湖南省高一下学期第一次联考数学试题(解析版)

一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合
，则下列结论正确的是（ ）
{}
{}
2,lg A y y x B x y x ====∣∣A. B.
A B =A B ⊆C. D. B
A ⊆{}
1A B x
x ⋂=≥∣【答案】C 【解析】
【分析】化简集合，据此可判断的关系.
,A B ,A B 【详解】因为， {
}{}2
[0,),lg (0,)A y
y x B x
y x ===+∞===+∞∣∣所以、、错误，正确.
A B =A B ⊆{}
1A B x
x ⋂=≥∣B A ⊆故选：C
2. 若，则为（ ） 1
:(0,),2p x x x
∀∈+∞+≥p ⌝A .
B. 1(0,),2x x x ∃∈+∞+
<1(0,),2x x x ∃∈+∞+
…C. D. 1(0,),2x x x
∃∈+∞+…1(0,),2x x x
∀∈+∞+
<【答案】A 【解析】 【分析】
利用全称命题的否定变换形式即可得出结果. 【详解】， 1
:(0,),2p x x x
∀∈+∞+≥则为. p ⌝1
(0,),2x x x
∃∈+∞+<故选：A
3. 不等式的解集是，则的解集是（ ） 20x ax b --<{|23}x x <<210bx ax -->A .
B. C. D.
{|23}x x <<11{|
}32
x x <<11
{|}23
x x -
<<-{|32}x x -<<-【答案】C 【解析】
【分析】由题知的两根为，进而得，再代入解不等式即可得答20x ax b --=122,3x x ==,=5=-6a b 案.
【详解】解：因为不等式的解集是， 20x ax b --<{|23}x x <<所以方程的两根为，
20x ax b --=122,3x x ==所以由韦达定理得，，即， 23a +=23b ⨯=-,=5=-6a b 所以，解不等式得解集为 2216510bx ax x x --=--->11{|}23
x x -<<-故选：C
4. 如图，在中，点是边的中点，，则用向量表示为（ ）
ABC A D BC 2AG GD = ,AB AC BG
A.
B.
2133
BG AB AC =-+
1233
BG AB AC =-+
C.
D.
2133
BG AB AC =- 2133
BG AB AC =+ 【答案】A 【解析】 【分析】
先根据题意，得到，，再由向量的加减运算，即可得出结果. ()
12AD AB AC =+
23
AG AD =u u u r u u u r 【详解】因为点是边的中点，所以， D BC ()
12
AD AB AC =+
又，所以，
2AG GD =
23
AG AD =u u u r u u u r 因此. ()
21123333
BG AG AB AD AB AB AC AB AC AB =-=-=
+-=-
故选：A.
【点睛】本题主要考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.
5. 若，则（ ）
tan 2θ=-21cos sin2θ
θ
+=
A. B. C. D. 23
-
32
-
34
-
43
-
【答案】B 【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简即可得解. 【详解】因为，
tan 2θ=-所以,
22221cos sin 2cos 2tan 243sin22sin cos 2tan 42
θθθθθθθθ++++====--故选：B
6. 已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且， 则ABC A A B C a b c 2sin b a B =cos sin B C +的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
32⎫
⎪⎪
⎭
1
2⎛
⎝【答案】C 【解析】 【分析】
利用正弦定理化简已知条件，由此求得进而求得的大小.根据三角恒等变换化简，由sin B B cos sin B C +此求得取值范围.
【详解】依题意， 2sin b a B =由正弦定理得， sin 2sin sin B A B =所以，
1sin 2A =
cos A =
由于三角形是锐角三角形，所以.
ABC 6
A π
=
由. 23202A B B B πππ
π⎧
+>⎪⎪⇒<<⎨
⎪<<
⎪⎩
所以 5cos sin cos sin 6B C B B π⎛⎫
+=
+- ⎪⎝
⎭13cos cos cos 22B B B B B
=+=+，
3B π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
由于，所以， 25336B πππ<+<1sin 32B π⎛⎛
⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝
. 332B π⎫
⎛
⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎭
故选：C
【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数值域的求法，两角差的正弦公式，属于中档题. 7. 如图，正方形的边长为2，圆半径为1，点在圆上运动，则的取值范围是ABCD A P A BP BD ⋅
（ ）
A. B. C. D.
[]2,6⎡⎣44⎡-+⎣2,⎡⎣【答案】C 【解析】
【分析】由向量的加法可得，再由向量数量积的运算即可得解.
