天津市第一中学2018届高三数学下学期第五次月考试题 文

天津一中、益中学校2017-2018学年度高三年级五月考试卷
数学(文史类）
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

每小题5分，共40分. 1.集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，3{|log (2)1}B x x =-≤,则()R A
C B =（ ）
A ．{|2}x x <
B ．{|12}x x x <-≥或
C ．{|2}x x ≥
D ．{|12}x x x ≤->或
2.设变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
,则目标函数2z x y =+的最小值为( ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 3.下列有关命题的说法正确的是( ）
A ．命题“若2
1x =，则1x ="的否命题为“若2
1x =，则1x ≠" B ．“1x =-”是“2
560x x --=”的必要不充分条件
C ．命题“0x R ∃∈，20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，2
10x x ++<" D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
4。

执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为4，则输出的结果是（ ）
A ．1
B ．12-
C ．54-
D ．13
8
- 5.若抛物线2
2(0)y px p =>的焦点到双曲线22
18x y p
-=2p ，则抛物线的标准方程为
( ）
A ．216y x =
B ．28y x =
C ．24y x =
D ．232y x = 6.已知0x >，0y >,lg 2lg8lg 4x y +=,则
11
3x y
+的最小值是（ ） A ．4 B ．22 C ．2 D ．23
7.已知()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，当0x <时，()()1f x x x =-。

则关于m 的不等式
()()2110f m f m -+-<的解集为( ）
A ．[)0,1
B ．(2,1)-
C ．(2,2)-
D ．[0,2) 8。

已知函数()24sin sin 24x f x x ωπω⎛⎫=⋅+
⎪⎝⎭()22sin 0x ωω->在区间2,23ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )
A ．(]0,1
B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝
⎦ C ．[)1,+∞ D ．13,24
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9。

已知复数13ai
z i
+=
-是纯虚数（其中i 为虚数单位，a R ∈)，则z 的虚部为 ． 10.已知在平面直角坐标系中,曲线()ln f x a x x =+在x a =处的切线过原点,则a = ． 11。

已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
12.已知直线y ax =与圆C :22
2220x y ax y +--+=相交于A ，B 两点,且ABC ∆为等边三角形，则圆C
的面积为 ．
13。

在平面四边形ABCD 中，已知3AB =，2DC =,点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且3AD AE =，
3BC BF =，若向量AB 与DC 的夹角为60，则AB EF ⋅的值为 ．
14。

定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，()21,11
21,13x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩
.若关于x 的方程
()0f x ax -=有5个不同实根，则正实数a 的取值范围是 ．
三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--。

（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值.
16.为了调查观众对某热播电视剧的喜爱程度,某电视台在甲、乙两地各随机抽取了8名观众作问卷调查，得分统计结果如图所示。

(1）计算甲、乙两地被抽取的观众问卷的平均分与方差.
（2）若从甲地被抽取的8名观众中再邀请2名进行深入调研，求这2名观众中恰有1人的问卷调查成绩在90分以上的概率.
17。

如图，四边形ABCD 为矩形,四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BF BC ⊥，
BF CE <,2BF =,1AB =，5AD =。

(1）求证：BC AF ⊥；
（2）求证://AF 平面DCE ;
（3)若二面角E BC A --的大小为120，求直线DF 与平面ABCD 所成的角。

18.已知数列{}n a ，0n a >，其前n 项和n S 满足122n n n S a +=-,其中*
n N ∈.
(1)设2n
n n
a b =
，证明：数列{}n b 是等差数列; (2)设2n n n c b -=⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：3n T <；
（3）设14(1)2n b n n n d λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n N ∈），试确定λ的值，使得对任意*
n N ∈，都有1n n
d d +>成立。

19。

已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，
若椭圆经过点)
1P -，且12
PF F ∆的面积为2。

（1）求椭圆C 的标准方程；
(2）设斜率为1的直线l A ，B 两点，与椭圆C 交于C ,D 两点，且
()CD AB R λλ=∈，当λ取得最小值时,求直线l 的方程.
20.设函数()2
ln f x x a x =-,()()2g x a x =-。

