2018北京市高三期末数学分类汇编之三角函数、解三角形(文)

2018北京市高三期末数学分类汇编之三角函数、解三角形（文）
（一）试题细目表
1.（2018·丰台期末·11）已知4sin 5α=
，2παπ<<，则cos 4πα⎛
⎫−= ⎪⎝
⎭ ．
2.（2018·石景山期末·6）函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)2
π
ϕ<的部分图 象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）
A ．23π−，
B ．26π−，
C ．46π
−，
D ．43π，
3.（2018·昌平期末·11）已知函数()sin cos f x x x =,那么()f x 的最小正周期是 ．
4.（2018·西城期末·15）已知函数2π
()2sin cos(2)3
f x x x =−+．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1
()2
f x −≥．
5.（2018·东城期末·16）已知函数2()cos 2cos 1f x ax ax ax =⋅+−(01)a <≤.
（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在区间[
,]122
ππ
上的最大值与最小值；
（Ⅱ）当()f x 的图像经过点(
,2)3
π
时，求a 的值及函数()f x 的最小正周期.
6.（2018·朝阳期末·15）已知函数2
()(sin cos )cos 2f x x x x =+−． （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；
（Ⅱ）求证：当0,2
x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()0f x ≥．
7.（2018·海淀期末·16）已知函数()cos 2tan()4
f x x x π
=⋅−
.
（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的值域.
8.（2018·通州期末·15）已知函数()2sin cos cos 2f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）求()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的最大值和最小值．
9.（2018·房山期末·15）已知函数x x x x f cos sin 3sin )(2
+=． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数
)(x f 在区间
上的值域．
解三角形
（一）试题细目表
（二）试题解析
1.（2018·西城期末·12）在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=
，△ABC 的面积为33
，则b =____；c =____． 2.（2018·东城期末·12）在△ABC 中，5,7a c ==，cos 5
C 1
=
，则c = ，△ABC 的面积为 . 3.（2018·海淀期末·11）在△ABC 中，1,7a b ==，且△ABC 的面积为
3
，则c = . 4.（2018·通州期末·11）在△ABC 中，已知4AB =，6AC =，60A =︒， 那么BC = _______.
5.（2018·房山期末·9）在△ABC 中，三个内角C B A ，，所对的边分别是c b a ，，．若,6
4π=
∠=B b ，3
1
sin =A 则a = ．
6.（2018·朝阳期末·14）如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为
α和90α−. 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为 m.（用含有和的式子表示）
7.（2018·丰台期末·15）在ABC ∆中，2
3sin 22sin B B =． （Ⅰ）求角B 的值；
（Ⅱ）若4a =，27b =，求c 的值.
8.（2018·石景山期末·16）如图，在ABC V 中，D 为边BC 上一点，6AD =，3BD =，2DC =．
（Ⅰ）若2
ADB π
∠=
，求BAC ∠的大小； （Ⅱ）若23
ADB π
∠=
，求ABC V 的面积．
l α
9.（2018·昌平期末·16）在sin cos
C c A
=．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若
ABC
S
∆
=2
b c
+=+a的值．
ABC
∆
图1
B D
A
C
A
B D C
图2
数学试题答案
（二）试题解析 1.
【答案】
10
2. 【答案】A
3. 【答案】π
4.
【答案】解：（Ⅰ）因为2π
()2sin cos(2)3
f x x x =−+
ππ
1cos 2(cos 2cos sin 2sin )33
x x x =−−⋅−⋅ [ 4分]
3
2cos212x x =
−+
[ 5分]
π
)13
x =−+， [ 7分]
所以()f x 的最小正周期 2π
π2
T =
=． [ 8分] （Ⅱ）因为 π2x ≤≤
0，所以 ππ2π2333
x −−≤≤． [10分]
所以 ππsin(2)sin()332
x −−=≥， [12分]
所以 1
()2
f x −
≥． [13分] 5.
【答案】解：（Ⅰ）当1a =时，
2()cos 2cos 1f x ax ax ax =⋅+−
2cos 2cos 1x x x =⋅+−
2cos 2x x =+
2sin(2)6
x π
=+.
因为[
,]122
x ππ
∈， 所以
723
6
6
x π
π
π≤+
≤
． 所以，当26
2
x π
π
+
=
，即6
x π
=
时，()f x 取得最大值2，
当726
6x π
π+
=
，即2
x π=时，()f x 取得最小值为-1. ………6分（Ⅱ）因为
2()cos 2cos 1f x ax ax ax =⋅+−(01)a <≤，
所以()f x 2cos 2ax ax =
+2sin(2)6
ax π
=+．
因为()f x 的图象经过点(,2)3π
，
所以2sin(2)26ax π
+
=，即sin(2)16
ax π
+=． 所以
22362
a k πππ
π+=+． 所以1
32
a k =+
k z ∈． 因为01a <<，
所以12
a =
． 所以()f x 的最小正周期221
T π
π=
=． ……13分 6.
