安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2017-2018学年高一上学期入学考试数学试题

安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试
高一数学试题
一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.中国海军第一艘国产航母001A 型航母在2017年4月26日下水，该航母的飞行甲板长约300米，宽约70米，总面积约21000平方米，将21000用科学记数法表示应为（ ）
A ．50.2110⨯
B ．42.110⨯
C ．32110⨯
D ．52.110⨯
2.下列整式计算的结果为6
a 是（ ）
A ．33a a +
B ．122a a +
C ．23()a
D ．24()a 3.如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5是指（ ）
A ．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次
B ．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次
C.抛掷2n 次硬币，恰好有n 次“正面朝上”
D ．抛掷n 次，当n 越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5
5.分式11x --可变形为（ ） A ．11x -- B ．11x + C. 11x -+ D ．11x -
6.不等式12x +≥的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C.
D ． 7.已知实数755+的小数部分为a ，575
-的小数部分为b ，则57a b +的值为（ ） A ． 4 B ．5 C. 6 D ．7
8.在抛物线2
23y ax ax a =--上有1(0.5,)A y -、2(2,)B y 、3(3,)C y 三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则1y 、2y 和3y 的大小关系为（ ）
A ．312y y y <<
B ．321y y y << C. 213y y y << D ．123y y y <<
9.如图，在矩形ABCD 中，AB a =，AD b =，分别延长AB 至点E ，AD 至F ，使得()AF AE c b a c ==<<，连接EF ，交BC 于点M ，交CD 于点N ，则AMN ∆的面积为（ ）
A ．1()2c a b c +-
B ．1()2c b c a +- C. 1()2c a c b +- D ．1()2
a b c a +- 10.挑棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走，如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走（ ）
A ．②号棒
B ．⑦号棒 C.⑩号棒 D ．⑧号棒
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
11.分解因式：224ax ay -= ．
12.已知集合{||2|3}A x R x =∈+<，集合{|()(2)0}B x R x m x =∈--<，且(1,)A
B n =-，则
m = ，n = ．
13.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，以点A 为圆心，AB 长为半径画圆弧交边DC 于点E ，则BE 的长度为 ．
14.如图，,AD AE 分别是ABC ∆的中线和交平分线，2AC =，5AB =，过点C 作CF AE ⊥于F ，连接DF ，有下列结论：
①若将ACF ∆沿直线AE 折叠，则点C 恰好落在AB 上；
②327AD <<；
③若30B ∠=，15FCE ∠=，则55ACB ∠=；
④若ABC ∆的面积为S ，则DFC ∆的面积为320
S ． 其中正确的结论是 ．（把所有正确结论的序号都选上）
三、解答题 （本大题共4小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.计算：01112cos 45(1)()42π--++
. 16.已知函数2()426f x x ax a =+++.
（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求a 的值；
（2）若函数()f x 的函数值均为非负数，求()2|3|g a a a =-+的值域.
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(3,1)B -，(1,4)C -.
（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；
（2）将ABC ∆绕着点B 顺时针旋转90后得到22A BC ∆，请在图中画出22A BC ∆，并求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）.
18. 如图，在楼房AB 和塔CD 之间有一棵树EF ，从楼顶A 处经过树顶E 点恰好看到塔的底部D 点，且俯角α为45，从距离楼底B 点1米的P 点处经过树顶E 点恰好看到塔的顶部C 点，且仰角β为30，已知树高6EF =米，求塔CD 的高度.（结果保留根号）
四、（本大题共2小题，每题6分，满分12分）
19.在反比例函数6(0)y x x =>的函数图像上有点1231,,,,,n n P P P P P +，过点1231,,,,,n n P P P P P +分别作x 轴，y 轴的垂线段，构成若干个矩形，将图形中阴影部分面积从左至右依次记为123,,,,n S S S S .
（1）若点1234,,,P P P P 的横坐标依次为1,2,3,4，则1S = ，2S = ，3S = ；
（2）若点1231,,,
,,n n P P P P P +的横坐标依次为2,4,6，…，则9S = ； 若点1231,,,,,n n P P P P P +的横坐标依次为,2,3,
a a a ，则n S = .