（1)求函数()f x 的单调区间;
（2）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点1x ，2x ； （i ）求满足条件的最小正整数a 的值. （ii ）求证：12'02x x F +⎛⎫
>
⎪⎝⎭
. 参考答案
一、选择题
1—5： BBDCA 6—8： CAD 二、填空题
9. 1 10。

e 11. 8163π+ 12. 6π 13. 7 14. 1,86⎛- ⎝ 三、解答题
15.【答案】（1
）5-
；(2
）。

【解析】试题分析:(1）首先根据正弦定理
sin sin a b
A B
=得到2a b =,再根据余弦定理即可求得cos A 的值；（2）根据（1)的结论和条件,由cos A 求得sin A ，然后根据sin 4sin a A b B =求得sin B ，再求cos B ,然后由二倍角公式求sin 2B ，cos 2B ,最后代入sin(2)B A -的展开式即可。

试题解析：(1）由sin 4sin a A b B =及
sin sin a b
A B
=，得2a b =.
由222)ac a b c =--及余弦定理，得222
cos 2b c a
A bc
+-
=
5ac =
=.
（2）由（1
）可得sin A =
sin 4sin a A b B =
，得sin sin 4a A B b ==. 由（1）知A
为钝角，所以cos B == 于是4sin 22sin cos 5B B B ==
，2
3cos 212sin 5
B B =-=， 故sin(2)sin 2cos cos 2sin B A B A B A -=
-43(55=
⨯-= 16。

【解析】试题分析:（1）利用茎叶图数据，即可求出答案； （2）根据茎叶图数据，利用方差公式即可求解；
（3）从8人中任取2人,利用列举法能求出参加调研的观众中恰有1人的问卷调查成绩在90分以上的概率; 解析：（1）依题意，1
(70280490288
x =
⨯+⨯+⨯+甲9124835)85+++++++=， 1
(70180490358
x =⨯+⨯+⨯+乙0035025)85+++++++=；
（2）2221[(7885)(7985)8
s =-+-甲222
(8185)(8285)(8485)+-+-+-
222(8885)(9385)(9585)]35.5+-+-+-=，
2
221[(7885)(8085)8
s =-+-乙222(8085)(8385)(8585)+-+-+-
222(9085)(9285)(9585)]41+-+-+-=。

（3）依题意,所有的事件的可能性为()78,79，()78,81，()78,82，()78,84，()78,88，()78,93，()78,95，
()79,81，()79,82，()79,84，()79,88，()79,93，()79,95，()81,82,()81,84，()81,88，()81,93，()81,95，()82,84,()82,88，()82,93，()82,95，()84,88,()84,93，()84,95,()88,93，()88,95，()93,95，共28种，
其中满足条件的为()78,93，()78,95，()79,93，()79,95，()81,93，()81,95，()82,93,()82,95，()84,93，
()84,95，()88,93，()88,95,共12种,故所求概率123
287P ==.
17。

（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴AB BC ⊥，又∵BF BC ⊥，AB ，BF 是平面ABF 内的两条相交直线，∴BC ⊥平面ABF ，∵AF ⊂平面ABF ，∴BC AF ⊥。

（2）在CE 上取一点M ,使CM BF =，连FM ,∵//BF CE ，∴//BF CM ， ∴四边形BCMF 为平行四边形,
∴//MF BC ，∴//MF AD ，∴四边形ADMF 为平行四边形，
∴//AF DM ，∵DM ⊂平面DCE ,AF ⊄平面DCE ,∴//AF 平面DCE 。

（3)∵BC AB ⊥，BC BF ⊥，∴ABF ∠就是二面角E BC A --的平面角, ∴120ABF ∠=，
∵2BF =，1AB =，AD =AF ==
∴在直角ADF ∆中，DF =
=
过F 作FN 与AB 的延长线垂直，N 是垂足，∴在直角FNB ∆中,FN = ∵BC ⊥平面ABF ，BC ⊂平面ABCD ,∴平面ABF ⊥平面ABCD , ∴FN ⊥平面ABCD ，∴FDN ∠是直线DF 与平面ABCD 所成的角，
在直角FDN ∆中,1
sin 2
FN FDN DF ∠=
==，∴30FDN ∠=. 18.【答案】（1）证明见解析；(2）证明见解析；（3）1λ=-。

【解析】解：（1）当1n =时，1124S a =-，∴14a =， 当2n ≥时，1
112222n n n n n n n a S S a a +--=-=--+,
∴122n
n n a a --=,即
1
1
122n n n n a a ---=， ∴11n n b b --=(常数）,
又1
12
a b =
，∴{}n b 是首项为2，公差为1的等差数列,1n b n =+。

