2013年高考数学二模文科试卷B版(朝阳区有答案)
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2013年高考数学二模文科试卷B版(朝阳区有答案)
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学(文)2013.5
第一部分(选择题共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1)已知集合,,则=
A.B.C.D.
(2)已知:,:,则是的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(3)函数()的图象的一条对称轴方程是
A.B.C.D.
(4)执行如图所示的程序框图,若输出的结果是,则判断框内的条件是
A.?
B.?
C.?
D.?
(第4题图)
(5)若双曲线的渐近线与抛物线相切,则此双曲线的离心率等于A.B.C.D.
(6)将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内,
则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是A.B.C.D.
(7)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为
A.B.
(第7题图)
(8)已知函数,定义函数给出下列命题:
①;②函数是奇函数;③当时,若,,总有成立,其中所有正确命题的序号是
A.②B.①③C.②③D.①②
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
(9)为虚数单位,计算.
(10)已知向量,若,则的值为.
(11)已知等差数列的公差为,是与的等比中项,则首项_,前项和__. (12)若直线与圆相交于,两点,且线段的中点坐标是,则直线的方程为.
(13)某公司一年购买某种货物吨,每次都购买吨(为的约数),运费为万元/次,
一年的总存储费用为万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买吨.
(14)数列的前项组成集合,从集合中任取个数,其所有可能的个数的乘积的和为(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记.例如当时,,,;当时,,,,.则当时,;试写出.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15)(本小题满分13分)
在中,角所对的边分别为,且.
(Ⅰ)求函数的最大值;
(Ⅱ)若,求b的值.
(16)(本小题满分13分)
为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况,从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格,成绩在6至8米(含6米不含8米)的为及格,成绩在8米至12米(含8米和12米,假定该市初二学生掷实心球均不超过12米)为优秀.把获得的所有数据,分成五组,画出的频率分布直方图如图所示.已知有4名学生的成绩在10米到12米之间.
(Ⅰ)求实数的值及参加“掷实心球”项目
测试的人数;
(Ⅱ)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率;
(Ⅲ)若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取
2名学生再进行其它项目的测试,求所抽
取的2名学生来自不同组的概率.
(17)(本小题满分14分)
如图,已知四边形是正方形,平面,,,,,分别为,,的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使平面?
若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
(18)(本小题满分13分)
已知函数,().
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求证:当时,对于任意,总有成立.
(19)(本小题满分14分)
已知椭圆的右焦点,长轴的左、右端点分别为,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过焦点斜率为的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于点.试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形?若存在,试求点到轴的距离;若不存在,请说明理由.
(20)(本小题满分13分)
已知实数(且)满足,记.
(Ⅰ)求及的值;
(Ⅱ)当时,求的最小值;
(Ⅲ)当为奇数时,求的最小值.
注:表示中任意两个数,()的乘积之和.
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试答案(文史类)2013.5
一、选择题:
题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
答案DABCBCAC
二、填空题:
题号(9)(10)(11)(12)(13)(14)
答案
或
8;
63;
(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分)三、解答题:
(15)(本小题满分13分)
(Ⅰ).
因为,所以.
则所以当,即时,取得最大值,且最大值为.……7分(Ⅱ)由题意知,所以.
又知,所以,则.
因为,所以,则.
由得,.……………………13分
(16)(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)由题意可知,解得.
所以此次测试总人数为.
答:此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人.……………………4分(Ⅱ)由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,成绩优秀的频率为,则估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率为.……………………7分
(Ⅲ)设事件A:从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组.
由已知,测试成绩在有2人,记为;在有6人,记为.
从这8人中随机抽取2人有,
共28种情况.
事件A包括共12种情况.
所以.
答:随机抽取的2名学生来自不同组的概率为. (13)
分
(17)(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:因为,分别为,的中点,
所以.
又因为平面,平面,
所以平面.……………4分
(Ⅱ)因为平面,所以.
又因为,,
所以平面.
由已知,分别为线段,的中点,
所以.
则平面.
而平面,
所以平面平面.…………………………………………………9分(Ⅲ)在线段上存在一点,使平面.证明如下:在直角三角形中,因为,,所以.
在直角梯形中,因为,,所以,
所以.又因为为的中点,所以.
要使平面,只需使.
因为平面,所以,又因为,,
所以平面,而平面,所以.
若,则∽,可得.
由已知可求得,,,所以.……14分
(18)(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)函数的定义域为,
.
当时,
当变化时,,的变化情况如下表:
当时,
↗↘↗
综上所述,
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,;当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为. ……………………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当时,
在上单调递增,;在上单调递减,且.
所以时,.
因为,所以,
令,得.
①当时,由,得;由,得,
所以函数在上单调递增,在上单调递减.
所以.
因为,
所以对于任意,总有.
②当时,在上恒成立,
所以函数在上单调递增,.
所以对于任意,仍有.
综上所述,对于任意,总有.…………………13分
(19)(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)依题设,,则,.
由,解得,所以.
所以椭圆的方程为.…………………………………………4分(Ⅱ)依题直线的方程为.
由得.
设,,弦的中点为,
则,,,,
所以.
直线的方程为,
令,得,则.
若四边形为菱形,则,.
所以.
若点在椭圆上,则.
整理得,解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形. 此时点到的距离为.………………………………………………14分(20)(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)由已知得.
.………………………3分
(Ⅱ)时,.
固定,仅让变动,那么是的一次函数或常函数,
因此.
同理.
以此类推,我们可以看出,的最小值必定可以被某一组取值的所达到,于是.
当()时,
.
因为,
所以,且当,,时,
因此.……………………………………………7分
(Ⅲ)
.
固定,仅让变动,那么是的一次函数或常函数,
因此.
同理.
.
以此类推,我们可以看出,的最小值必定可以被某一组取值的所达到,于是.
当()时,
.
当为奇数时,因为,
所以,另一方面,若取,
,那么,因此.…………………………………………………………13分。