20.如图，圆O 与直线l 相离，OA l ⊥于点A ，OA 交圆O 于点C ，过点A 作圆O 的切线AB ，切点为B ，连接BC 交直线l 于点D .
（1）求证：AB AD =；
（2）若tan 2OCB ∠=，圆O 的半径为3，求BD 的长.
五、（本大题共1小题，每题10分，满分10分）
21.已知抛物线21222
y x mx m =+--与x 轴交于,A B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于点C . （1）当1m =时，求点A 和点B 的坐标；
（2）抛物线上有一点(1,)D n -，若ACD ∆的面积为5，求m 的值；
（3）P 为抛物线上,A B 之间一点（不包含,A B ），PM x ⊥轴于点M ，求AM BM PM
•的值. 六、（本大题共1小题，每题12分，满分12分）
22.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知8AB =.
问题思考：如图1，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以,AP BP 为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE .
（1）在点P 运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果是请求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.
（2）分别连接,,AD DF AF ，AF 交DP 于点K ，当点P 运动时，在APK ∆、ADK ∆、DFK ∆中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.
问题拓展：
（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点,P Q 在正方形ABCD 的边上运动，且8PQ =，若点P 从点A 出发，沿A B C D →→→的线路，向D 点运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长.
（4）如图3，在“问题思考”中，若点,M N 是线段AB 上的两点，且1AM BM ==，点,G H 分别是边
,CD EF 的中点，
请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中，GH 的中点O 所经过的路径的长及OM OB +的最小值.
安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试
高一数学试题答案
一、选择题
1-5 B C A D D 6-10 D B A A C
二、填空题
11. )2)(2(y x y x a -+ 12.－1,1 13.
π3
2 14. ①②④ 三、计算
15.223+ 16.（1）－1或1.5 （2） g （a ）的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡4,419- 17.（1）略 （2）π4
13 18. 米)326(+ 四、 19.（1）3 1
21 （2） 151 （3） )1(6+n n 20.（1）证明：连接OB ，
∵AB 是圆O 的切线，OA l ⊥，
∴90OBA OAD ∠=∠=，
又OB OC =，
∴OBC COB ACD ∠=∠=∠，
∴ADB ABD ∠=∠，
∴AB AD =
（2）∵tan tan 2AD OCB ACD AC ∠=∠=
=， 圆O 的半径为3，
设AC a =，则2AB AD a ==，在Rt AOB ∆中，222OA AB OB =+，
∴222(3)(2)3a a +=+，
∴2a =
过点A 作AE BD ⊥，则5
BD BE ==，
∴BD = 五、
（1）∵m ＝1，
∴ y ＝12
x 2＋x －4． 当y ＝0时，12
x 2＋x －4＝0， 解之，得x 1＝﹣4，x 2＝2．
∴A （﹣4，0），B （2，0）；
（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．
当y ＝0时，12
x 2＋mx －2m －2＝0， ∴(x －2)(x ＋2m ＋2)＝0，
x 1＝2，x 2＝﹣2m －2．
∴点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），C （0，﹣2m －2）．
∴OA ＝OC ＝2m ＋2，
∴∠OAC ＝45°．
∵D （﹣1，n ），∴OE ＝1，∴AE ＝EF ＝2m ＋1．
又∵n ＝﹣3m －32
， ∴DE ＝3m ＋32
， ∴DF ＝3m ＋32－(2m ＋1)＝m ＋12
． 又∵S △ACD ＝12
DF ·AO ． ∴12(m ＋12
