2007年广东省电白县普通高中毕业班模拟测试题与答案

2007年电白县普通高中毕业班模拟测试题
数 学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答
题卡上．用2B 铅笔将答题卡上试卷类型（A ）涂黑．在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号”列表内填写座位号，并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑．不按要求填涂的，答卷无效．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考试必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．设集合{0,1,2,3,}I =，{1}A =，{0,2}B =，则()I A C B = （ ） A ．{1} B ．{1,3} C ．{0,3} D ．{0,1,3}
2．复数
3443i
i
-++的值为（ ）
A ．i
B ．i -
C ．5i
D ． 5i -
3．条件:2p a ≤，条件:(2)0q a a -≤，则p ⌝是q ⌝的（ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知4
6()(2)6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩
，则(3)f =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．若cos sin αα-=，则sin 2α的值是（ ）
A B ．14 C ．34 D ．34-
6．设,m n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题：
①
//////αββγαγ⎫⇒⎬
⎭
②//m m αββα⊥⎫
⇒⊥⎬⎭ ③
//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫
⇒⎬⊂⎭
其中为真命题的是（ ）
A ．① ④
B ．② ③
C ．① ③
D ．② ④
7．已知双曲线的中心位于原点，
若它的一条准线与抛物线24y x =的准线重
合，则该双曲线与抛物线24y x =的交点到原点的距离是 （ ） A
．6 B
C
．18+ D ．21 8．设函数()f x 定义域为R ，有下列三个问题：
①若存在常数M ，使得任意x R ∈，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； ②若存在0x R ∈，使得任意x R ∈，且0x x ≠，有0()()f x f x ≤，则0()f x 是函数()f x 的最大值；
③若(21)f x +的最大值为2，则(41)f x -的最大值为2． 这些命题中，真命题的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，其中9～12题是必做题，13～15题是选做题，每小题5分，
满分30分．
9．如图1所示，此程序运行结果是 ．
10．二项式6
1(2)x x
-的展开式中常数项为 （用数字作答）．
11．已知,x y 满足约束条件50
03x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值
是 ．
12．三个学校分别有1名，2名，3名学生获奖，这6人排成一排合影，要求同校任两名同学不能相邻，那么不同的排法有 种．
▲选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分． 13
．已知：直线极坐标方程是sin()4
2
π
ρθ+
=
，则极点到该直线的距离是 ． 14．如图2所示：OA 是O 的半径，以OA 为直径的C 与O
的弦AB 相交于点D ，且AB=2，则BD 的长为 ． 15
．函数y = _________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 16．（本小题满分12分）
已知函数2
()2cos sin cos f x x a x x =+，()06
f π
=．
（1）求实数a ；
（2）求函数()f x 的最小正周期及单调区间．
17．（本小题满分12分）
甲、乙两人独立破译一个密码，他们能独立译出密码的概率分别为
12和14
． （1）求甲、乙两人均不能译出密码的概率；
（2）假设有三个与甲同样能力的人一起独立破译该密码（甲、乙均不参加），求译出该密码人数ξ的概率分布列与数学期望．
18．（本小题满分14分）
已知直三棱柱111ABC A B C -中，，4AB =，
12AC AA ==，60CAB ∠= ．
（1）求证：111AC BC ⊥；
（2）求二面角11C A B C --正切值的大小．
19．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、
)0,1(F 2，动点P 满足
2
2|PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对
E
A
图 2
图 3
C
B 1
B
A 1
称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7， （1）求曲线C 的方程； （2）求m 的值．
20．（本小题满分14分）
已知函数()ln f x x x = 和()(0x g x x a a => 且1)a ≠．
（1）求()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：(1)21f x x +>-； （3）求()g x 的单调区间．
21．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的首项13a =，通项n a 与前项和n S 之间满足12(2)n n n a S S n -=≥ ． （1）求证：1
{
}n
S 是等差数列，并求公差； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）数列{}n a 中是否存在自然数(1)k k ≥，使得不等式1k k a a +>对于任意大于等于k 的自然数都成立？若存在，求出最小值的k 值；若不存在，请说明理由．
2007年电白县普通高中毕业班模拟测试题
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分50分． 1．B 2．A 3．A 4．C 5．B 6．C 7．B 8．C
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，其中9～12题是必做题，13～15题是选做题。

每小题5分，满分30分．其中第11、12题中的第一个空均为2分，第二个空均为3分．
9．15 10．－160 11．－6 12．120
13．
2
14．1 15．39
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。

16．（本小题满分12分）
解：
（1） (
)06
f π
= ……1分
∴ 2
2c o s s i n
c o s 06
6
6
a
π
π
π
+=． ……4分
∴ a =- ……6分
（2） 2
()2c o s 3s i n c o s f x x x x
=-
cos212x x =+ ……7分
2cos(2)13
x π
=++ ……9分
∴ T π= ……10分
∴ ()f x 的单调增区间为5, ()3
6k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
……12分
17．（本小题满分12分）
解：
（1）1
13
(1)(1)248
P =--=
， ……6分 （2）(3,0.5).B ξ ξ的可能取值为0，1，2，3。

