高中数学数列知识点总结(精华版)

小小亲清辅导班
一、数列
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．
⑵在数列中同一个数可以重复出现．
⑶项 a n
与项数 n 是两个根本不同的概念．
⑷数列可以看作一个定义域为正整数集( 或它的有限子集) 的函数当自变量从小到大依
次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列
2. 通项公式：如果数列a n的第n项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即a n f (n) .
3. 递推公式：如果已知数列a n的第一项（或前几项），且任何一项a n与它的前一项
a n 1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f (a n 1 ) 或 a n f ( a n 1 , a n 2 ) ，那么这个式子叫做数列a n的递推公式.如数列 a n中， a11, a n2a n 1 ，其中
a n2a n 1 是数列a n的递推公式.
4.数列的前 n项和与通项的公式
① S n a1 a2a n；② a n
S1(n 1)
S n .
S n 1 (n 2)
5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列 .
①递增数列 : 对于任何n N ,均有 a n1
②递减数列 : 对于任何n N ,均有 a n1
③摆动数列 : 例如 :1,1,1,1,1, .
④常数数列 : 例如 :6,6,6,6,,,.
⑤有界数列 : 存在正数M使 a n M , n
a n.
a n. N.
⑥无界数列 : 对于任何正数M , 总有项a n使得a n M.
1、已知a n n(n N * ) ，则在数列 { a n } 的最大项为__（答：1
）；
n2156
an 25
2、数列{ a n}的通项为a n，其中 a,b 均为正数，则 a n与 a n 1的大小关系为___（答：
bn1
a n a n 1）；
3、已知数列{ a n}中，a n n2n ，且 { a n } 是递增数列，求实数的取值范围（答： 3 ）；
4、一给定函数y f ( x) 的图象在下列图中，并且对任意a1(0,1) ，由关系式a n 1 f ( a n )得到的数列 { a n } 满足 a n1a n (n N * ) ，则该函数的图象是（）（答： A ）
二、 等差数列
1、 等差数列的定义 ：如果数列
a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那 么 这 个 数 列 叫 做 等 差 数 列 ， 这 个 常 数 叫 等 差 数 列 的 公 差 。

即
a n a n 1 d (n N *
, 且
n
2) .(或 a
n 1
a n
d (n
N *
) ).
2、 （1）等差数列的判断方法：
①
定义法 ：
a n 1
a n
d (常数 ) a n 为等差数列。

② 中项法 ： 2a n
1
a n a n 2
a n 为等差数列。

③ 通项公式法 ： a n an b （ a,b 为常数）
a n 为等差数列。

④ 前 n 项和公式法 ： s
n A n 2 Bn （ A,B 为常数） a n 为等差数列。

如设 { a } 是等差数列， 求证：以 b n =
a 1
a 2
a n n N * 为通项公式的数列 {
b } 为
n
n
n
等差数列。

（ 2）等差数列的通项：
a n a 1
(n 1)d 或 a n a m ( n m)d 。

公式变形为 : a n an b .
其中 a=d, b=
a 1 －d.
如 1、等差数列 { a n } 中， a 10
30 ， a 20 50 ，则通项 a n
（答： 2n 10 ）；
2、首项为 -24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是
______
（答：
8
d 3）
3
（ 3）等差数列的前 n 和： S n
n(a 1
a n )
，
S n
na 1
n(n 1) d 。

公式变形为：
2
2
d
s n An 2 Bn
，其中 A= 2 ，B=a 1
d
. 注意：已知 n,d,
a 1 ,
a
n ,
s n
中的三者可以求
2
另两者，即所谓的“知三求二”。

如 数列 { a n } 中， a n
a
n 1
1
(n 2, n N * ) ， a n
3
，前 n 项和 S n
15 ，则
2
2
2
a 1 ＝＿， n ＝＿（答： a 1
3， n
10 ）；（ 2）已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 12n n 2
，
求数列 {| a n |} 的前 n 项和 T n （答： T n
12n n 2
(n 6, n N *
) ） .
n 2
12n 72(n
6, n N *
)
（ 4）等差中项：若a, A,b成等差数列，则 A叫做a与b的等差中项，且A a b 。

2提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到 5 个元素：a1、d、n、a n及S n，其中 a1、d称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。