()B B D A P P BD B A =+⋅⋅
【详解】设与的夹角为，则，
AP BD
θ0πθ≤≤
()B BA AP B BP BD BD D BD A AP ⋅=+⋅=⋅+⋅
=2451θ⨯︒+⨯
，
=4θ+因为，
1cos θ1-££
所以 44BP BD ⋅-≤≤+
故选：C
8. 设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数则称函
()y f x =R p ()()()(),,
4,,p f x f x p f x f x p ⎧≤⎪
=⎨
>⎪⎩
数为的“界函数”.若给定函数，则下列结论不成立的是（ ）
()p f x ()f x p ()2
21,2f x x x p =--=A. B.
()()00p p f f f f ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦()()11p p f f f f ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦
C. D.
()()22p p f f f f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦()][()33p f f f f ⎡⎤=⎣⎦【答案】B 【解析】
【分析】由题意可得，然后逐个分析判断即可。

2221,13()4,31x x x f x x x ⎧---≤≤=⎨><-⎩
或【详解】因为，
2()21,2f x x x p =--=所以，
2221,13
()4,31
x x x f x x x ⎧---≤≤=⎨><-⎩或所以对于A ，，所以A 正确， 2[(0)](1)2,[(0)](1)1212p p f f f f f f =-==-=+-=对于B ，，所以B 错误， 2[(1)](2)4,[(1)](2)4417p p f f f f f f =-==-=+-=对于C ，，所以C 正确， 2[(2)](1)2,[(2)](1)2p p f f f f f f =-==-=对于D ，，所以D 正确， 2[(3)](2)1,[(3)](2)1p p f f f f f f ==-==-故选：B
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ） A. B.
0.4220.4>()2
lg200ln 2e <C. D. cos1sin1>6πtan
15
>【答案】AB 【解析】
【分析】根据指数函数单调性及1为“桥梁”判断A ，根据函数的单调性及对数运算判断B ，根据正切函数的单调性及同角三角函数的关系、周期判断CD.
【详解】因为，，所以，故A 正确； 0.40221>=200.40.41<=0.4220.4>因为，所以，所以，故B 正确；
10e >lg 2ln 2<()2
lg2002lg 2ln 2e 2ln 2=+<=+因为，所以，即
，故，故C 错误； π14>
πtan1tan 14>=sin1
1cos1>sin1cos1>由，故D 错误. 6ππππ
tan tan(π)tan tan 15554
=+=<=故选：AB
10. 已知向量，若，则下列结论在确的是(
)π1cos ,sin 0,22a b θθθ⎛⎛⎫=<<=- ⎪ ⎝⎭⎝ |4||4|a b a b +=- （ ） A.
B.
a b ⊥
π3θ=
C.
D. 与的夹角为锐角
435a b +=
2a b + 2a b -
【答案】AC 【解析】
【分析】求出，对两边平方得可判断A ；由的坐标运算可得的a b 、
44a b a b +=-
a b ⋅ 0a b ⋅= tan θ值，求出可判断B ；对两边平方化简可判断C ；求出、、θ435a b += ()()
22a b a b +⋅- 2a
b + 2a b
-
，设与的夹角为，由向量的夹角公式计算可判断D.
2a b + 2a b -
θ【详解】，
1,1a b ==== 由得，
2244a b a b +=-
2222168816a a b b a a b b
+⋅+=-⋅+ 所以，所以A 正确； 0a b ⋅
=
对于B ，由，可得， cos 02a b θ⋅=-=
tan θ=
因为，所以，故B 错误； π02θ<<
π
6θ=对于C ，由得，所以，故C 正确；
435a b += 22
1624916925a a b b +⋅+=+= 435a b += 对于D ，，，
()(
)
2
22241
43a b a b a b +⋅-=-=-=-
2
a b +=
=
2a b -=
= 设
与的夹角为，所以， 2a b + 2a b -
θ3
cos 05θ-===< 又，所以为钝角，故D 错误. 0πθ≤≤θ故选：AC .