033111
(0)
()()228
P C ξ===
112
3113(1)()()228P C ξ===
2213113
(2)()()228
P C ξ===
330
3111(3)()()228
P C ξ===
故ξ的概率分布为：
……10分 ∴ 1.5E np ξ==
1331
0123 1.58888
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……12分
18．（本小题满分14分）
解法一：
（1）在ABC ∆中
2
2
22
c o s 16416c o s 6012
B C A B A C A B A C B A C =+
-∠
=+-=
∴ 2
2
2
BC AC BC AB =+=
∴90ACB ∠=
，即BC AC ⊥． ……2分
∵由直三棱柱的性质知：平面11ACC A ⊥平面ABC
BC ⊥平面11ACC A ……4分
∴ 1BC AC ⊥ 又 11BC
B C
∴ 111B C AC ⊥ ……6分
（2）连接1AC ，交1AC 于
O ，过O 作1OD A B ⊥于D ，连接1C D ……8分 由（1）BC ⊥平面11ACC A 得：平面1BCA ⊥平面11ACC A
由正方形11ACC A 知11AC AC ⊥ ……10分 ∴ 1C A ⊥平面1BCA
∴ OD 是1C D 在平面1BCA 上的射影 ∴ 11C D A B ⊥
∴ 1ODC ∠是二面角11C A B C --的平面角 ……12分
在1A BC ∆中，111
A B BC AC ===
由
11AO OD BC A B =
得：OD ==
∴
1
1tan 3OC ODC OD
∠=
==∴ 二面角11C A B C --
……14分 解法二：先证90ACB ∠=
，然后以C 点为原点，分别以为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（略）
19．（本小题满分14分） 解：
（1）设P 点坐标为)y ,x (，则 ……1分
2
2
y )1x (y )1x (2
222=
+-++， ……3分 化简得8y )3x (22=++， ……5分 所以曲线C 的方程为8y )3x (22=++； ……6分
（2）曲线C 是以)0,3(-为圆心，22为半径的圆 ，曲线'C 也应该是一个半径为22的圆，点)0,3(-关于直线x y =的对称点的坐标为)3,0(-，所以曲线'C 的方程为
8)3y (x 22=++， ……9分
该圆的圆心)3,0(-到直线3m x y -+=的距离d 为
2
|m |)
1(1|
3m )3(0|d 2
2
=
-+-+--=
， ……11分
72
)28(8221|AB |d 21S 222
ABO
=⨯-=-⨯⨯=⨯⨯=m m d d △ ……13分 122=∴m ，或72
2
=m ，
所以，2±=m ，或14±=m 。

……14分
20．（本小题满分14分）
解：
（1）10x y --= ……4分
（2）(1)(21)(1)ln(1)21f x x x x x +--=++-+ ……5分 令 ()(1)l n (
1)2h x x x x =++-+ 则 ()l n (1)1h x x '=+- ……6分
当11x e -<<-时，()0h x '<，当1x e >-时，()0h x '> ∴ m i n ()(1)(11)l n (11)2(1)130
h x h e
e e e e =-=-+-+--+=-> ∴ ()0h x > ∴(1)21
f x x +>- ……9分 （3）()ln (1ln )x x x
g x a xa a a x a '=+=+ ……10分 当01a <<时，()g x 的增区间是(,log )a e -∞-，减区间是(log ,)a e -+∞；……12分 当1a >时，()g x 的增区间是(log ,)a e -+∞，减区间是(,log )a e -∞-； ……14分
21．（本小题满分14分） 解：
（1）当2n ≥时，1n n n a S S -=-
有112()n n n n S S S S ---= ……2分 ∴
11112n n S S --=-，且11111
3
S a == ∴ 由等差数列的定义可知数列1
{
}n
S 是以13为首项，12-为公差的等差数列。

……4分
（2）由（1）
11153(1)326n n
n S -=--=
……5分 ∴ 6
53n S n
=
- 当2n ≥时，166
5383n n n a S S n n
-=-=
--- 18
(35)(38)
n n =
-- ……7分
∴3(1)18
(2)(35)(38)n n a n n n =⎧
⎪=⎨≥⎪--⎩
……8分 （3）当2k ≥时，k+11818
a (32)(35)(35)(38)
k a k k k k -=
-
---- 108
(32)(35)(38)
k k k -=
--- ……10分
若使k+1 a k a <，只要(32)(35)(38)0k k k --->
解得
258
333
k k <<>或 ……12分 经验证k=1不满足条件，取k=3时满足要求
∴ m i n 3k = ……14分。