上海市徐汇区2013届高三上学期期末教学质量调研数学理试题

2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷 （理）
（考试时间：120分钟，满分150分） 2013.1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．方程组21
32
x y x y -=⎧⎨
+=-⎩的增广矩阵是__________________.
【答案】211132-⎛⎫
⎪-⎝⎭
【Ks5U 解析】根据增广矩阵的定义可知方程组的增广矩阵为211132-⎛⎫
⎪-⎝⎭。

2. 已知幂函数()f x 的图像过点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则此幂函数的解析式是()f x =_____________.
【答案】13
x
-
【Ks5U 解析】设幂函数为()f x x α
=，则由1(8)2f =
得182
α=，即3122α-=，所以31α=-，13
α=-，所以
1
3
()f x x -=。

3．（理）若θ为第四象限角，且4
sin()2
5
π
θ+=
，则sin 2θ=___________. 【答案】2425
-
【Ks5U 解析】由4sin(
)25π
θ+=
得4cos 5θ=，因为θ为第四象限角，所以3sin 5
θ=-，所
以3424
sin 22sin cos 2()5525
θθθ==⨯-⨯=-。

4．若抛物线2
2(0)y px p =>的焦点与双曲线
22
1610
x y -=的右焦点重合，则实数p 的值是 . 【答案】8
【Ks5U 解析】抛物线的焦点坐标为(
,0)2
p
，在双曲线中22610a b ==，，所以22216c a b =+=，所以4c =，即双曲线的右焦点为(4,0)，所以482
p
p ==，。

5．函数()sin()(0,0,||
)
2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则()f x = _________.
【答案】()2sin
4
f x x π
=
【Ks5U 解析】由图象可知26242
T
A ==-=，,即周期8T =,由28T π
ω==得，4
π
ω=
，
所以()2s i n ()4
f x x π
ϕ=
+，有(2)2f =得，(2)
2s i n (2)2
4
f π
ϕ=⨯+
=，即s i n ()12πϕ+=，所以22k k Z ππϕπ+=+∈，，所以k k Z ϕπ=∈，，因为2
π
ϕ<，所以
0ϕ=，所以()2sin 4f x x π
=。

6．（理）若(1,2)n =-是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________________. (结果用反三角函数值表示) 【答案】1
tan
2
arc 【Ks5U 解析】因为(1,2)n =-是直线l 的一个法向，所以1(1,)2
是直线的一个方向向量，即直线的斜率12k =
，所以1tan 2θ=，所以1tan 2arc θ=，即直线的倾斜角为1tan 2
arc 。

7．（理）不等式
21
20
02103
2
1
x x +-≥的解为 . 【答案】0x ≤
【Ks5U 解析】由行列式的定义可知不等式为2(21)232(21)0x
x
x
-++⨯-+≥，整理得
2(2)3240x x +⋅-≤，解得421x -≤≤，所以0x ≤。

8．高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示) 【答案】
3135
【Ks5U 解析】3人中有1个是女生的概率为12343
718
35C C C =，3人中有2个是女生的概率为2134371235C C C =，3人中有3个是女生的概率为3
33
71
35
C C =，所以选出的人中至少有一名女生的概率是
1812131
3535
++=。

9．如图所示的程序框图，输出b 的结果是_________.
【答案】1 【Ks5U
解析】由程序框图可知234
10
lg
lg lg lg
123
9
b =++++，所以 23410
lg lg lg lg
lg101123
9
b =+++
+==。

10．（理）已知等比数列}{n a 的首项11=a ，公比为(0)q q >，前n 项和为n S ，若
1
lim
1n n n
S S +→∞=，则公比q 的取值范围是 .
【答案】01q <≤
【Ks5U 解析】若1q =，则1n S na n ==，11(1)1n S n a n +=+=+，所以
11
n n S n S n
++=，所以11
lim lim 1n n n n
S n S n +→∞→∞+==，满足条件，所以1q =。

若1q ≠，则1(1)1n n a q S q -=-，
111(1)1n n a q S q ++-=-，所以1111n n n n S q S q ++-=-，所以111l i m l i m 1n n n n n n S q S q
++→∞→∞-=-，若1q >，1111lim lim lim 1
11n n n n
n n n n
n
q S q q q S q q ++→∞→∞→∞--===--，不满足条件。

