2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题2.7函数的图象(讲)含解析

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）
第二章函数
第07讲函数的图象 ---讲
1. 会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2. 高考预测：
（1）函数图象的辨识
（2）函数图象的变换
（3）主要有由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决不等式、方程等问题．常常与导数结合考查.
3.备考重点
（1）基本初等函数的图象
（2）两图象交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用
知识点1．利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；
(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
【典例1】【2018年全国卷Ⅲ理】设函数．
（1）画出的图象；
（2）当，，求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）的图象如图所示．
（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当
且时，在成立，因此的最小值为．
【规律方法】
函数图象的画法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
【变式1】【北京海淀十一学校2017-2018学年高一上期中】对a 、b ∈R ，记
，函数
．
（1）求(0)f ，(4)f -．
（2）写出函数()f x 的解析式，并作出图像．
（3）若关于x 的方程()f x m =有且仅有3个不等的解，求实数m 的取值范围．（只需写出结论） 【答案】见解析． 【解析】解：（1）∵，函数
，
∴
，
．
（2）
（3）5m =或m =
知识点2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象； y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――→关于直线y ＝x 对称
y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y ＝f (x )――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ).
y ＝f (x )――→横坐标不变
各点纵坐标变为原来的A （A >0）倍y ＝Af (x ). (4)翻转变换
y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象. 【典例2】分别画出下列函数的图象：
【答案】见解析
【解析】 (1)首先作出y ＝lg x 的图象C 1，然后将C 1向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象C 2，再把C 2在x 轴下方的图象作关于x 轴对称的图象，即为所求图象C 3：y ＝|lg(x －1)|.如图1所示(实线部分). (2)y ＝2x ＋
1－1的图象可由y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得y ＝2x
＋1
的图象，再向下平移一个单位得到，如图
2所示.
(3) 第一步作y ＝lgx 的图像．
第二步将y ＝lgx 的图像沿y 轴对折后与原图像，同为y ＝lg|x|的图像． 第三步将y ＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y ＝lg|x －1|的图像 第四步将y ＝lg|x －1|的图像在x 轴下方部分沿x 轴向上翻折，得
的图像，如图3．
【重
点总结】 图象变换法
若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 【变式2】作出下列函数的图象：
(1)y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |
；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；
(3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2
－2|x |－1.
【答案】见解析 【解析】
(1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
的图象中x ＞0部分关于y 轴的对
称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |
的图象，如图①实线部分．
(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y ＝2＋
1x －1，故函数图象可由y ＝1
x
的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.
(4)∵y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x －1，x ≥0，
x 2
＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－
∞，0)上的图象，如图④.
考点1 作图
【典例3】分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|x 2－4x ＋3|；(2)y ＝2x ＋1
x ＋1
；(3)y ＝10|lg x |. 【答案】见解析
【解析】(1)先画函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，再将其x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，如图1.
(2)y ＝2x ＋1x ＋1＝2（x ＋1）－1x ＋1＝2－1x ＋1
.
可由函数y ＝－1
x
向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图2.
(3)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪
⎧x ，x ≥1，1x ，0＜x ＜1，如图3.
【易错提醒】
对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减；但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．
【变式3】作出函数y ＝|x －2|·(x ＋1) 的图象． 【答案】4，2. 【解析】
当x ≥2，即x －2≥0时，
y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －12
2－94
；
当x ＜2，即x －2＜0时，
y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －12
2＋94
.
所以y ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94
，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋9
4
，x ＜2.
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．
考点2 识图
【典例4】【2018年浙江卷】函数y =
sin2x 的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【总结提升】
识图的三种常用方法
1．抓住函数的性质，定性分析：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；
（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
2．抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
3．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
(1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
(2)根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
【变式4】（2018·莆田第九中学高三高考模拟（文））函数(且)与函数的图像关于直线
对称，则函数与二次函数在同一坐标系内的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 因为函数(且
)与函数
的图像关于直线
对称，
所以
，
在选项A 中，对数函数的图像单调递增，所以a>1, 所以a-1>0,所以二次函数的抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为
所以选项A 是正确的， 故答案为：A.
