九年级上册数学二次函数知识点

九年级上册数学二次函数知识点
一、二次函数的概念。

1. 定义。

- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。

2. 二次函数的特殊形式。

- 当b = 0时，二次函数为y=ax^2+c，例如y = 3x^2-2。

- 当c = 0时，二次函数为y = ax^2+bx，例如y=x^2+2x。

- 当b = 0且c = 0时，二次函数为y = ax^2，例如y=-x^2。

二、二次函数的图象和性质。

1. 二次函数y = ax^2的图象和性质（a≠0）
- 图象：二次函数y = ax^2的图象是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 对称轴：对称轴为y轴（即直线x = 0）。

- 顶点坐标：顶点坐标为(0,0)。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而增大。

- 当a < 0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而减小。

2. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象和性质。

- 图象：也是一条抛物线。

- 对称轴：对称轴公式为x =-(b)/(2a)。

- 顶点坐标：把x =-(b)/(2a)代入函数y = ax^2+bx + c可得到顶点的纵坐标
y=frac{4ac - b^2}{4a}，所以顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<-(b)/(2a)），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>-(b)/(2a)），y随x的增大而增大。

- 当a < 0时，在对称轴左侧（x<-(b)/(2a)），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>-(b)/(2a)），y随x的增大而减小。

- 最值。

- 当a>0时，函数有最小值，当x =-(b)/(2a)时，y_min=frac{4ac -
b^2}{4a}。

- 当a < 0时，函数有最大值，当x =-(b)/(2a)时，y_max=frac{4ac -
b^2}{4a}。

三、二次函数图象的平移。

1. 平移规律。

- 二次函数y = a(x - h)^2+k(a≠0)的图象可以由y = ax^2的图象平移得到。

- 向左（h<0）或向右（h>0）平移| h|个单位长度，再向上（k > 0）或向下
（k<0）平移| k|个单位长度。

- 例如，将y = x^2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到y=(x - 2)^2+3的图象。

2. 顶点式y = a(x - h)^2+k(a≠0)与一般式y = ax^2+bx + c(a≠0)的转化。

- 由顶点式y = a(x - h)^2+k展开可得y = ax^2-2ahx+ah^2+k，通过对比系数可得b=-2ah，c = ah^2+k。

- 把一般式y = ax^2+bx + c配方可得到顶点式，y=a(x+(b)/(2a))^2+frac{4ac - b^2}{4a}，这里h =-(b)/(2a)，k=frac{4ac - b^2}{4a}。

四、二次函数与一元二次方程。

1. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的关系。

- 一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的解就是二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标。

- 当Δ=b^2-4ac>0时，二次函数图象与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不同的实数根。

- 当Δ=b^2-4ac = 0时，二次函数图象与x轴有一个交点，一元二次方程有两个相同的实数根（即重根）。

- 当Δ=b^2-4ac<0时，二次函数图象与x轴没有交点，一元二次方程没有实数根。

2. 二次函数的交点式y=a(x - x_1)(x - x_2)(a≠0)（其中x_1,x_2是二次函数图象与x轴交点的横坐标）
- 当已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标(x_1,0)和(x_2,0)时，可以设二次函数的表达式为y=a(x - x_1)(x - x_2)，再根据其他条件确定a的值。