). (2)当x≥81时,f(x)-g(x)=x 2-2x+6-(x 2-x+2)=-x+4, 所以当x=4时,f(x)=g(x).
当x ＞4时,f(x)-g(x)＜0,f(x)＜g(x). 当8
1≤x ＜4时,f(x)-g(x)＞0,f(x)＞g(x). 13.已知a ＞0,b ＞0,且m,n ∈N +,求证:a m+n +b m+n ≥a m b n +a n b m .
思路分析:根据所求证的式子的特点,适合比差,也有利于分解因式,最后讨论因式的符号. 证明:(a m+n +b m+n )-(a m b n +a n b m )=a m (a n -b n )+b m (b n -a n )=(a n -b n )(a m -b m ).
(1)当a ＞b ＞0时,a n ＞b n ,a m ＞b m .
所以(a n -b n )(a m -b m )＞0.
所以a m+n +b m+n ≥a m b n +a n b m .
(2)同理可证,当b ＞a ＞0时,a m+n +b m+n ≥a m b n +a n b m .
(3)当a=b 时,a m+n +b m+n =a m b n +a n b m .
综上所述,可知原式得证.。