2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(四)含解析

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)
理科数学(四)
本试卷分必考和选考两部分．
必考部分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，集合2
2{|2}x
x
A y y -+==，1
{|lg
}1
x B x y x +==-，则图中阴影部分所表示的集合是
A ．{x |0<x <1}
B ．{x |1 x <2}
C ．{x |0<x 1}
D ．{x |1<x <2}
2．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，若21zz z =，则z 的共轭复数z
=
A ．
13i 22+ B ．13i 22- C ．13i 22-+ D ．13i 22
-- 3．已知双曲线22221x y a b -=(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角是3
π
，则该双曲线的离心率为
A
B ．2 C
D ．3
4．2016年巴西里约热内卢奥运会射击比赛中，某选手射击一次击中10环的概率是
4
5
，连续两次均击中10环的概率是
1
2，已知某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是 A ．25 B ．58 C ．34 D ．45
5．已知正项数列{n a }满足22
112n n n n a a a a ++--=0，{n a }的前n 项和为n S ，则
5
3
S a =
A ．
314 B ．312 C ．154 D ．152
6．函数()f x =
2
ln 1||
x x 的图象大致是 A ． B ．
C ．
D ．
7．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为
A ．3
B ．2
C ．4
D ．5
8．如图是侧棱长和底面边长都相等的正四棱锥的平面展开图，M ，N ，P ，Q 分别是边BF ，AB ，CD ，DH
的中点，则在这个正四棱锥中，下列四个结论正确的个数有
(1)MN 和CD 平行 (2)CE 和PQ 平行
(3)MN 和PE 所成的角为60° (4)EP 和AB 垂直
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．若x ，y 满足不等式组30
600x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则目标函数z =y −3|x |的最大值为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．−1 10．将函数()f x =2sin
2x cos 2x cos ϕ+(2cos 22x −1)sin ϕ (|ϕ|<2π)的图象向左平移3
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的图象关于y 轴对称，则g (6
π
)=
A
B ．12 C
．D ．12
- 11．已知圆2
2
4210x y x y ++++=的圆心M 与抛物线C ：2
2y px =的焦点F 恰好关于直线3x +y +2=0对
称，O 为坐标原点，直线l 过点P (2，0)且与抛物线C 交于A ，B 两点，若|BF |=3
2
，|AP |=t |BP |，则t = A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
12．已知函数()f x =2
x −2x −1，若函数()g x =(|1|)|1|4x
x
f a k a k -+-+ (其中a >1)有三个不同的零点，
则实数k 的取值范围为 A ．(
15，25] B ．(15，25) C ．(14，25] D ．(14，25
) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知向量a ，b 满足|a
，|b |=1，且(a +2b )·(a −3b )=4，则向量a ，b 的夹角为 ．
14．若(ax −1)(
1x
+x )6
的展开式中含x 3的系数为30，则a 的值为 ． 15．如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外
接球的表面积为 ．
16．若等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知1a =9，2a 为整数，且n S ≤5S ，则|1a |+|2a |+…
+|n a |= ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)
已知在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos B C b c += (1)求b 的值；