若01q <<，
111lim lim 11n n n
n n n
S q S q ++→∞→∞-==-满足条件，所以公比q 的取值范围为01q <≤。

11. （理）若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i ==且10(1,2,3)i i a a i +⋅==,则
1234a a a a +++可能的值有____________个.
【答案】3 【Ks5U 解析】因为
1223340,0,0a a a a a a ⋅=⋅=⋅=，所以122334,,a a a a a a ⊥⊥⊥，所以
1324
//,//a a a a ，设
314,a x a a
y a
=
=，因为
1
i a =1,x y =±=±
，123412
(1)(1)a a a a x a y a +++=+++，
所
以
2
2
221234(1)2(1)(1)(1)(1a a a a x a x
y a a y a
+++=++++⋅++=+，因为1,1x y =±=±，
所以当1,1x y ==
时，1234(1a a a a +++=== 当1,1x y =-=-
，时1234(10a a a a +++===，
当1,1x y ==-
，时1234(12a a a a +++===， 当1,1x y =-=，时1234(12a a a a +++=
==，
综上1234a a a a +++可能的值有3个。

12．（理）在ABC ∆中，0
60A ∠= ，M 是AB 的中点，若
2,AB BC ==D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为____________. 【答案】23
16
【Ks5U
解析】由余弦定理得2
2
2
2cos60
BC AB AC AB AC =+
-⋅,即
2222
2AC AC =+-，即2280A C A
C --=，
解得4AC =。

所以ABC ∆为直角三
角形， 30C =.将三角形放入直角坐标系中，由题意可知(2,0),(1,0),(2,B M C ,所以
AC =，因为D 在线段AC 上运动，设(2,(2,)AD x AC x x ===,即
(2,)D x ，01x ≤≤，所以(22,)DB x =--，(12,)DM x =--,所以
(22,)(123)D B D M x x x x ⋅=-⋅-2
(22)(12)3)
x x x =--+ 22323166216()1616x x x =-+=-
+,所以当316x =时，DB DM ⋅的最小值为23
16。

13．（理）函数{}
()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a b
a b b a b ≤⎧=⎨>⎩
，若动直线y m =与
函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________. 【答案】1
【Ks5U 解析】由2x =-得2444x x x =-+，即2
840x x -+=，解得4x =+
4x =-4B x =-4C x =+，所以422B y =-=，所以
由图象可知要使直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则有
02m <<，即实数m 的取值范围是02m <<。

不妨设123x x x <<，则由题
意可知m =，所以2
14m x =，由2x m -=得232,2x m x m =-=+，所以
222123(4)(2)(2)44m m m x x x m m -=-+=，因为2222
24(4)(
)42
m m m m +--≤=，所以
22123(4)4
144
m m x x x -=≤=，即123x x x 存在最大值，最大值为1.
14．已知线段010A A 的长度为10，点129,,
,A A A 依次将线段010A A 十等分.在0A 处标0，
往右数1点标1，再往右数2点标2，再往右数3点标3……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照0A →10A →0A →10A →
的方向顺序，不断标下去，
（理）那么标到2010这个数时，所在点上的最小数为_____________.
【答案】5
【Ks5U 解析】记标有1为第1号，由于对这些点进行往返标数（从
0A →10A →0A →10A →
进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数），则标有
2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是1+2+3+4，…，标有2010的是
1+2+3+…+2010=2021055号．考虑为一圆周，则圆周上共18个点，所以2021055除以18的余数为15，此时点数到了10
A ,从后往前数数到15时到达
5
A ,此时数为5。

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．下列排列数中，等于*(5)(6)
(12)(13,)n n n n n N ---≥∈的是 （ ）
(A)712n P - (B) 75n P - (C) 85n P - (D) 8
12n P -
【答案】C
【Ks5U 解析】根据排列公式可知85(5)(6)
(12)n n n n P ----=,选C.
16．在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“0
90C ∠=”的 （ ）
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】B
【Ks5U 解析】由cos si n cos si n
A A
B B +=
+
得))44
A B ππ
+=+，即s i n ()s i n ()44A B ππ+=+，所以44A B ππ+=+或()44A B ππ
π+=-+，即A B =，或
2A B π+=，即2
C π
=，所以“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的必要不
充分条件，选B.
17．若函数21
()ax f x x
-=在()0,+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是
（ ）
(A)0a ≥
(B)0a >
(C)0a ≤
(D) 0a <
【答案】A
【Ks5U 解析】函数的导数为22222
2(1)1
'()ax ax ax f x x x --+==，因为函数()f x 在(0,)
+∞上单调递增，所以当0x >时，22
1'()0ax f x x
+=>恒成立，即2
10ax +>恒成立，所以0a ≥，选A.
18．（理）对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y (不是原点),A 的“对偶点”B 是指：满足
1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 若,,,P Q R S 是在同一直线上的四个不同的点
(都不是原点),则它们的“对偶点”'
'
'
'
,,,P Q R S （ ） (A) 一定共线 (B) 一定共圆
(C) 要么共线，要么共圆 (D) 既不共线，也不共圆 【答案】C
【Ks5U 解析】若直线经过原点，此时它们的“对偶点”
'''',,,P Q R S 也一定在直线上。