（ 2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为, ，
a 2d ,a d, a, a d , a 2d ,（公差为 d ）；偶数个数成等差，可设为,，
a 3d, a d , a d , a3d ,,（公差为2d）
3. 等差数列的性质：
（ 1）当公差d0 时，等差数列的通项公式a n a1(n 1)d dn a1 d 是关于n的一
次函数，且斜率为公差 d ；前 n 和S n na1n(n
1)d d n2(a1
d
) n 是关于n的二次222
函数且常数项为0. 等差数列 {a
n } 中，
S
n
是 n 的一次函数，且点（ n，
S
n
）均在直线 y =
d
x n n2
d
+ (a 1－) 上
2
（ 2）若公差 d 0 ，则为递增等差数列，若公差d0 ，则为递减等差数列，若公差
d0 ，则为常数列。

（ 3）对称性：若a n是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之
和 . 当m n p q 时,则有 a m a n a p a q，特别地，当 m n 2 p 时，则有a m a n2a p.
如 1、等差数列{ a n}中，S n18, a n a
n 1
a
n23, S3 1，则 n ＝____（答：27）；
2、在等差数列a n中，a100, a110 ，且 a11| a10 | ，S n是其前n项和，则A、S1 , S2S10都小于0， S11, S12都大于 0B、S1, S2S19都小于0， S20 , S21都大于0C、S1, S2S5都小于0， S6 , S7都大于 0 D 、S1, S2S20都小于0，S21, S22都大于0 （答： B）
(4)项数成等差 ,则相应的项也成等差数列.即
a k
,
a k m
,
a k2m,...(k ,m N * ) 成等差.若
{ a n } 、{ b n } 是等差数列， 则 { ka n } 、{ ka n pb n } ( k 、 p 是非零常数 )、{ a p nq }( p, q N *
) 、
S n , S 2n S n , S 3 n S 2 n （公差为 n 2
d ）．，, 也成等差数列，而 { a a
n } 成等比数列；若 { a n } 是
等比数列，且 a n
0 ，则 {lg a n } 是等差数列 .
如 等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和为 100，则它的前 3n 和为。

（答： 225）
（ 5）在等差数列
{ a n } 中，当项数为偶数
2n 时，
s n
n(
a n a n 1) ；
s 偶 s 奇
nd ；
s 偶 a n 1
s 奇
.
a n
项数为奇数 2n
1时，
s 2 n 1
(2n
1)
a n ；
s 偶 s 奇 a 1
；
s
偶
n 1 。

s 奇
n
如 1、在等差数列中， S 11＝22，则 a 6 ＝ ______（答： 2）；
2、项数为奇数的等差数列
{ a n } 中，奇数项和为
80，偶数项和为 75，求此数列的
中间项与项数（答： 5； 31）.
（ 6）单调性：设 d 为等差数列
a n 的公差，则
d>0
a n 是递增数列； d<0
a n 是递减数列； d=0 a n 是常数数列
(7) 若 等 差 数 列 { a n } 、 {b n } 的 前 n 和 分 别 为 A n 、 B n ， 且
A n
f (n) ， 则
B n
a n
(2n 1)a n A
2n
1 f (2n 1) .
b n
(2 n 1)b n
B 2n
1
如 设 { a n } 与 { b n } 是 两 个 等 差 数 列 ， 它 们 的 前 n 项 和 分 别 为 S n 和 T n ， 若
S n
3n 1
，
那
么
T n
4 n
3
a n __________
_
b n
（答： 6 n 2 ）
8 n 7
（ 8）设 a ，a m ，a n 为等差数列中的三项， 且 a 与 a m ，a m 与 a
n 的项距差之比
l m =
l
l
m n
（ ≠－ 1），则 a
m
= a
l
a n ．
1
（ 9）在等差数列 { a n } 中， S n = a ， S m = b (n ＞ m)，则 S m n =
n
m
(a － b) ．
n m
8、已知 a n 成等差数列，求
sn 的最值问题：
① 若
a 1 0 ,d<0 且满足 a n 0,
,则 s n 最大；
a n
1 0
②若 1 0 ,d>0 且满足 a
n
0 ,
,则 s
n 最小 .
a
a n 1 0
“首正”的递减等差数列中，前 n 项和的最大值是所有非负项之和；
“首负”的递增等
差数列中， 前 n 项和的最小值是所有非正项之和。