(2)若cos B B =2，求a +c 的取值范围． 18．(本小题满分12分)
随着人民生活水平的提高，越来越多的人重视自身健康，除了加强身体锻炼，也会购买保健品服用，从而提高身体健康水平．某调查机构现对某市年龄在30至50岁的人进行了统计，得到2017年购买保健品的开支(单位：百元)与年龄的折线图如图所示．该市为减轻市民的开支，对18周岁及其以上的人给予适当的生活医疗补贴，生活医疗补贴可以抵消购买保健品的开支，具体规定是：18周岁的人每年给予120元的生活医疗补贴，年龄每增加一岁，则生活医疗补贴相应增加20元．
(1)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合购买保健品开支y 与年龄x 的关系，请用相关系数加以说明；
(2)求y 关于x 的回归方程；
(3)估计2017年该市70岁的人购买保健品的开支，并求在适当的生活医疗补贴下个人的付款额． 附注：参考数据：
51
i i
i x y =∑=2 360，5
21
i
i x
=∑=8 250
．
参考公式：相关系数r
()()
n
i
i
x x y y --∑，
回归方程ˆˆˆy
bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1
2
1
()()
ˆ()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-． 19．(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P −ABC 中，AC
，AB =2BC ，D 为线段AB 上一点，且AD =3DB ， PD ⊥平面ABC ，P A 与平面ABC 所成的角为45°．
(1)求证：平面P AB ⊥平面PCD ；
(2)求二面角P −AC −D 的平面角的余弦值． 20．(本小题满分12分)
已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，焦距为2，左焦点到右顶点的距离为3． (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)是否存在与椭圆C 交于A ，B 两点的直线y kx m =+(k ≠0)，使得以AB 为直径的圆过原点且该圆的面积最大?若存在，求出面积最大的圆的面积；若不存在，请说明理由． 21．(本小题满分12分)
已知函数()f x =5+ln x −
1
kx
x +(k ∈R )． (1)若曲线y =()f x 在点(1，(1)f )处的切线与直线x +2y −2=0垂直，求k 的值与曲线在点(1，(1)f )处的切线方程；
(2)若k ∈N *，且当x ∈(1，+∞)时，()f x >0恒成立，求k 的最大值．
)≈1.76)
选考部分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1x t
y =⎧⎪⎨=-+⎪⎩
(t 为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ
cos(θ+4
π
)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)若P (0，−1)，求|P A |+|PB |；
(2)若点M 是曲线C 上不同于A ，B 的动点，求∆MAB 面积的最大值． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲
f x=|x−m|+|x−1|．
已知函数()
f x≥4；
(1)若m=−1，解不等式()
f x≥3恒成立，求实数m的取值范围．
(2)如果对任意的x∈R，()
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)
理科数学(四)答案
1．C 【解析】∵集合2
2{|2}x
x
A y y -+==={y |0<y 2}，1{|lg
}1x B x y x +==-={x |
1
1
x x +->0} ={x |x >1或x <−1}，∴U B ð={x |−1 x 1}，又阴影部分表示的集合是()U A B ð，
∴()U A
B ð={x |0<x 1}，故选
C ．
2．A 【解析】由题意知1z =1+2i ，2z =−1+i ，故z (−1+i)=1+2i ，
即z =
12i (12i)(1+i)13i 1i (1i)(1+i)2++-==-+-+=13i 22-，13
i 22
z =+，故选A ． 3．B 【解析】由题意知
b a
=tan 3π
c e a =====2． 4．B 【解析】根据条件概率的计算公式P (B |A )=()()
P AB P A ，得所求概率为1
5
2485
=．
5．A 【解析】由22
112n n n n a a a a ++--=0得(1n a ++n a )(1n a +−2n a )=0，又{n a }为正项数列，
所以1n a +=2n a ，所以数列{n a }是等比数列，且公比q =2，设首项为1a ，
则515(12)12
a S -=-=311a ，3a =2