若直线不过原点，
,设O 在直
线上的垂足为M ,M 的对偶点为'M ,则'1OM OM ⋅=，又'1OR OR ⋅=,即
''OR OR OM OM ⋅=⋅,即
'
'
OR OM OM OR =
，所以
''OMR OR M ,所以
''
90O R M ∠=,所以点'R 位于以'OM 为直径的圆上，同理,,P Q S 的对偶点',','P Q S 也
在以'OM 为直径的圆上，所以此时共圆，所以选C.
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分12分)
已知集合3
{|
0}4
x A x x -=<-，
实数a 使得集合{}|()(5)0B x x a x =-->满足A B ⊆， 求a 的取值范围.
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数)(x f =2
1
log 1
x x +-. (1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；
(2)求)(x f 的反函数)(1
x f
-，并求使得函数12()()log g x f x k -=-有零点的实数k 的取
值范围.
21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （理）某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为40R cm =，
同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为280l cm = (假定四个轮胎中心构成一个矩形). 当该型号汽车开上一段上坡路ABC （如图(1)所示，其中
ABC α∠=(3
4
παπ<<)）,且前轮E 已在BC 段上时，后轮中心在F 位置；若前轮中心
到达G 处时，后轮中心在H 处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路). 设前轮中心在E 和G 处
时与地面的接触点分别为S 和T ，且60BS cm =,100ST cm =. (其它因素忽略不计)
(1)如图(2)所示，FH 和GE 的延长线交于点O ，
求证：40cot 602
OE α
=+(cm)；
(2)当α=5
6
π时，后轮中心从F 处移动到H 处实际移动了多少厘米? (精确到1cm)
22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.
（理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,-在椭圆C 上，点T 满足2
OT OF =
（其中O 为坐标原点）
，过点F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点 .
(1)求椭圆C 的方程； (2)求PQT ∆面积的最大值；
(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q '与QT 的位置关系，并说明理由.
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.
（理）对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a ,公比为正整数(1)q q >的无穷等比数列{}n a 的子数列问题. 为此，他任取了其中三项
,,()k m n a a a k m n <<.
(1) 若,,()k m n a a a k m n <<成等比数列,求,,k m n 之间满足的等量关系；
(2) 他猜想：“在上述数列{}n a 中存在一个子数列{}n b 是等差数列”，为此，他研究了k n a a +与2m a 的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；
(3) 他又想：在首项为正整数a ,公差为正整数d 的无穷等差数列中是否存在成等比数列的子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.
参考答案
一、填空题：（每题4分）
1. 2111-⎛⎫ ⎪
⎝⎭
3　-2 2. 1
3x - 3. （理）2425- 4. 8 5. 2sin 4
x π
6. （理）arctan 12
7. （理）x ≤0
8.
31
35
9. 1 10. （理）0<q ≤1 11. （理） 3 12. （理） 23
16
13. （理） 1 14. （理） 5
二、选择题：（每题5分）
15. C 16. B 17.A 18. （理）C
三、解答题
19. 解：A= (3,4)………………………………………………………………………………..2分
a ≥5时，B=(,)(,5)a +∞⋃-∞，满足A ⊆B ；…………………………………..6分 a<5时，B=(5,)(,)a +∞⋃-∞，由A ⊆B ，得a ≥4，故4≤a<5，……………..10分 综上，得实数a 的取值范围为a ≥4. ……………………………………………..12分
20. 解：(1)f(x)的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃+∞……………………………………………..2分
f(-x)=log 211x x -+--=log 211
x x -+=-f(x)， 所以，f(x)为奇函数. ………………………………………..6分
(2)由y=21log 1
x x +-，得x=2121y y +-, 所以，f -1(x)= 2121x x +-,x ≠0. ……………………………………..9分 因为函数12()()log g x f x k -=-有零点，