11. 三角形中，角的对边分别为，下列条件能判断是钝角三角形的有（ ） ABC A ,,A B C ,,a b c ABC A A.
B.
6,5,4a b c ===0AB BC ⋅>
C.
D.
sin sin sin a b C
c b A B
-=++2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=【答案】BC 【解析】
【分析】利用余弦定理可判断A ，由平面数量积的定义可判断B ，根据正余弦定理可判断C ，由三角恒等变换可判断D.
【详解】A ：由可知，且，即，所以a b c >>A B C >>2224136b c a +=>=2220b c a +->cos 0A >，所以是锐角，故A 不能判断；
A B ：由,得，则为钝角，故B 能判断； cos 0AB BC ac B ⋅=->
cos 0B <B C ：由正弦定理
，得，则，为钝角，故C 能判断； a b c c b a b -=++222b c a bc +-=-1
cos 2
A =-A D ：由正弦定理，条件等价于=，
2222sin sin sin sin B C C B +2sin sin cos cos B C B C 由，则，即，由，故sin 0,sin 0B C ≠≠sin sin cos cos B C B C =cos()0B C +=0πB C <+<π
2
B C +=，则，故D 不能判断. π
2
A =
故选：BC
12. 已知函数，则（ ） ()3sin cos f x x x =+A. 函数关于轴对称 ()f x y B. 函数的最小正周期为
()f x 2π
C. 函数的值域为
()f x 2⎡⎤⎣⎦D. 方程在上至多有8个实数根 ()f x m =[]π,2π-【答案】ACD 【解析】
【分析】根据函数奇偶性定义判断哪A ，根据周期定义判断B ，根据函数图象判断C ，D.
【详解】因为，所以函数为偶函数，故A 正
()3sin cos()|||cos |()f x x x x x f x -=-+-=+=确；
因为，所以不是函数周期，
()2π3sin 2πcos(2π)3sin 2π|cos |()f x x x x x f x +=+++=++≠2π故B 错误；
对，当时，
()3sin cos f x x x
=+0x ≥，，作出函数
()ππ3π2sin(),[2π,2π](2π,2π2π]622
cos ππ3π2sin(),(2π,2π]
622x x k k k k f x x x x x k k ⎧
+∈+⋃++⎪⎪=+=⎨
⎪-∈++⎪⎩
Z k ∈图象，
由图象知，最大值为2，当
时，可取最小值，故函数值域为3π2x
=3π3π
()
22
f ==2⎡⎤⎣⎦，故C 正确；
由图象知，与在上最多有4个交点，由函数图象的对称性知在上最多有4y m =()y f x =[0,2π][π,0)-个交点，故方程在上至多有8个实数根，正确. ()f x m =[]π,2π-故选：ACD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设a ，b 是不共线的两个向量，已知，若A ，B ，D 三点共,,22A a a k b B BC b CD a b →→
→→
→→
==+-+=
线，则k 的值为________. 【答案】-1 【解析】
【分析】根据三点共线可得向量平行，建立方程求解即可. 【详解】， 2BD BC CD a b →→
=+=-
∵A ，B ，D 三点共线，
，
//AB BD ∴
则存在实数λ使得：，
AB BD λ=
，得得：.
2(2)a k b a b λ→
→
→
→
+=-22k λ
λ=⎧⎨=-⎩
1k =-
故答案为：
1-14. 已知函数的零点为，且，则__________. ()23
log f x x x
=-0x ()0,1,x n n n ∈+∈Z n =【答案】2 【解析】
【分析】由函数的解析式判断函数单调性，求出的值，可得，再利用函数的零(2),(3)f f (2)(3)0f f ⋅<点的判定定理可得函数的零点所在的区间，即可得解. ()f x 【详解】易知函数在上单调递增， ()23
log f x x x
=-(0,)+∞因为，， ()231
2log 2022
f =-
=-<()223log 31log 210f =->-=所以，
()()230f f <根据函数的零点的判定定理可得： 函数的零点所在的区间是， ()23
log f x x x
=-(2,3)所以． 2n =故答案为：2
15. 在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若
ABC A B C a b c S ABC ，，则__________．
cos cos sin a B b A c C +=2221
()4
S b c a =+-B ∠=【答案】
4
π
【解析】
【详解】试题分析：∵，∴，∴
222cos 2b c a A bc +-=222
11sin ()24S bc A b c a ==+-，∴，．∵，∴，11sin 2cos 24bc A bc A =⨯tan 1A =4
A π
=cos cos sin a B b A c C +=2sin()sin A B C +=∴，∴，∴．
sin 1C =2C π
=4
B π=考点：解三角形.