21a =41a ，则53S a =314．
6．C 【解析】因为()f x -=2ln()||x x --+1=2
ln ||
x x +1=()f x ，所以()f x 是偶函数．
当x >0时，()f x =2
ln ||
x
x +1，则()f x '=22
22222
12ln 2ln 2(1ln )x x x x x x x x ⨯---==． 当0<x <e 时，()f x '>0，所以()f x =2
ln x x
+1在区间(0，e )上单调递增，
当x >e 时，()f x '<0，所以()f x =2
ln x x
+1在区间(e ，+∞)上单调递减，排除A ，B ．
又()f e =2
ln ||
e e +1=2e +1>0，排除D ，故选C ．
7．A【解析】第一次循环：m=
1
1b
-
，k=2；第二次循环：m=
1
b
b
-
，k=3；第三次循环：m=b，所以满足题
意．故输出的k的值为3，选A．
8．B【解析】把平面展开图还原成正四棱锥如图所示，可知MN和CD是异面直线，故(1)不正确；因为P，Q分别是CD，DH的中点，所以CE和PQ平行，故(2)正确；设正四棱锥的棱长为a，因为MN∥AE，则∠AEP为MN和PE所成的角，
在Rt∆ADP中，AP
2
a =，
在Rt∆EPD中，EP
2 =，
故cos ∠AEP
222
()()
2
a a a
+-
=(3)不正确；
因为EP⊥CD，AB∥CD，所以EP和AB垂直，故(4)正确．故正确的有2个，选B．
9．A【解析】作出
30
60
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
所对应的可行域如图中阴影部分所示，
当x ≥0时，可行域为四边形ABOC ，目标函数可化为z =y −3x ，即y =3x +z ，平移直线y =3x 可知当直线经过点B (0，3)时，z 取得最大值3；
当x <0时，可行域为∆BOD ，目标函数可化为z =y +3x ，即y =−3x +z ，平移直线y =−3x 可知当直线经过点B(0，3)时，z 取得最大值3．
综上可得z =y −3|x |的最大值为3，故选A ． 10．A 【解析】函数()f x =2sin
2x cos 2x cos ϕ+(2cos 22
x
−1)sin ϕ=sin x cos ϕ+cos x sin ϕ=sin(x +ϕ)的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为()g x =sin(x +3
π
+ϕ)． 由()g x =sin(x +3π+ϕ)的图象关于y 轴对称，可得()g x 为偶函数，故ϕ+3π=kπ+2π
，
k ∈Z ，即ϕ=kπ+6π，k ∈Z ．又|ϕ|<2π，故ϕ=6
π
，
可得函数()g x =sin(x +
2π)=cos x ，则g(6
π
)=2，故选A ．
11．C 【解析】将2
2
4210x y x y ++++=化为圆的标准方程为(x +2)2+(y +1)2=4，
故圆心为M (−2，−1)，抛物线2
2y px =的焦点为F (
2
p
，0)， 依题意可得13(1)20420(1)1
3(2)2
p p
⎧⨯--+=⎪⎪--⎨=⎪--⎪⎩，解得p =2，故抛物线的方程为2
y =4x ，焦点为F (1，0)，准线为x =−1，由|BF |=
32及抛物线的定义知点B 的横坐标为12，代入抛物线方程得B (12，
)，不妨取B (1
2
，
−)，又直线l 过点P (2，0)，解得l 的方程为
y=3(x −2)
，联立得242)y x
y x ⎧=⎪
⎨=
-⎪⎩ ，得22
x −17x +8=0，解得1x =8，2x =
1
2
，
所以118x y =⎧⎪
⎨=⎪⎩
22
12x y ⎧
=⎪⎨
⎪=⎩，得A (8，
，
于是||
1||
AP t BP =
==
=4，故选C ．
12．C 【解析】设|1|x t a =-，t ≥0，则函数()g x =(|1|)|1|4x x
f a k a k -+-+可换元为
()h t =2t +(k −2)t +4k −1．若函数()g x 有三个不同的零点，则方程()0h t =有两个不相等的实数解1t ，2t ，
且解的情况有如下三种：
①1t ∈(1，+∞)，2t ∈(0，1)，此时h (0)>0，且h (1)<0，解得14<k <25
； ②1t =0，2t ∈(0，1)，此时由h (0)=0，得k =14，所以()h t = 2t −74t ，即2t =74
，不符合题意；
③1t =1，2t ∈(0，1)，此时h (1)=0，得k =25，所以()h t =2t −85t +35，即2t =35，符合题意．综上，14<k ≤25
，
即实数k 的取值范围是(14，2
5
]．
13．34
π【解析】(a +2b )·(a −3b )=a 2−6b 2−a ·b )2−6×12−a ·b =4，解得a·b =−2．
所以cos<a ，b >
||||⋅=a b a b
所以向量a ，b 的夹角为34
π
． 14．2【解析】因为(
1x +x )6的展开式的通项1r T +=6C r
x −6+2r ，所以(ax −1)(1x
