第2讲 两条直线的位置关系、点到直线的距离
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考点突破 考点二 两条直线的交点与点到直线的距离
【例2】直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1，6) 的距离之比为1∶2，求直线 l 的方程． 解 当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x＝2， 点A到直线l的距离为d1＝1， 点B到直线l的距离为d2＝3，不符合题意， 故直线l的斜率必存在． ∵直线l过点P(2，－5)， ∴设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)， 即kx－y－2k－5＝0. |3k－(－2)－2k－5| |k－3| ∴点A(3，－2)到直线l的距离 d1＝ ＝ 2 ， 2 k ＋1 k ＋1 |－k－6－2k－5| |3k＋11| 点 B(－1，6)到直线 l 的距离 d2＝ ＝ 2 . 2 k ＋1 k ＋1
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考点突破 考点二 两条直线的交点与点到直线的距离
【例2】直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1，6) 的距离之比为1∶2，求直线 l 的方程． ∵d1∶d2＝1∶2，
|k－3| 1 ∴ ＝ ， |3k＋11| 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴k2＋18k＋17＝0，
∴k1＝－1，k2＝－17.
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考点突破 考点一 两直线的平行与垂直
【例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1 ＝0. (1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2时，求a的值． (2)法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1与l2不垂直，故a＝1不成立； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2； 当a≠1且a≠0时， a 1 l1：y＝－ x－3，l2：y＝ x－(a＋1)， 2 1－a a 1 2 由－2· ＝－1⇒a＝ . 3 1－a 法二 由A1A2＋B1B2＝0， 2 得 a＋2(a－1)＝0⇒a＝ . 3
∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.
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考点突破 考点二 两条直线的交点与点到直线的距离
规律方法 利用距离公式应注意： (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的
距离d＝|y0－b|.
(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化 为相等．
第 2 讲
两条直线的位置关系、点到直线 的距离
夯基释疑 考点一 概要 考点突破 考点二 考点三 例1 例2 例3 训练1 训练2 训练3
课堂小结
夯基释疑
判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于 －1.( ) (3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1 ，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋ B1B2＝0.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线 的距离．( )
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考点突破 考点二 两条直线的交点与点到直线的距离
1 【训练 2】(1)已知直线 y＝kx＋2k＋1 与直线 y＝－ x＋2 的交点 2 位于第一象限，则实数 k 的取值范围是________．(2)见下一页
y＝kx＋2k＋1， 解得 解析 (1)法一 由方程组 1 6k＋1 y＝－ x＋2， 2 y＝2k＋1.
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考点突破 考点一 两直线的平行与垂直
【训练1】已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x ＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数 m＋n的值为( ) A．－10 B．－2 C．0 D．8
4－m 解析 ∵l1∥l2， ∴kAB＝ ＝－2， m＋2 解得m＝－8. 又∵l2⊥l3， 1 ∴－n× (－2)＝－1， 解得n＝－2， ∴m＋n＝－10. 答案 A
1 (若 2k＋1＝0，即 k＝－ ，则两直线平行) 2 2－4k 6k＋1 ， ∴交点坐标为 . 又∵交点位于第一象限， 2 k ＋ 1 2 k ＋ 1 2－4k ＞0， 2k＋1 1 1 ∴ 解得－ ＜k＜ . 6 2 6k＋1 ＞0， 2k＋1
得a(a－1)－1×2＝0， 由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0， 2＝0， a(a－1)－1× ∴l1∥l2⇔ 2 a(a －1)－1× 6≠0，
2 a －a－2＝0， ⇔ 2 ⇒a＝－1， a(a －1)≠6
故当a＝－1时，l1∥l2.
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考点突破 考点一 两直线的平行与垂直
规律方法 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率 ，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存 在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一 隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的 系数间的关系得出结论．
－3≠－(a＋1)，
综上可知，a＝－1时，l1∥l2.