【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把
tan 1A =4
A π
=
中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角
cos cos sin a B b A c C +=90C =︒形内角和，进而求得．
B
16. 已知平面向量，若，且，则的取值范围是
,,a b c 2a b a b ==-= |2||2|c a c b -++=
c r __________.
【答案】 []2,4【解析】
【分析】根据题意，得到与夹角为，作向量，，，根据题中条件，
a b 60︒2OA a = 2OB b =- OC c =
判定，，三点共线，由的几何意义表示线段的长，即可得出结果.
A B C c r OC 【详解】由已知，
2a b a b ==-=
所以，以为三边的三角形为等边三角形，
,,a b a b -
所以，的夹角为.
a b
60︒如图作向量，，，
2OA a = 2OB b =- OC c =
则，，所以，
120AOB ∠=︒||||4OB OA ==||2||cos30AB OA =︒=
则 |22||22|c a b a c b c C c A CB =-+--=+-++=
所以，
CA + CB AB = 故，，三点共线，即点在线段上， A B C C AB 所以， ||sin 302||||4OA OC OA ︒=≤≤=即的取值范围是. c r
[]2,4故答案为：.
[]2,4四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步聚.
17. 设，其中.
()()2sin ,cos2,cos ,1OA x x OB x ==- π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
（1）当时，求的值；
OA OB ⊥
x （2）求的最大值及取最大值时对应的的值.
()f x OA OB =⋅
x 【答案】（1）
π
8
（2）取最大值为1，此时
()f x 0x =
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示列方程，结合正切函数性质解方程可得；
（2）根据数量积的坐标运算公式和三角恒等变换公式化简，再由正弦函数性质求其最值及相应的()f x x 的取值.
【小问1详解】
.
cos2sin20,tan21OA OB x x x ⋅=-==
[]20,πx ∈ ， π24
x ∴=即. π8
x =【小问2详解】
， (
)π2sin cos cos2cos2sin224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=+ ⎪⎝
⎭由得.
π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当时，取最大值为1，此时. ∴ππ244
x +=()f x 0x =18. 如图，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转得到角，设角α34
,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
α53πββ的终边与单位圆交于点. B
（1）求的值； ()()
sin πcos π5πsin 2ααα-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭
（2）求点的坐标.
B
【答案】（1） 13
（2） 【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式化简计算可得；
（2）由，利用诱导公式及两角和的正余弦公式求出即可. 5π3βα=-
cos ,sin ββ【小问1详解】
由角的终边与单位圆交点知：， α34,
55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭344cos ,sin ,tan 553ααα===根据诱导公式，原式. sin cos 1tan 1cos 3
αααα-=
=-=【小问2详解】 ， 5π3
βα=-
， 5ππ1143sin sin sin sin 332255βαααα⎛⎫⎛⎫∴=-=+=+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
5ππ1134cos cos cos cos 332255βαααα⎛⎫⎛⎫∴=-=+=-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
点的坐标为.
∴B 19. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且若. D 为BC 的中点，ABC A 222a c ac b ++=
，记
AD =BAD θ∠=
（1）若，求AB 的值;
6π
θ=（2）求a +2c 的取值范围.
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可得，在中利用正弦定理即可求出； 23
B π=ABD △（2）利用正弦定理可得，再化简利用三角函数的性质可求. 4sin ,2sin 3a c πθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
【详解】（1），即，
222a c ac b ++=222a c b ac +-=-由余弦定理可得，所以， 2221cos 22
a c
b B a
c +-==-23B π=又，则，
6π
θ=6ADB π
∠=在中，由正弦定理可得， ABD △sin sin AD AB B ADB =∠所以；
sin 1sin AD ADB AB B ⋅∠===（2）在中，由可得， ABD △23B π=0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由正弦定理可得， 22sin sin sin 3
3BD AB AD ===⎛⎫- ⎪⎝⎭ππθθ则， 4sin ,2sin 3a c πθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
，
24sin 4sin 2sin 4sin 33a c ππθθθθθ⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭由，可知，则， 0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
2,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝
⎭sin 3πθ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦
所以
. 24]a c +∈20. 如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的ABC A 4,10,60,AB AC BAC BC ∠=== M N AC 动点（不含端点），相交于点
.