+x )6的展开式中含x 的奇数次方的通项为a 6C r
x −5+2r ，令−5+2r =3，解得r =4．所以含x 3的系数为a ×4
6C =30，解得a =2．
15．25π【解析】由三视图可得，该几何体的外接球与以俯视图为底面，以3为高的直三棱柱的外接球相同，
如图所示，易知底面是底边长为4，高为2的等腰直角三角形，故底面外接圆的半径r =2，又棱柱的高
为3，故四棱锥的外接球半径R 5
2
=
，所以外接球的表面积S =4πR 2=25π．
16．2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩
【解析】因为1a =9，2a 为整数，所以等差数列{n a }的公差d 为整数．又n S ≤5S ，
故5a ≥0，6a ≤0，即9+4d ≥0，9+5d ≤0，解得−
94
≤d ≤−9
5，故d =−2，
所以n a =11−2n ， 当n ≤5时，
|1a |+|2a |+…+|n a |=1a +2a +…+n a =
(9112)2
n n
+-⨯=10n −n 2．
当n >5时，|1a |+|2a |+…+|n a |=1a +2a +3a +4a +5a −(6a +7a +…+n a )
=2(1a +2a +3a +4a +5a )−( 1a +2a +3a +4a +5a +…+n a ) =25S −n S =50−(10n −n 2)=n 2−10n +50，
综上可得，|1a |+|2a |+…+|n a |=2210,5
1050,5
n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩．
17．【解析】(1)通解
由
cos cos B C b c +=
cos cos c B b C bc +=，
由正弦定理得，
sin cos sin cos sin 3sin C B B C A
b C C
+=，（2分）
又sin A =sin[π−(B +C )]=sin C cos B +sin B cos C ，
故
sin sin A b C =，解得b
（5分）
优解
由正弦定理得
cos cos B C b c +=，
由余弦定理得22222222a c b a b c abc abc +-+-+=，
化简得2b
b
=
2
． (2)解法一 由cos B
B =2可得1
2
cos B
+2sin B =1，
即sin(
6π+B )=1，又B ∈(0，π)，解得B =3
π
．
由正弦定理得
sin sin sin a b c
A B C ====1，
故a =sin A ，c =sin C ．（8分）
所以a +c =sin A +sin C =sin A +sin(A +B )=sin A +sin A cos B +cos A sin B
=
32
sin A cos A A +6π
)．
又A ∈(0，
23π)，所以A +6π∈(6π，56π)，sin(A +6π)∈(12
，1]，
所以a +c ∈．（12分）
解法二 由cos B B =2可得
1
2
cos B +2sin B =1，
即sin(
6π+B )=1，又B ∈(0，π)，解得B =3
π
．
因为b =
2
，由余弦定理2b =2
a +2c −2ac cos B ， 得
34
=2a +2c −ac =2
()a c +−3ac ． 又ac ≤2()2a c +，所以34=2()a c +−3ac ≥2()a c +−32
()2
a c +，
解得2
()a c +≤3，即a +c a =c
又a +c >b =
2，所以a +c ∈(2
]． 【备注】解三角形的常见类型和方法：(1)已知两角及一边，首先根据三角形内角和求出第三角，再利用正、
余弦定理求解相关问题；(2)已知两边及夹角，先用余弦定理求出第三边，再利用正弦定理求另外两边；(3)已知三边，可先用余弦定理求对应的三个角，再求解相关问题． 18．【解析】(1)由折线图中数据及附注中数据可得，
30354045505x ++++=
=40，58101418
5
y ++++==11，
5
1
()()i
i
i x x y y =--∑=(30−40)×(5−11)+(35−40)×(8−11)+ (40− 40)×(10−11)+(45−40)
×(14−11)+(50−40)×(18−11)=60+15+15+70=160，（3分）
，
故r
5
()()
i
i
x x y y --∑≈
160
161
≈0.99．（5分） 因为y 与x 的相关系数近似为0.99，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（6分） (2)因为
5
2
1
()
i
i x x =-∑=(30−40)2+ (35−40)2+(40−40)2+(45−40)2+(50−40)2=250，
所以5
1
5
2
1
()()
ˆ()
i
i
i i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑=
160
250
=0.64， ˆˆa y bx =- =11−0.64×40=−14.6，所以y 关于x 的回归方程为ˆy =0.64x −14.6．（8分）