法一：由不等式组
a n 0
a n 0
a n 或
a n 10
10
确定出前多少项为非负（或非正） ；法二：因等差数列前
n 项是关于 n 的二次函数，故可转
化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
n N *。

上述两种方法是运用了哪种数学
思想？（函数思想） ，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如 1、等差数列 { a n } 中， a 1
25 ， S 9 S 17 ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答：前 13 项和最大，最大值为
169）；
2、若 { a n } 是等差数列，首项
a 1
0, a
2003
a
2004
0 ，
a 2003 a 2004 0，则使前 n 项和 S n 0 成立的最大正整数
n 是
（答： 4006）
(10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，
且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数 . 注意：公共项仅是公共的项，其项
数不一定相同，即研究
a n
b m .
三、等比数列
1、等比数列的有关概念：如果数列a n从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常
数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。

即a n
q (n *
, n2)（或
a n 1
N a n1
* )
a n q(n N
、等比数列的判断方法：定义法a
n 1q(q为常数，其中 q0, a0或
a
n1a n
2
a n）n a n a n1
( n2) 。

如1、一个等比数列{ a n}共有
2n 1 项，奇数项之积为100，偶数项之积为 120，则a n 1为 ____（答：5
）；6
2、数列{
a n
}
中，S n =4 a n1 +1 ( n 2 )且 a1=1，若 b n
a
n 12a n，求证：数列｛ b n｝
是等比数列。

3、等比数列的通项：a n a1 q n 1或 a n a m q n m。

如设等比数列 { a n }中， a1a n66 ， a2 a n1 128 ，前n项和 S n＝126，求n和公比
q .（答： n 6 ，q 1
或 2）2
4、等比数列的前 n 和： 当 q 1时， S n na 1 ；当 q 1时， S n
a 1 (1 q n
)
a 1
a n q。

1 q
1 q
如 等比数列中， q ＝ 2，S 99=77 ，求 a 3 a 6 a 99 （答： 44）
提醒： 等比数列前 n 项和公式有两种形式， 为此在求等比数列前
n 项和时， 首先要判断 公比 q 是否为 1，再由 q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比
q 是否为 1 时，要对
q 分 q 1和 q 1两种情形讨论求解。

5、等比中项： 如果 a 、G 、b 三个数成等比数列， 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项， 即 G=
ab .
提醒 ：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个
ab 。

如已知两个正数 a, b(a b) 的等差中项为 A ，等比中项为
B ，则 A 与 B 的大小关系为
______（答： A ＞B ）
提醒 ：（ 1）等比数列的通项公式及
前 n 项和公式中， 涉及到 5 个元素： a 1 、 q 、 n 、 a n
及 S n ，其中 a 1 、 q 称作为基本元素。

只要已知这
5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余
2
个，即知 3 求 2；（ 2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为
, ，
a , a
,a,aq ,aq 2
, （公比为 q ）；但偶数个数成等比时，不能设为, a , a
, aq, aq 3
，, ，
q 2
q
q 3 q
因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为
q 2。

如有四个数，其中前三
个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是
16，第二个数与第三
个数的和为 12，求此四个数。

（答： 15， ,9， 3,1 或 0,4， 8,16）
6、等比数列的性质 ：
（ 1）对称性：若 a n 是有穷数列， 则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.
即当 m n p q 时，则有 a m .a n a p .a q ，特别地， 当 m n 2p 时，则有 a m .a n a p 2 .
如 1 、在 等比数列 { a n } 中，a 3 a 8 124, a 4a 7
512 ， 公比 q 是整数，则 a 10 =___（答：
512）；
2 、各项均为正数的等比数列 { a n } 中，若 a 5 a 6 9 ，则 log
3 a 1 log 3 a 2
log 3 a 10
（答： 10）。

(2) 若{ a
n } 是公比为 q 的等比数列，则 {| a
n |} 、 {a
2 } 、 {ka n } 、{ 1
} 也是等比数
n
a n
列，其公比分别为| q |} 、{q 2
} 、{q}、 {
1
} 。