,AM BN P
（1）求；
BC
（2）当点为中点时，求：的余弦值；
N AC MPN ∠（3）求：的最小值；当取得最小值时设，求的值.
NA NB ⋅ NA NB ⋅ BP BN λ= λ【答案】（1）
（2
（3）
1011【解析】
【分析】（1）由余弦定理求解；
（2）设，由中点可得，再由数量积的运算性质求解即可； ,AB a AC b == 111,222AM a b BN a b =+=-+ （3）设则可转化为关于的二次函数，求最值即可，再由,NA x = ()
NA NB NA NA AB ⋅=⋅+ x 及三点共线得解即可. 91105BP BA BM λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
【小问1详解】
，由余弦定理知：
4,10,60AB AC BAC ∠=== ，
222222cos 4102410cos6076BC AB AC AB AC BAC ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯
⨯= .
BC ∴=【小问2详解】
设，
,AB a AC b == 分别为的中点，
M N ､BC AC ､， 111,222AM a b BN a b ∴=+=-+ 14,10,410202
a b a b ==⋅=⨯⨯= ，
AM ∴===
BN === 又. 22111111122
22244AM BN a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+=--⋅+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
.
cos
AM BN
MPN
AM BN
∠
⋅
∴===
⋅
【小问3详解】
设,
NA x
=
，
()2222
1
42(1)1
2
NA NB NA NA AB NA NA AB x x x x x
⋅=⋅+=+⋅=-⋅=-=--
当即时，取最小值，
1
x=1
NA=
NA NB
⋅
1-
，
91
1010
BN BA BC
∴=+
，
()
2,01
BC BM BP BN
λλ
==≤≤
，
919
105105
BP BA BM BA BM
λλ
λ⎛⎫
∴=+=+
⎪
⎝⎭
三点共线，
,,
A P M
，
910
1
10511
λλ
λ
∴+=⇒=
.
10
11
λ
∴=
21. 技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：
5G
，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；
2
log1
P
C W
N
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
C bit/s(
W Hz ）是信道的带宽，单位：）是平均信号功率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪(P dB N dB P
N
比.
（1）根据香农公式，如果不改变带宽，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升
W
P
N
C
10%?
（2）已知信号功率，证明：；
12
P P P
=+12
222
1
log1log1log1
P P
P
W W W
N N N P
⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
+=+++
⎪
⎪ ⎪+
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（3）现有3个并行的信道，它们的信号功率分别为，这3个信道上已
123
,,
X X X()
123123
,,
P P P P P P
<<
经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）
【答案】（1）2047
（2）证明见解析（3）把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量
1
X
【解析】
【分析】（1）先把时，算出来，再令，解得； 1023P N =C 10W ()10110%C W =+P N （2）利用对数运算化简即可证明；
（3）由（2）可知当时，，随着的12P P P =+122221log 1log 1log 1P P P W W W N N N P ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+<+++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝
⎭P 增大也会增大，可是增加的速度会越来越慢，即得．
C 【小问1详解】 当时，， 1023P N
=2log 102410W C W ==令， ()2log 110110%P W W N ⎛
⎫+=+ ⎪⎝⎭
得， 2log 111P W W N ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭解得：， 11212047P N
=-=所以若不改变带宽，将信噪比从1023提升到2047时，信道容量能提升.
W C 10%【小问2详解】
证明：
右边 12221log 1log 1P P W W N N P ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
1221log 11P P W N N P ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
1212211log 1P P P P W N N P N N P ⎛⎫=+++⋅ ⎪++⎝⎭
()()1121221log 1P N P P N PP W N N P ⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪+⎝⎭
()()()11221log 1P N P P W N N P ⎛⎫++=+ ⎪ ⎪+⎝⎭
()122log 1P P W N +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=左边， 2log 1P W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
所以，原式成立；
【小问3详解】
分配到信道上能获得最大的信道容量.