【答案】解：（Ⅰ）因为2
2
()sin cos sin 2f x x x x =++cos2x −
1sin 2cos 2)14
x x x π
=+−=−+.
所以函数)(x f 的最小正周期为π. …………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，)(x f )14x π
=
−+．
当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
时，2[,]444x π
π3π
−∈−，
sin(2)[42
x π−∈−，
)11]4
x π
−+∈.
当2,44
x ππ
−
=−即0x =时，)(x f 取得最小值0． 所以当0,2
x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()0f x ≥. …………………………13分
7.
【答案】解：（Ⅰ）2
4π
+π≠π−
k x ，Z k ∈------------------------2分 解得：4
3π
+
π≠k x ，Z k ∈------------------------3分 所以，函数的定义域为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈π+
π≠Z k k x x ,|43------------------------4分 （Ⅱ）)tan(cos )(4
2π
−
⋅=x x x f x
x x x tan tan )sin (cos +−⋅
−=11
22------------------------6分
x
x x
x x x x x sin cos cos sin )sin )(cos sin (cos +−⋅+−=------------------------8分
2)sin (cos x x −−=
12−=x x cos sin
12−=x sin ------------------------9分
因为3,4x k k Z ππ≠+
∈，所以3
2,2
x k k Z ππ≠+∈， 所以sin 21x ≠−，------------------------11分
所以，函数()f x 的值域为],(02−.------------------------13分 8.
【答案】解：（Ⅰ）因为()f x sin 2cos2x x =+2+4x π⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
．……………………4分
所以()f x 的最小正周期2.2
T π
π==……………………5分 由222242k x k πππππ−
+<+<+，得3.88
k x k ππ
ππ−+<<+ 所以()f x 的单调递增区间是3,.88k k k Z ππππ⎛⎫
−++∈ ⎪⎝⎭
，……………………7分
（Ⅱ）因为0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以52+,444x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.
所以当242x ππ+=，即8
x π
=时，函数.
当5244x ππ+
=，即2
x π=时，函数5 1.4
π
=−．
所以()f x 在区间π02⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，1−．……………………13分
9.
【答案】解：（Ⅰ）()x x x x f cos sin 3sin 2
+=x x x cos sin 2
3
22cos -1+=
x x 2sin 2322cos -1+=
2
1
2cos 21-2sin 23+=
x x 2
12cos 6sin -2sin 6c +=x x os
ππ 2
16-2sin +=）（πx
22
T π
π∴=
= …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
因为，所以，
所以，因此
，
所以的值域为． …………………13分
解三角形
（二）试题解析 1.
【答案】1 2.
【答案】6,3.
【答案】 2或4.
【答案】 5. 【答案】
3
8 6.
【答案】sin l α;
cos 2sin l α
α
7.
2
22sin B B =，
所以2
cos 2sin B B B =. 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，
所以tan B =
所以3
B π
=
.
（Ⅱ）由余弦定理可得(2
22424cos
3
c c π
=+−⋅⋅⋅，
所以2
4120c c −−=， 解得6c =或2c =−（舍）. 解得6c =. 8.
【答案】解：（Ⅰ）设BAD α∠=，CAD β∠=，
则1
tan 2
BD AD α=
=，1tan 3CD AD β=
= …………2分 所以tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++=
=−
…………5分
因为(0,)αβπ+∈，
所以4
π
αβ+=
，
即4
BAC π
∠=
． …………7分
（Ⅱ）过点A 作AH BC ⊥交BC
的延长线于点H ， 因为23
ADB π∠=
， 所以3
ADC π
∠=
，
所以sin
3
AH AD π
=⋅= …………11分
所以12ABC S BC AH ∆=⋅=． …………13分 9.
【答案】解：（I sin cos C c A =，所以cos 0A ≠，
由正弦定理
，
sin sin cos A C C A ⋅=⋅． 又因为 (0,)C ∈π，sin 0C ≠，
所以 tan 3
A =
． A
B D
C H
11 / 11 又因为 (0,)A ∈π，
所以 6
A π=． …………… 6分 （II
）由11sin 24ABC S bc A bc ∆=
==
bc = 由余弦定理2222cos a b c bc A =+−， 得2222cos 6
a b c bc π=+−，
即222()2()12a b c bc b c =+−=+−−，
因为2b c +=+
解得 2
4a =.
因为 0a >，
所以 2a =. ……………13分 word 下载地址。