课件14： 2.3 幂函数

[合作探究]
知识点一 幂函数的定义 幂函数 y＝xα(α∈R)，其中 α 为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量， 指数 α 为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准． 思考 1
y＝2x2 和 y＝x2＋x 是不是幂函数？
提示： 不是，形式不符合幂函数的定义要求．
思考 2 如何区分指数函数与幂函数？ 提示：指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的底数 a 为常数，指数 为自变量；幂函数 y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数 α 为常数．
知识点三 幂函数的性质及应用 1．比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点，指数相同底数不同时，要 利用幂函数的单调性比较，底数相同而指数不同时，要利用指数函数的单调 性比较，指数与底数都不同时，要通过增加一个数起桥梁作用来进行比较． 2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与 0,1 等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利 用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．
【跟踪训练 1】 已知函数 f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m 为何值时，
f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
[解] (1)若 f(x)为正比例函数，则
m2＋m－1＝1，
m2＋2m≠0
⇒m＝1.
(2)若 f(x)为反比例函数，则
m2＋m－1＝－1，
正确的是( )
A．T1<T2<T3
B．T3<T1<T2
C．T2<T3<T1
D．T2<T1<T3
2
2
2
[解析]
(1)构造函数
y＝x
3
，此函数在[0，＋∞)上是增函数，则(12) 3
1 >(5)
3
，
2
1
即 T2<T1，构造函数 y＝(12)x，此函数在 R
上是减函数，则(12) 3
1.
③f(x)在(0，＋∞)上单调递增，设 x1＞x2＞0， 则 f(x1)－f(x2)＝x1－x21－(x2－x22)＝(x1－x2)(1＋x12x2)， 因为 x1＞x2＞0，所以 x1－x2＞0,1＋x12x2＞0，所以 f(x1)＞f(x2)， 所以 f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．

定义域为 R，与指数也无关．( × )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若 y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则 m＋n＝____3____.
(2)已知幂函数 f(x)＝xα 的图象经过点(2,8)，则 f(－2)＝__－__8____.
(3)若
－
y＝axa2
1 2
是幂函数，则该函数的值域是___[0_，__＋__∞__)__．
m2＋2m≠0
⇒m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，则
(4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，
m2＋m－1＝2， m2＋2m≠0
⇒m＝－1±2
13 .
∴m＝－1± 2.
知识点二 幂函数的图象及应用 幂函数 y＝xα 在第一象限内图象的画法 1．当 α<0 时，其图象可以类似 y＝x－1 画出．
3
2
(1)(25)0.5 与(13)0.5；
(2)(－23)－1 与(－35)－1；
2 (3)(3)
4 与(34) 3 .
[解] (1)∵幂函数 y＝x0.5 在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴(25)0.5>(13)0.5.
(2)∵幂函数 y＝x－1 在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴(－23)－1>(－35)－1.
1
2．当 0<α<1 时，其图象可以类似 y＝x 2 画出． 3．当 α>1 时，其图象可以类似 y＝x2 画出．
思考1 幂函数的图象是否可以出现在坐标平面内的任意象限？ 提示：不能．因为当 x>0 时，xα>0(其中 α∈R)，此时函数的图象 都在 x 轴的上方，故幂函数的图象不能经过第四象限．
幂函数 y＝xα 的底数为自变量，指数是 常数 ，而指数函数正好相反，
指数函数 y＝ax 中，底数是常数，指数是 自变量．
3．在同一平面直角坐标系内作出幂函数 y＝x，y＝x2，
1
y＝x3，y＝x 2 ，y＝x－1 的图象(如图)．
它们的性质如下表.
幂函数 y＝x
y＝x2
定义域 R 值域 R
R [0，＋∞)
2.3 幂函数
[问题提出]
1.幂函数的定义是什么？它与指数函数有什么区别？
1
2.通过五类幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x 2 的图 象你能发现幂函数有哪些性质？
[基础自学] 1．幂函数的定义
一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量， α 是常数．
2．幂函数 y＝xα 与指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的区别
2
3
(3)∵函数 y1＝(23)x 为减函数，又34>23，∴(23) 3
2 >(3)
4
，
2
2
2
又∵函数 y2＝x 3
在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴(34) 3
2 >(3)
3
，
2
3
∴(34) 3
2 >(3)
4
.