【典例5】【2018年理数全国卷II 】函数
的图像大致为（ ）
A. A
B. B
C. C
D. D 【答案】B 【解析】
为奇函数，舍去A,
舍去D;
，所以舍去C ；因此选B.
【思路点拨】
往往通过研究函数的导数，首先确定函数的单调性，再判断图象的变化趋势．
【变式5】【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是（ ）
【答案】D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D．
考点3 用图
【典例6】【山东省2018年普通高校招生（春季）】奇函数的局部图像如图所示，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为奇函数，所以,
因为>0>，所以,即，
选A.
【总结提升】
函数图象应用的常见题型与求解策略
【变式6】（2018·安徽高三高考模拟（文））已知函数的图象如图所示，则的大小关系为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由图像可知，，得，
故答案为：A.
【典例7】（2019·北京高三高考模拟（文））当x∈[0，1]时，下列关于函数y=2
(1)mx -的图象与y =的图象交点个数说法正确的是（ ） A ．当[]m 0,1∈时，有两个交点 B ．当(]
m 1,2∈时，没有交点 C ．当(]
m 2,3∈时，有且只有一个交点 D ．当()m 3,∞∈+时，有两个交点
【答案】B 【解析】
设f （x ）=2
(1)mx -，g （x ） ，其中x∈[0，1]
A ．若m=0，则()1f x =与()g x =[0，1]上只有一个交点(1,1)，故A 错误．
B ．当m∈（1，2）时，
即当m∈（1，2]时，函数y=2
(1)mx -的图象与y =x∈[0，1]无交点，故B 正确，
C ．当m∈（2，3]时，，
当
时
，此时无交点，即C 不一定正确．
D ．当m∈（3，+∞）时，g （0）＞1，此时f （1）＞g （1），此时两个函数图象只有一个交点，故D 错误，
故选：B ．
【变式7】【2018届广西钦州市第三次检测】设函数
与函数
的的图象在区间
上交点的横坐标依次分别为，，…，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
将函数与y=的图象有公共的对称中心（，0），
从图象知它们在区间上有八个交点，分别为四对对称点，每一对的横坐标之和为1，故所有的横坐标之和为4．
故选：A．
【典例8】（2019·北京高考模拟（理））已知函数f（x）=2x（x＜0）与g（x）=ln（x+a）的图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
在同一直角坐标系中作出函数f（x）=2x（x＜0）与g（x）=ln（x+a）的图象，
当y=lnx向左平移a（a＞0）个单位长度，恰好过（0，1）时，函数f（x）与g（x）就不存在关于y轴对称的
点，所以0＜a ＜e ， 当y=lnx 向右平移
（a ＜0）个单位长度，函数f （x ）与g （x ）总存在关于y 轴对称的点，
当a=0时，显然满足题意，综上：a ＜e ， 故选：B ．
【变式8】（2019·陕西高考模拟（理））已知函数，若1a b <<且
，则实数2a b
+的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．[)6+∞，
D ．()6+∞，
【答案】A 【解析】
函数f （x ）＝|lg （x ﹣1）|， ∵1＜a ＜b 且f （a ）＝f （b ），
则b ＞2，1＜a ＜2， ∴
，即
1
11
b a =--， 可得：ab ﹣a ﹣b ＝0． 那么：a 1
b
b =
-．
则2a +b ，当且仅当b 1=时取等号．满
足b ＞2， 故选：A ．
【典例9】（2019·四川高三高考模拟（理））已知函数
是定义在上的奇函数，且当
时，，
则方程的所有解的和为（）
A．B．1 C．3 D．5
【答案】C
【解析】
∵是定义在R上的奇函数，且当时，
∴当时，
则
即
则
作出的图象如图：
∵的图象与的图象关于对称
∴作出的图象，由图象知与的图象有三个交点
即有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b关于对称
即
则所有解的和为
故选：C．
【变式9】【2018届湖北省5月冲刺】已知是奇函数，是偶函数，它们的定义域均为，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】
根据图像得当时异号；当时号；由是奇函数，
是偶函数，得当时；因此不等式的解集是
.。