高考数学江苏新攻略总复习课标通用练习：第十章第四节 抛物线 含解析

第四节抛物线
课时作业练
1.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值是.
答案-1
8
解析抛物线的标准方程为x2=1
a
y,
因为准线方程为y=2,
所以a<0且2=-1
4a
,
解得a=-1
8
.
2.已知斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F,且与y轴相交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为.
答案y2=8x
解析依题意得,|OF|=a
4
.
由直线l的斜率为2,可知|AO|=2|OF|=a
2
.
又△OAF的面积等于1
2·|AO|·|OF|=a
2
16
=4,则a2=64.
又a>0,所以a=8,该抛物线的方程为y2=8x.
3.(2019江苏南京高三模拟)如图,抛物线形拱桥的顶点距水面4米时,测得拱桥内水面宽为16米;当水面升高3米后,拱桥内水面的宽度为米.
答案8
解析以抛物线的顶点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为
x2=my(m<0),
由题意得抛物线过点(8,-4),所以m=-16,即x2=-16y,令y=-1,得|x|=4,从而水面的宽度为8米.
4.抛物线y=4x2上的一点M到焦点F的距离为1,则点M的纵坐标是.
答案15
16
解析设M(x,y),抛物线方程可化为x2=1
4y,则必有|MF|=y+p
2
=y+1
16
=1,所以y=15
16
.
5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x
1,y
1
),Q(x
2
,y
2
)两点,若x
1
+x
2
=6,|PQ|=10,则
抛物线的方程为. 答案y2=8x
解析由于直线PQ过抛物线的焦点,因此|PQ|=x
1+x
2
+p=6+p=10,即p=4,所以抛物线的方程为
y2=8x.
6.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为.
答案y2=4x
解析由已知得圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.
7.(2018扬州高三调研)在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4,则该抛物线的焦点到准线的距离为.
答案6
解析由题意可知1+p
2
=4,p=6,则该抛物线的焦点到准线的距离为6.
8.(2019南京师大附中高三模拟)已知双曲线x 2
a2-y
2
b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x,且它的
一个焦点与抛物线y2=20x的焦点相同,则双曲线的方程是.
答案x 2
5-y
2 20
=1
解析由双曲线x 2
a2-y
2
b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x,得b
a
=2,由它的一个焦点与抛物线
y2=20x的焦点(5,0)相同,得c=5,则b2=c2-a2=4a2,则a2=5,b2=20,双曲线的方程是x 2
5-y
2
20
=1.
9.(2019南京模拟)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则b
a
= .
答案√2+1
解析因为正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b,O为AD的中点,所以C(a
2,-a),F(a
2
+
b,b).又因为点C,F在抛物线y2=2px(p>0)上,所以{a2=pa,
b2=2p(a
2
+b),根据a<b,解得
b
a
=√2+1.
10.(2018江苏高考信息预测)如图,直线y=x-2与圆x2+y2-4x+3=0及抛物线y2=8x分别交于B,C,A,D四点,则|AC|+|BD|= .
答案18
解析∵圆x2+y2-4x+3=0的半径为1,圆心为(2,0),抛物线y2=8x焦点为(2,0),∴直线y=x-2过抛物线的焦点和圆心,∴|AC|+|BD|=|AD|+|BC|=|AD|+2.联立y=x-2与y2=8x,得x2-12x+4=0.设
A(x
1,y
1
),D(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=12,∴|AD|=x
1
+x
2
+4=16,∴|AC|+|BD|=16+2=18.
11.根据下列条件分别求抛物线的标准方程:
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;
(2)过点P(2,-4).
解析(1)双曲线的标准方程为x 2
9-y
2
16
=1,故其左顶点的坐标为(-3,0).
由题意设抛物线的方程为y2=-2px(p>0),则-p
2
=-3,
即p=6,故抛物线的标准方程为y2=-12x.
(2)设抛物线的方程为y2=mx(m>0)或x2=ny(n<0),分别代入P点坐标求得m=8,n=-1,
故所求抛物线的标准方程为y2=8x或x2=-y.