)(2m ＋2)＝5． 2m 2＋3m －9＝0，
(2m －3)(m ＋3)＝0，
（3）点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），点B 的坐标为：（2，0）．
设点P 的坐标为（p ，q ）．
则AM ＝p ＋2m ＋2，BM ＝2－p ．
AM ·BM ＝(p ＋2m ＋2)( 2－p )＝﹣p 2－2mp ＋4m ＋4．
PM ＝﹣q ．
因为，点P 在抛物线上，
所以，q ＝12
p 2＋mp －2m －2． 所以，AM ·BM ＝2 PM ．
即，AM ·BM PM ＝2． 六、
21.（1）不是定值，最小值32
（2）存在
设AP a =，则8PB BF a ==-，
∵//PE BF ， ∴PK AP BF AB =，即88PK a a =-， ∴(8)8
a a PK -=， ∴2
(8)88
a a a DK PD PK a -=-=-= ∴21(8)216APK a a S PK PA ∆-=•=，21(8)216
DFK a a S DK EF ∆-=•=， ∴DFK APK S S ∆∆=
（3）当点P 从点A 出发，沿A B C D →→→的线路，向点D 运动时，不妨设点Q 在DA 边上， 若点P 在点A ，点Q 在点D ，此时PQ 的中点O 即为DA 边的中点，
若点Q 在DA 边上，且不在点D ，则点P 在AB 上，且不在点A ，
此时，在Rt APQ ∆中，O 为PQ 的中点，所以142
AO PQ ==， 所以点O 在以A 为圆心，半径为4，圆心角为90的圆弧上，
PQ 的中点O 所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90的圆弧，如图所示，
所以PQ 的中点O 所经过的路径的长为32464
ππ⨯⨯=， （4）点O 所经过的路径的长为3，OM OB +113
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高一数学试题答案
一、选择题
1-5 B C A D D 6-10 D B A A C
三、填空题
12. )2)(2(y x y x a -+ 12.－1,1 13.
π32 14. ①②④ 四、计算 16.223+ 16.（1）－1或1.5 （2） g （a ）的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡4,419- 17.（1）略 （2）π4
13 18. 米)326(+ 四、 22.（1）3 1
21 （2） 151 （3） )1(6+n n 23.（1）略 （2）
55
16 五、
（1）∵m ＝1，
∴ y ＝12 x 2＋x －4． 当y ＝0时，12
x 2＋x －4＝0，
解之，得x 1＝﹣4，x 2＝2．
∴A （﹣4，0），B （2，0）；……………………………3分
（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．
当y ＝0时，12
x 2＋mx －2m －2＝0， ∴(x －2)(x ＋2m ＋2)＝0，
x 1＝2，x 2＝﹣2m －2．
∴点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），C （0，﹣2m －2）．……………………………4分 ∴OA ＝OC ＝2m ＋2，
∴∠OAC ＝45°．
∵D （﹣1，n ），∴OE ＝1，∴AE ＝EF ＝2m ＋1．
又∵n ＝﹣3m －32
， ∴DE ＝3m ＋32
， ∴DF ＝3m ＋32－(2m ＋1)＝m ＋12
．……………………………6分 又∵S △ACD ＝12
DF ·AO ． ∴12(m ＋12
)(2m ＋2)＝5． 2m 2＋3m －9＝0，
(2m －3)(m ＋3)＝0，
分
（3）点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），点B 的坐标为：（2，0）．
设点P 的坐标为（p ，q ）．
则AM ＝p ＋2m ＋2，BM ＝2－p ．
AM ·BM ＝(p ＋2m ＋2)( 2－p )＝﹣p 2－2mp ＋4m ＋4．……………………………10分 PM ＝﹣q ．
因为，点P 在抛物线上，
所以，q ＝12 p 2＋mp －2m －2
．
所以，AM ·BM ＝2 PM ．
即，AM ·BM PM ＝2．……………………………12分 六、
24.（1）不是定值，最小值32
（2）存在
DFK APK DFK APK S S a a EF DK S a a PA PK S a a a a PK PD DK a a PK a a PK AB AP BF PK BF
PE a
BF PB a AP ∆∆∆∆=∴-=⋅=-=⋅=∴=--=-=∴-=∴=-=∴
-===16)8(21,16)8(218
8)8(8
)8(8
88222
，即，则设。