1X 理由：由（2）可知当时，， 12P P P =+12222log 1log 1log 1P P P W W W N N N ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+<+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭随着的增大也会增大，但增加的速度会越来越慢，
P C 所以把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量.
1X 22. 已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为()f x (),a b ()()f a x f a x b +⋅-=()f x “完美函数”.
（1）判断函数是否是“完美函数”，并说明理由； ()()12,2x
f x x f x ==（2）若是一个“完美函数”，求出所有满足条件的有序实数对；
()3tan f x x =(),a b （3）若定义域为的函数是“完美函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当R ()f x ()0,1()1,4[]0,1x ∈时，的值域为，求当时，函数的值域.
()f x []1,2[]2022,2022x -∈()f x 【答案】（1）不是“完美函数”， 是“完美函数”，理由见解析
()1f x x =()22x f x =（2） ,1,4k k ππ⎛⎫±
∈ ⎪⎝⎭Z （3）
202220222,2-⎡⎤⎣⎦【解析】
【分析】（1）根据新定义计算，求出常数，即是“完美函数”，求不出，即不是“完美函数”； ,a b ,a b （2）根据新定义计算，结合诱导公式求出常数．
,a b （3）先利用求出时，的范围，然后再由求出时的范围，归纳出(0,1)[0,2]x ∈()f x (1,4)[2,4]x ∈()f x （）时，的范围．从而可得结论．
[,]x n n ∈-*n ∈N ()f x 【小问1详解】
若是“完美函数”，则存在实数对，使得，
()1f x x =(),a b ()()a x a x b +-=即对恒成立，而关于的方程最多有两个解，不符合题意，
22x a b =-x ∈R x 22x a b =-因此不是“完美函数”.
()1f x x =若是“完美函数”，则存在实数对，使得，
()22x f x =(),a b 2222a x a x a b -+⋅==
即存在常数对满足条件，因此是“完美函数”.
()2,2
a a ()22x f x =【小问2详解】 是一个“完美函数”，
()3tan f x x = 存在有序实数对满足恒成立，
∴(),a b ()()tan tan a x a x b +-=当时，，不是常数. ππ,2a k k =+
∈Z ()()21tan tan tan a x a x x
+-=- ππ,2
a k k ∴≠+∈Z 当时， π,2a k k π≠+∈Z 有恒成立， 2222tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 1tan tan a x a x a x
b a x a x a x
+--⋅==-⋅+⋅-即恒成立. ()()
222tan 1tan tan 0b a x a b -+-=则 222ππ,Z,tan 10,tan 1,4tan 01 1.a k k b a a a b b b ⎧⎧⎧=±∈-==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==⎪⎪⎪=⎩⎩⎩
因此满足是一个“完美函数”时，
()3tan f x x =实数对. ()π,π,1,4a b k k ⎛⎫=±
∈ ⎪⎝⎭Z 【小问3详解】
函数是“完美函数”，且存在满足条件的有序实数对和， ()f x ()0,1()1,4，
()()()()1,114f x f x f x f x ∴⋅-=+⋅-=时，， ()()()()[]11424,1,2f x f x f x f x x +-=⇔-=∈ []20,1x -∈ ()()()()
[]421,2,2,42f x f x f x -∈=∈-时，，
[]0,2x ∴∈()[]1,4f x ∈. ()()()()()()()()()()1,1,242442f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ⎧⎧-=⎪⎪-=⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨-=⎪⎪-=⎪⎪+⎩⎩
时，时， []2,4x ∴∈()][4,16,4,6f x x ⎡⎤∈∈⎣⎦()[]16,64,f x ∈以此类推可知：时，，
[]2,22x k k ∈+()2222,2,k
k f x k +⎡⎤∈∈⎣⎦Z 当时，， ∴[]2020,2022x ∈()202020222,2f x ⎡⎤∈⎣⎦因此当时，； []0,2022x ∈()20221,2f x ⎡⎤∈⎣⎦当时，. []2022,0x ∈-[]()()
202210,2022,2,1x f x f x -⎡⎤-∈=∈⎣⎦-综上可知当时函数的值域为.
[]2022,2022x -∈()f x 202220222,2-⎡⎤⎣⎦。