若{} {}
成等比数列，则 { a n b n} 、 {
a n
} q a n、b n b n
成等比数列；若 { a n } 是等比数列，且公比q 1 ，则数列 S n , S2 n S n , S3n S2n，,也
是等比数列。

当q 1 ，且n为偶数时，数列S n , S2n S n , S3 n S
2n， , 是常数数列0，
它不是等比数列 .若a n是等比数列，且各项均为正数，则log
a a n成等差数列。

若项数
为 3n的等比数列 (q ≠－ 1) 前 n 项和与前 n 项积分别为 S1与 T1，次 n 项和与次 n 项积分别
为 S 2与 T 2，最后 n 项和与 n 项积分别为 S3与 T3，则 S1，S2，S3成等比数列， T1，T 2，T 3亦成等比数列
如 1 、已知a 0且a 1 ，设数列 { x n } 满足 l o g a x n 11l o a xg n(n N * )，且
x1x 2x 1 0 0 100 ，则 x101x
102
x
200. （答：100a
100
）；
2、在等比数列{ a n}中，S n为其前 n 项和，若S3013S10 , S10 S30 140，则 S20的值为 ______（答： 40）
(3)单调性：若 a1 0, q1，或 a10,0q 1 则 { a n} 为递增数列；若 a10, q1,或
a10,0 q1则 { a n} 为递减数列；若 q0 ，则 { a n } 为摆动数列；若 q 1，则 { a n } 为
常数列 .
(4)当 q1时， S n a1q n a1aq n b ，这里a b0 ，但a0, b0 ，
1q1q
这是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据S n，判断数列 { a n} 是否为等比数列。

如若 { a n } 是等比数列，且S n 3 n r ，则r＝（答：－ 1）
(5)S m n S m q m S n S n q n S m.如设等比数列 { a n } 的公比为q，前n项和为 S n，
若
S n 1 , S n , S n 2成等差数列，则 q 的值为_____（答：－2）
(6)在等比数列{ a n } 中，当项数为偶数2n 时，S偶qS奇；项数为奇数2n 1时，S奇a1qS偶.
(7) 如果数列 { a n } 既成等差数列又成等比数列，那么数列{ a n } 是非零常数数列，故常数
数列 { a n } 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

如设数列
a n 的前 n 项和为 S n （ n N ）， 关于数列
a n 有下列三个命题：①若
a n a n 1 ( n N ) ，则
a n 既是等差数列又是等比数列；②若
S n a n 2
b n 、 R ，
a b
则 a n 是等差数列； ③若 S n 11 n
，则 a n 是等比数列。

这些命题中， 真命题的序号
是
（答：②③）
⑧等差数列中， S m+n =S m +S n +mnd ；等比数列中， S m+n =S n +q n S m =S m +q m
S n ；
四、难点突破
1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已
知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．
2．等差 ( 比) 数列的定义中有两个要点：一是“从第
2 项起”，二是“每一项与它前一项
的差 ( 比 ) 等于同一个常数” ．这里的“从第 2 项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存
在，而“同一个常数”则是保证至少含有 3 项．所以，一个数列是等差
( 比 ) 数列的必要非充
分条件是这个数列至少含有
3 项．
3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴
{ a n } 与
a n 是不同的，前者表示数列
a 1 ，
a 2 ，, ，
a n ，, ，而后者仅表示这个数列的第
n 项；⑵数列
a 1 ， a 2 ，, ， a n ，, ，与集
合{ a
1 ， a
2 ，, ，
a n ，, ， } 不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一
个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．
4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：
⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为
S ，则通常设 , ， aq 2 ， aq 1
， a ，aq ，
aq 2
，, ；
⑵对连续偶数个项同号 的等比数列，若已知其积为 S ，则通常设 , ， aq 3 ，aq 1 ，aq ，aq 3
，, ．
．．
5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为
0，因此，在研究等比数列时，
要注意 a n ≠ 0，因为当 a n = 0 时，虽有 a n 2
= a n
1
· a
n
1 成立，但 {a n } 不是等比数列，即
“b 2
= a · c”是 a、 b、 c 成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{a n } ，“ 2b = a +
c”是 a、 b、 c 成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．
6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“ 0”．等比数列的前 n 项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分 q = 1 和 q≠1 进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．。