(3)由ˆy
=0.64x −14.6，当x =70时，ˆy =0.64×70−14.6=30.2， 故2017年该市70岁的人购买保健品的开支大约为3 020元．
18周岁的人每年给予120元的生活医疗补贴，年龄每增加一岁，则生活医疗补贴相应增加20元．由于70−18=52，故该市70岁的人生活医疗补贴为120+20×52=1 160元，个人需付款3 020−1 160=1 860元．（12分）
19．【解析】(1)因为AC
BC ，AB =2BC ，所以2
AB
=2)+2BC =42BC ，所以∆ABC 是直角三角形，
AC ⊥BC ．（1分）
在Rt ∆ABC 中，由AC
得，∠CAB =30°，
不妨设BD =1，由AD =3BD 得，AD =3，BC =2， AC
（2分） 在∆ACD 中，由余弦定理得2CD =2AD +2
AC −2AD×AC×cos 30°
=32
+2
−2×3×
cos 30°=9+12−18=3，故
，
所以2CD +2AD =2
AC ，（3分）
所以CD ⊥AD ．因为PD ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，
所以PD ⊥CD ．又PD ∩AD =D ，所以CD ⊥平面P AB ，又CD ⊂平面PCD ， 所以平面P AB ⊥平面PCD ．（5分）
(2)解法一因为PD⊥平面ABC，所以P A与平面ABC所成的角为∠P AD，即∠P AD=45°，可得∆P AD为等腰直角三角形，PD=AD，（6分）
由(1)得PD=AD=3，如图，过D作DE⊥AC，垂足为E，连接PE，
因为PD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，故PD⊥AC．又DE∩PD=D，
所以AC⊥平面PDE，∠PED为二面角P−AC−D的平面角．（8分）
在Rt∆ACD中，AC·DE=AD·CD，即
×DE
DE=
3
2
，
在Rt∆PDE中，PE
=，
所以cos∠PED
=
3
5 DE
PE
==．
故二面角P−AC−D
的平面角的余弦值为
5
（12分）
解法二因为PD⊥平面ABC，所以P A与平面ABC所成的角为∠P AD，即∠P AD=45°，可得∆P AD为等腰直角三角形，PD=AD，（6分）
由(1)得PD=AD=3，以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空
间直角坐标系，则D(0，0，0)，C
，0，0)，A(0，−3，0)，P(0，0，3)，则DP=(0，0，3)为平面
ACD的一个法向量．（7分）
设n =(x ，y ，z )为平面P AC 的法向量，
因为PA =(0，−3，−3)，PC
0，−3)，则由00PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
得30
330z y z -=--=⎪
⎩
令z=1，则x
，y =−1，故n
−1，1)为平面P AC 的一个法向量，（10分） 故cos<n ，DP
5
=
． 故二面角P −AC −D
的平面角的余弦值为
5
（12分） 【备注】(1)在判定线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从线线平行到线面平行，再
到面面平行；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但转化的方向根据题目的具体条件而定，决不可过于模式化．(2)用向量法求解空间角的关键是合理建系，在利用向量法求二面角的平面角时，应注意角的大小及相互关系，法向量的夹角与二面角可能相等，也可能互补．(3)解题时注意符号语言的规范应用．
20．【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为22
221x y a b
+=(a >b >0)，半焦距为c ．
依题意2c =2，故c =1，又a +c =3，所以a =2． （2分） 所以b
，
所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=．（4分） (2)假设存在与椭圆C 交于A ，B 两点的直线y kx m =+，使得以AB 为直径的圆过原点，则0OA OB ⋅=．
由22
143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得222
(34)84120k x kmx m +++-=，（6分） Δ=2
2
2
(8)4(34)(412)km k m -+->0，化简得22
34k m +>．
设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则1x +2x =2
834km
k
-+，1x 2x =2241234m k -+．
因为0OA OB ⋅=，所以1x 2x +1y 2y =0，1x 2x +(k 1x +m )(k 2x +m )=0，
(1+2
k )·2241234m k -+−km ·2
834km k
++2
m =0， 化简得，72m =12+122