所以，2log k 应在)(1x f -的值域内.
所以，log 2k=2121x x +-=1+221
x -(,1)(1,)∈-∞-⋃+∞, ………………….13分 从而，k 1(2,)(0,)2∈+∞⋃. ……………………………………………..14分
21．（理）解：(1) 由OE//BC ，OH//AB ，得∠EOH=α，………………………..2分
过点B 作BM ⊥OE ，BN ⊥OH ，则
Rt ∆OMB ≅Rt ∆ONB ，从而
∠BOM=
2α. ……………………………..4分 在Rt ∆OMB 中，由BM=40得OM=40cot 2
α，从而，OE=OM+ME=OM+BS=40cot
602α+. ………………………………..6分 (2)由(1)结论得OE=04060tan 75
+. 设OH=x ，OF=y,
在∆OHG 中，由余弦定理得,
2802=x 2+(04060tan 75++100)2-2x(04060tan 75
++100)cos1500 , 解得x ≈118.8cm. ………………………………………………………………..9分
在∆OEF 中，由余弦定理得,
2802=y 2+(04060tan 75+)2-2y(04060tan 75
+)cos1500 , 解得y ≈216.5cm. …………………………………………………………..12分
所以，FH=y-x ≈98cm ，
即后轮中心从F 处移动到H 处实际移动了约98cm. ………………………14分
22．（理）解:(1)由222211112a b a b
⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，得…………………………………..2分
a 2=2,
b 2=1
所以，椭圆方程为2
212
x y +=. ………………………………………..4分 (2)由 22112
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(m 2+2)y 2+2my-1=0, 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，由条件可知，点(2,0)T .
PQT S ∆=12|FT||y 1-y 2
|=12
..6分 令t=212m +，则t 1(0,]2
∈， 则PQT S ∆
2≤，当且仅当t=12
，即m=0 (此时PQ 垂直于x 轴)时等号成立，所以PQT S ∆
的最大值是2
. …………..10分 (3) P Q '与QT 共线 ………………………………………………………………..11分
P '(x 1,-y 1)，P Q '=(x 2-x 1,y 2+y 1)，TQ =(x 2-2,y 2) ……………………………..12分
由(x 2-x 1)y 2-(x 2-2)(y 1+y 2)
=-x 1y 2-x 2y 1+2(y 1+y 2)
=-(my 1+1)y 2-(my 2+1)y 1+2(y 1+y 2)
=-2my 1y 2+(y 1+y 2) =-2m 212m -++222
m m -+ =0，所以，P Q '与QT 共线…………………………………………………..16分
（
23．（理）解:(1)由已知可得：111,,k m n k m n a aq a aq a aq ---===, ………..…..1分
则2m k n a a a =⋅,即有()()()2111
m k n aq aq aq ---=, ………….…………. …..3分 2(1)(1)(1)m k n -=-+-，化简可得. 2m k n =+. …………………………..4分
(2) 11k n k n a a aq aq --+=+,又122m m a aq -=,
故 1111()22(12)k n m k n k m k k n m a a a aq aq aq
aq q q ------+-=+-=+-,……………..6分
由于,,k m n 是正整数，且n m >，则1,1n m n k m k ≥+-≥-+,
又q 是满足1q >的正整数，则2q ≥,
112121212210n k m k m k m k m k m k m k m k q q q q qq q q q ---+-----+-≥+-=+-≥+-=>, 所以，k n a a +>2m a ,从而上述猜想不成立. …………………………………..10分
(3)命题:对于首项为正整数a ，公差为正整数d 的无穷等差数列{}n a ，总可以找到一个无穷子数列{}n b ,使得{}n b 是一个等比数列. ……….. …….. …………..13分 此命题是真命题,下面我们给出证明.
证法一: 只要证明对任意正整数n,(1),1n n b a d n =+≥都在数列{a n }中.因为
b n =a(1+d)n =a(1+1n C d+2n C d 2+…+n n C d n )=a(Md+1)，这里M=1n C +2n C d+…+n n C d n-1为正整数，所以a(Md+1)=a+aMd 是{a n }中的第aM+1项，证毕. ……………..18分 证法二：首项为a ,公差为d ( *,a d N ∈)的等差数列为,,2,
a a d a d ++,考虑数列{}n a 中的项: 2,(2),(33),a ad a a ad d a a ad d d ++++++
依次取数列{}n b 中项1(1)b a ad a d =+=+,22(2)(1)b a a ad d a d =++=+,
233(33)(1)b a a ad d d a d =+++=+,则由2233a a ad a ad d <+<++,可知3212
b b b b =,并由数学归纳法可知,数列(1),1n n b a d n =+≥为{}n a 的无穷等比子数列. ...18分。