（2）12(1)2
n
n n n c b n -=⋅=+⋅，
2231222n n n T +=++⋅⋅⋅+,211212222
n n n n n T ++=+⋅⋅⋅++，
相减得23111111122222n n n n T ++=+++⋅⋅⋅+-21111(1)12211212
n n n -+-+=+--1311222n n n ++=--，
∴213
333222
n n n n n n T ++=--=-<.
(3)由1n n d d +>,得1
24
(1)2n n n λ+++-⋅114(1)2n n n λ-+>+-⋅，
234(1)2n n n λ+⋅+-⋅1(1)20n n λ++-⋅>，134(1)230n n n λ+⋅+-⋅⨯>, 12(1)0n n λ-+->，
当n 为奇数时，1
2
n λ-<,∴1λ<;
当n 为偶数时，1
2
n λ->-，∴2λ>-,∴21λ-<<，
又λ为非零整数，∴1λ=-.
19.【答案】（1)22184x y +=；(2)λ
最小值3
，直线l 的方程为y x =。

【解析】（1)由12PF F ∆的面积可得1
2122c ⋅⋅=，即2c =,∴224a b -=. ① 又椭圆C
过点)
1P
-，∴2261
1a b
+=. ②
由①②解得a =2b =，故椭圆C 的标准方程为22
184
x y +=。

（2)设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l
的距离d =
，
由弦长公式可得AB ==。

将y x m =+代入椭圆方程22
184
x y +=，得2234280x mx m ++-=, 由判别式()
22
1612280m m ∆=-->
，解得m -<<
由直线和圆相交的条件可得d r <
<，也即22m -<<,
综上可得m 的取值范围是()2,2-.
设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，21228
3
m x x -=,
由弦长公式,得
CD
=
=
=. 由CD AB λ=
，得CD AB λ==
=。

∵22m -<<，∴2
044m <-≤，则当0m =时，
λ，此时直线l 的方程为y x =. 20.【答案】（1）()
f x 的单调增区间为2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
,单调减区间为0,2⎛ ⎝⎭
；
（2）（i ）3；（ii ）见解析。

解:(1）()22'2(0)a x a
f x x x x x
-=-=
>。

当0a ≤时，()'0f x >在()0,+∞上恒成立,所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞，此时()f x 无单调减区间。

当0a >时，由()'0f x
>，得x >
()'0f x
<，得0x << 所以函数()f
x 的单调增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭
,单调减区间为⎛ ⎝⎭。

（2）（i ）()()'22a F x x a x =---22(2)x a x a x
---=
(2)(1)
(0)x a x x x -+=>. 因为函数()F x 有两个零点，所以0a >，此时函数()f x 在,2a ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭单调递增，在0,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减。

所以()F x 的最小值02a F ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，即244ln 02a a a a -+-<.
因为0a >,所以4ln 402
a
a +->, 令()4ln
42
a
h a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数, 且()()381
220,34ln
1ln 10216
h h =-=-=-,所以()02,3a ∈，()00h a =。

当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时，()()332ln30F =->,()10F =,所以3a =时，()f x 有两个零点。

综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.
（2）证明:不妨设120x x <<，于是()2
1112ln x a x a x ---()2
2222ln x a x a x =---，
即()2
1112ln x a x a x ---()2
2222ln 0x a x a x -+-+=，
22112222x x x x +--1122ln ln ax a x ax a x =+--()1122ln ln a x x x x =+--。

所以221122
1122
22ln ln x x x x a x x x x +--=+--。

因为'02a F ⎛⎫=
⎪⎝⎭,当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0F x <，当,2a x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()'0F x >，
故只要证1222x x a +>即可,即证明221122
121122
22ln ln x x x x x x x x x x +--+>+--， 即证()()2
2
121212ln ln x x x x x x -++-22112222x x x x <+--，
也就是证112
212
22ln
x x x x x x -<
+. 设1
2
(01)x t t x =
<<. 令()22ln 1t m t t t -=-+，则()()()()2
22
114'11t m t t t t t -=-
=++. 因为0t >，所以()'0m t ≥, 当且仅当1t =时,()'0m t =， 所以()m t 在()0,+∞上是增函数.
又()10m =，所以当()0,1m ∈,()0m t <总成立，所以原题得证.。