k ，（8分）
将2
m =212127
k +代入3+42
k >2m 得，
3+42
k >2
12127
k +，此不等式恒成立．（9分）
因为|AB
， （11分） 当且仅当2
k =
3
4
时等号成立，所以|AB |max
． 故以AB 为直径的圆的面积的最大值为
π×22=74
π．（12分） 21．【解析】(1)因为()f x ' =
1x −2(1)k x + ，所以(1)f =5−2k ，(1)
f '=1−4
k
， 又曲线y =()f x 在点(1，(1)f )处的切线与直线x +2y −2=0垂直， 故1−
4
k
=2，解得k =−4，所以(1)f =7，(1)f '=2． 所以曲线y=()f x 在点(1，(1)f )处的切线方程为y −7=2(x −1)，即2x −y +5=0．（5分） (2)当x ∈(1，+∞)时，()f x >0恒成立等价于5+ln x >1
kx
x +恒成立， 等价于当x ∈(1，+∞)时，k <(1)(5ln )
x x x
++恒成立．（6分）
设()h x =
(1)(5ln )
x x x ++(x >1)，
则()h x '=2
4ln x x
x
-- (x >1)， 记()p x =x −4−ln x (x >1)，则p '(x )=1−
1x =1
x x
->0，所以()p x 在x ∈(1，+∞)上单调递增．又(5)p =1−ln 5<0，(6)p =2−ln 6>0，
所以()p x 在x ∈(1，+∞)上存在唯一的实数根m ∈(5，6)，（9分） 使得()p m =m −4−ln m =0，①
因此当x ∈(1，m )时，()p x <0，即()h x '<0，则()h x 在x ∈(1，m )上单调递减；
当x ∈(m ，+∞)时，()p x >0，即()h x '>0，则()h x 在x ∈(m ，+∞)上单调递增．
所以当x ∈(1，+∞)时，()h x min =()h m =
(1)(5ln )
m m m
++，（10分）
由①可得ln m =m −4，所以()h m =(1)(1)m m m ++=m +1
m
+2．
因为m ∈(5，6)，m +1
m
+2∈(365，496)，又h
，
p
1−
)>0，所以m ∈(5，
)， 因此()h m ∈(
36
5
，8)，又k ∈N*，所以k max =7．（12分） 【备注】函数的单调性与极值、最值的应用是高考命题的重点与热点，预测2017年高考对函数的单调性、
极值、最值等问题还会继续考查，但已知条件中函数表达式的结构形式不会太复杂，因而本题在函数表达式较简单的基础上加大问题设置上的变化，在不增加考生理解题意难度的基础上，力争更多地考查知识与能力． 22．【解析】(1)
ρ
cos(θ+
4π
)可化为ρ=2cos θ−2sin θ，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
，代入，得曲线C 的直角坐标方程为(x −1)2+(y +1)2=2．
将直线l
的参数方程化为1313x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩
(t 为参数)，代入(x −1)2+(y +1)2=2，
得2
t −
23t −1=0，设方程的解为1t ，2t ，则1t +2t =2
3
，1t 2t =−1， 因而|P A |+|PB |=|1t |+|2t
|==
（5分） (2)将直线l 的参数方程化为普通方程得
x −y −1=0， 设M
cos θ，−
sin θ)，由点到直线的距离公式， 得M 到直线AB 的距离为 d
=，
最大值为
3，由(1)知 |AB |=|P A |+|PB
|=3
，
因而∆MAB
面积的最大值为
123⨯=．（10分） 23．【解析】(1)当m =−1时，()f x =|x +1|+|x −1|．
由()f x ≥4得|x +1|+|x −1|≥4．
解法一 当x ≤−1时，不等式化为−x −1−x +1≥4， 即−2x ≥4，解集为(−∞，−2]．
当−1<x <1时，不等式化为1+x +1−x >4，不成立， 当x ≥1时，不等式化为x +1+x −1≥4， 即2x ≥4，解集为[2，+∞)．
综上，()f x ≥4的解集为(−∞，−2]∪[2，+∞)．（5分）
解法二 因为|x −1|+|x +1|表示数轴上的动点x 到两个定点−1，1的距离之和， 数形结合可知当x ≤−2或x ≥2时，()f x ≥4． 故()f x ≥4的解集为(−∞，−2]∪[2，+∞)．（5分） (2)当m =1时，()f x =2|x −1|不满足题意．
当m <1时，()f x =21,1,12(1),1x m x m
m m x x m x -++≤⎧⎪
-<<⎨⎪-+≥⎩
此时()f x 的最小值为1−m ， 依题意得1−m ≥3，即m ≤−2．
当m >1时，()f x =21,11,12(1),x m x m x m x m x m -++≤⎧⎪
-<<⎨⎪-+≥⎩
此时()f x 的最小值为m −1． 依题意得m −1≥3，即m ≥4．
综上，实数m 的取值范围是(−∞，−2]∪[4，+∞)．（10分）。