12.设P是抛物线y2=4x上的一个动点.
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
解析(1)易知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程是x=-1,由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于点P到点F的距离.于是,问题转化为求点P到点 A(-1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和的最小值.易知A、P、F三点共线时所求的距离之和取得最小值,故最小值为
|AF|=√(-1-1)2+(1-0)2=√5.
(2)易知B在抛物线内,设点P到准线的距离为d
1,点B到准线的距离为d
2
,易知
d 1=|PF|,d
2
=4.|PF|+|PB|=d
1
+|PB|≥d
2
=4,当且仅当直线PB垂直于准线x=-1时取等号,故
|PB|+|PF|的最小值为4.
基础滚动练
(滚动循环夯实基础)
1.设全集U=N *,集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中的阴影部分表示的集合为 .
答案 {4,6}
2.向量a=(3,m)与b=(m,3)的方向相反,则m= . 答案 -3
解析 由两向量共线得m 2=9,m=±3,当m=3时,a=b,方向相同,当m=-3时,a=-b,方向相反. 3.△ABC 中,AC=2,BC=3,cos A=-4
5,则sin B= . 答案 2
5
解析 在△ABC 中,cos A=-45,则sin A=√1-cos 2A =3
5,又AC=2,BC=3,所以由正弦定理可得sin
B=ACsinA BC =2×3
53=25.
4.已知函数f(x)=x+4
x ,x∈ [1,5],则函数f(x)的值域为 . 答案 [4,
295
] 5.(2019徐州铜山高三模拟)若直线y=x+2与双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行,则双曲
线的离心率为 . 答案 √2
解析
由题意得b
a =1,则双曲线的离心率
e=c a =√1+(b a )2
=√2.
6.(2018江苏南通中学高三考前冲刺)已知圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为2π
3
的扇形,则这个圆锥的体积为 . 答案 2√2
3
π
解析 由扇形的半径为3得圆锥的母线长为3,易得扇形的弧长为2π,则圆锥底面圆的半径为1,则该圆锥的高为2√2,体积为1
3×π×12×2√2=2√2
3
π. 7.已知函数f(x)=ax 2+1
bx+c (a,b,c∈Z)是奇函数,且
f(1)=2, f(2)<3,则a+b+c 的值为 .
答案 2
解析 由函数f(x)是奇函数得c=0,则f(1)=
a+1
b
=2,则2b=a+1. f(2)=
4a+12b <3,即4(2b -1)+1
2b
<3,即b(2b-3)<0,解得0<b<3
2,又b∈Z,则b=1,a=1,则a+b+c=2.
8.若数列{a n }中,各项均为正数,且a 1=2,a n+1=2a n +3×2n ,则数列{a n }的通项公式为 . 答案 a n =(3
2n -1
2)×2n
解析 a n+1=2a n +3×2n 的两边同时除以2n+1得
a n+12n+1=a n 2n +32,即a n+12n+1-a n 2n
=32
,所以数列{a n 2n }是以a 1
2=1为首项、
32为公差的等差数列,所以a n 2n =1+(n -1)×32=32n-1
2
,所以a n =(32n -1
2)×2n .
9.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=1
2
AD. (1)在平面PAD 内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由; (2)证明:平面PAB⊥平面PBD.
解析 (1)取棱AD 的中点M(M∈平面PAD),点M 即为所求的一个点.理由如下: 连接CM.因为AD∥BC,BC=1
2AD, 所以BC∥AM,且BC=AM.
所以四边形AMCB 是平行四边形,从而CM∥AB.
又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)证明:连接BM,
AD,所以直线AB与CD相交,
因为AD∥BC,BC=1
2
又PA⊥AB,PA⊥CD,所以PA⊥平面ABCD,
从而PA⊥BD.因为AD∥BC,BC=1
AD,所以BC∥MD,且BC=MD,
2
AD,所以BD⊥AB.所以四边形BCDM是平行四边形,所以BM=CD=1
2
又AB∩AP=A,AB⊂平面PAB,AP⊂平面PAB,所以BD⊥平面PAB.
又BD⊂平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.。