2
2
1
【跟踪训练 3】 (1)T1＝(12) 3 ，T2＝(15) 3 ，T3＝(12) 3 ，则下列关系式
思考 当底数与指数都不同时，如何确定一个中间量来比较大小？ 提示：一般取其中一个的底数作为指数函数的底数考查指数函数的 单调性，并与同底的另一个幂值比较大小；再取另一个的幂值作为 幂函数的指数，考查该幂函数的单调性，并与同幂值的另一个进行 比较，最后应用传递性可比较大小．
[典例示法]
例 3 比较下列各组数中两个数的大小：
B．a<b<c
C．b<c<a
D．c<a<b
[解析] 由幂函数的图象特征可知，c<0，a>0，b>0；由幂函数的性质知， 当自变量 x>1 时，幂指数大的幂函数的函数值就大，故 c<b<a. 答案： A
【跟踪训练 2】
7
函数 y1＝x 5
－
，y2＝x
17 29
24
，y3＝x 11
－
，y4＝x
8 19
思考 2 若幂函数为偶函数，则在第一象限内一定是单调函数吗？
提示：如 y＝xα(α∈R)，当 α＝0 时，函数 y＝x0(x≠0)是偶函数， 但此函数不是单调函数，即不具有单调性．
[典例示法] 例 2 已知函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc 的图象如图，则 a，b，c 的大小
关系为( )
A．c<b<a
3
，y5＝x 8
的图象分别是下列图象①②③④⑤中之一，则函数 y1，y2，y3，y4，y5 的图象
依次是________(用序号表示)．
[解析] 从函数的奇偶性分析，函数 y1，y2 是奇函数，可能对应图象①⑤；y3， y4 是偶函数，可能对应图象②④；y5 不具有奇偶性，只能对应图象③.从函数的 单调性分析，函数 y1 在区间[0，＋∞)上是增函数，对应图象⑤；函数 y2 在区间 (0，＋∞)上是减函数，对应图象①；函数 y3 在区间[0，＋∞)上是增函数，对应 图象②；函数 y4 在区间(0，＋∞)上是减函数，对应图象④.所以函数 y1，y2，y3， y4，y5 的图象依次是⑤①②④③. 答案： ⑤①②④③
∴T2<T1<T3.
答案： D
(2)已知函数 f(x)＝xm－2x且 f(4)＝72. ①求 m 的值； ②判定 f(x)的奇偶性； ③判断 f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
[解] ①因为 f(4)＝72，所以 4m－24＝72，所以 m＝1. ②由①知 f(x)＝x－2x，因为 f(x)的定义域为{x|x≠0}， 又 f(－x)＝－x－－2x＝－(x－2x)＝－f(x)，所以 f(x)是奇函数．
y＝x3
R R
1
y＝x 2
[0，＋∞)
[0，＋∞)
y＝x－1
(－∞，0)∪(0，＋∞) {y|y∈R且 y≠0}
奇偶性 奇 单调性 增
定点
偶
x∈[0，＋∞)增 x∈(－∞，0]减
奇
奇
__非__奇__非__偶___
增
增
x∈(0，＋∞) 减
x∈(－∞，0) 减
(1,1)
[自我小测]
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝x3＋2 是幂函数．( × ) (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．( × ) (3)指数函数 y＝ax 的定义域为 R，与底数 a 无关，幂函数 y＝xα 的
[典例示法]
例 1 已知函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3 是幂函数，且 x∈(0，＋∞)时， f(x)是增函数，求 f(x)的解析式．
[解] ∵f(x)是幂函数，∴m2－m－1＝1.∴m＝－1 或 m＝2. 当 m＝－1 时，m2＋m－3＝－3，当 m＝2 时，m2＋m－3＝3， ∴f(x)＝x－3 或 f(x)＝x3.而易知 f(x)＝x3 在(0，＋∞)上为增函数， f(x)＝x－3＝x13在(0，＋∞)上为减函数，∴f(x)＝x3.