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的关系求解；二是利 用直线方程的系数间 的关系求解．
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考点突破 考点一 两直线的平行与垂直
【例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1 ＝0. (1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2时，求a的值． 法二 由A1B2－A2B1＝0，
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考点突破 考点一 两直线的平行与垂直
【例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1 ＝0. (1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2时，求a的值． 解 (1)法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为 a 1 深度思考 l1：y＝－ x－3，l2：y＝ x－(a＋1)， 2 1－a 建议同学们用两种方 法来求解：一是求直 a 1 －2＝1－a， 线的斜率，利用斜率 l1∥l2⇔ 解得 a＝－1，
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考点突破 考点二 两条直线的交点与点到直线的距离
【例2】直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1，6) 的距离之比为1∶2，求直线 l 的方程． 解 当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x＝2， 点A到直线l的距离为d1＝1， 点B到直线l的距离为d2＝3，不符合题意， 故直线l的斜率必存在． ∵直线l过点P(2，－5)， ∴设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)， 即kx－y－2k－5＝0. |3k－(－2)－2k－5| |k－3| ∴点A(3，－2)到直线l的距离 d1＝ ＝ 2 ， 2 k ＋1 k ＋1 |－k－6－2k－5| |3k＋11| 点 B(－1，6)到直线 l 的距离 d2＝ ＝ 2 . 2 k ＋1 k ＋1
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考点突破 考点二 两条直线的交点与点到直线的距离
【例2】直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1，6) 的距离之比为1∶2，求直线 l 的方程． ∵d1∶d2＝1∶2，
|k－3| 1 ∴ ＝ ， |3k＋11| 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴k2＋18k＋17＝0，
∴k1＝－1，k2＝－17.
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考点突破 考点一 两直线的平行与垂直
【例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1 ＝0. (1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2时，求a的值． (2)法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1与l2不垂直，故a＝1不成立； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2； 当a≠1且a≠0时， a 1 l1：y＝－ x－3，l2：y＝ x－(a＋1)， 2 1－a a 1 2 由－2· ＝－1⇒a＝ . 3 1－a 法二 由A1A2＋B1B2＝0， 2 得 a＋2(a－1)＝0⇒a＝ . 3
∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.
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考点突破 考点二 两条直线的交点与点到直线的距离
规律方法 利用距离公式应注意： (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的
距离d＝|y0－b|.
(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化 为相等．
第 2 讲
两条直线的位置关系、点到直线 的距离
夯基释疑 考点一 概要 考点突破 考点二 考点三 例1 例2 例3 训练1 训练2 训练3
课堂小结
夯基释疑
判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于 －1.( ) (3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1 ，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋ B1B2＝0.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线 的距离．( )
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1 【训练 2】(1)已知直线 y＝kx＋2k＋1 与直线 y＝－ x＋2 的交点 2 位于第一象限，则实数 k 的取值范围是________．(2)见下一页
y＝kx＋2k＋1， 解得 解析 (1)法一 由方程组 1 6k＋1 y＝－ x＋2， 2 y＝2k＋1.
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考点突破 考点一 两直线的平行与垂直
【训练1】已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x ＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数 m＋n的值为( ) A．－10 B．－2 C．0 D．8
4－m 解析 ∵l1∥l2， ∴kAB＝ ＝－2， m＋2 解得m＝－8. 又∵l2⊥l3， 1 ∴－n× (－2)＝－1， 解得n＝－2， ∴m＋n＝－10. 答案 A
1 (若 2k＋1＝0，即 k＝－ ，则两直线平行) 2 2－4k 6k＋1 ， ∴交点坐标为 . 又∵交点位于第一象限， 2 k ＋ 1 2 k ＋ 1 2－4k ＞0， 2k＋1 1 1 ∴ 解得－ ＜k＜ . 6 2 6k＋1 ＞0， 2k＋1
得a(a－1)－1×2＝0， 由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0， 2＝0， a(a－1)－1× ∴l1∥l2⇔ 2 a(a －1)－1× 6≠0，
2 a －a－2＝0， ⇔ 2 ⇒a＝－1， a(a －1)≠6
故当a＝－1时，l1∥l2.
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考点突破 考点一 两直线的平行与垂直
规律方法 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率 ，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存 在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一 隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的 系数间的关系得出结论．
－3≠－(a＋1)，
综上可知，a＝－1时，l1∥l2.
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的关系求解；二是利 用直线方程的系数间 的关系求解．
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考点突破 考点一 两直线的平行与垂直
【例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1 ＝0. (1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2时，求a的值． 法二 由A1B2－A2B1＝0，
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考点突破 考点一 两直线的平行与垂直
【例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1 ＝0. (1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2时，求a的值． 解 (1)法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为 a 1 深度思考 l1：y＝－ x－3，l2：y＝ x－(a＋1)， 2 1－a 建议同学们用两种方 法来求解：一是求直 a 1 －2＝1－a， 线的斜率，利用斜率 l1∥l2⇔ 解得 a＝－1，