安徽省中考数学一轮复习第二讲空间与图形第四章三角形单元综合检测(2021年整理)

单元综合检测四三角形
（80分钟120分）
一、选择题(每小题4分，满分32分)
1.如图，直线a∥b，∠1=50°,∠2=28°,则∠3的度数是（A)
A。

22° B.28°
C。

50°D。

30°
【解析】如图，∵a∥b，∴∠4=∠1=50°,由三角形的外角性质得∠3=∠4-∠2=50°—
28°=22°.
2.在△ABC中,∠ABC=30°，AB边长为10,AC边的长度可以在3,5，7,9，11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是(D)
A。

3 B。

4 C.5 D.6
【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵∠ABC=30°,AB=10,∴AD=AB=5。

当AC=3时，没有符合条件的三角形;当AC=5时,可作1个三角形；当AC=7时,可作2个三角形;当AC=9时,可作2个三角形;当AC=11时，可作1个三角形。

所以满足条件的互不全等的三角形共有
1+2+2+1=6个.
3.若一个角的补角比它余角的4倍还多15°,则这个角的度数是(C）
A.45°B。

55°C.65°D.75°
【解析】设这个角的度数是x，根据题意得180-x=4（90—x）+15,解得x=65。

4.如图,BC∥EF,AC∥DF,添加下列一个条件，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（B）
A.AD=BE
B.∠C=∠F
C。

AC=DF D.BC=EF
【解析】∵BC∥EF，AC∥DF，∴∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF,根据全等三角形的判定方法,添加选项B中的∠C=∠F，不能判断△ABC≌△DEF.
5。

如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA’=2∶3,则四边形ABCD和A'B'C'D’的面积比为(A)
A.4∶9 B。

2∶5
C。

2∶3 D。

【解析】四边形ABCD和A’B’C'D’的相似比为2∶3,所以四边形ABCD和A'B'C'D'的面积比为4∶9.
6.点D,E分别在等边△ABC的边BC,AC上，BD=CE，AD与BE相交于点O，则∠AOE的度数是
(C)
A.30°B。

45°C。

60°D。

75°
【解析】由等边△ABC得∠ABC=60°,易证△ABD≌△BCE,得
∠BAD=∠CBE,∴∠AOE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=60°。

7.如图，已知△ABC中,∠ACB=90°，AC=BC=2,将直角边AC绕点A逆时针旋转至AC’,连接BC’，E为BC'的中点,连接CE，则CE的最大值为(B)
A. B.+1
C。

+1 D。

+1
【解析】取AB的中点M，连接CM,EM,∴当CE=CM+EM时，CE的值最大,∵将直角边AC绕点A 逆时针旋转至AC’,∴AC'=AC=2，∵E为BC’的中点，
∴EM=AC'=1,∵∠ACB=90°,AC=BC=2,∴AB=2，∴CM=AB=，∴CM+EM=+1。

8.如图，在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC，O是AB的中点,D,E分别是边AC,BC上的动点.下列结论:①若∠DOE=90°,则四边形CDOE的面积是定值;②若AD=CE，则∠DOE=90°；③若
∠DOE=45°，则△AOD与△BEO相似；④若△AOD与△BEO相似,则∠DOE=45°.其中正确的是（C）
A。

①②B。

①③④C.①②③D.①②③④
【解析】连接OC。

∵AC=BC，O是AB的中点，∴OC⊥AB,∵∠ACB=90°，
∴OC=AO=BO,∴∠A=∠ACO=∠BCO=∠B=45°。

∵∠DOE=90°,∴∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△COE，∴S
四边形CDOE =S
△COE
+S
△COD
=S
△AOD
+S
△COD
=S
△AOC
=S
△ABC
,即四边形CDOE的面积是定值,
故①正确；∵AD=CE,易证△AOD≌△COE,由OC⊥AB可得∠DOE=90°，故②正
确;∵∠DOE=45°,∴∠AOD+∠BOE=135°，∵∠AOD+∠ADO=135°,∴∠BOE=∠ADO，
∵∠A=∠B，∴△AOD∽△BEO,故③正确；△AOD与△BEO相似分两种情况：△AOD∽△BEO或△AOD∽△BOE，故④不正确.
二、填空题（每小题5分,满分15分）
9.如图，AB=AC,AB的垂直平分线ED交AC于点D，若∠CBD=30°,则∠A的度数为40°.
【解析】设∠A的度数为x，∵ED垂直平分AB,∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=x,又
AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=x+30，根据题意得x+2（x+30）=180,解得x=40，即∠A=40°.
10.如图,在平行四边形ABCD中，E是AD边上的一点,连接BE并延长，交CD的延长线于点F,若AE∶ED=2∶1且平行四边形ABCD的面积为24，则△DEF的面积是2。

【解析】∵ED∶AE=1∶2，AB∥CD,∴△DEF∽△AEB，∴，∵AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△CBF,,∴,∴S
△AEB =4S
△DEF
,S四边形BCDE=8S△DEF,∴4S△DEF+8S△DEF=24，解得
S
△DEF
=2.
11。

如图,D，E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等,△CAE与△CBE 的周长相等。

设BC=a，AC=b，AB=c,给出以下几个结论：
①如果AD是BC边中线，那么CE是AB边中线;②AE的长度为;③BD的长度为
;④若∠BAC=90°，△ABC的面积为S,则S=AE·BD。

其中正确的结论是②③④.(将正确结论的序号都填上)
【解析】当AD是BC边中线时,则BD=CD,∵△ABD与△ACD的周长相等,∴AB=AC,但此时不能得出AC=BC，即不能得出CE是AB的中线,故①不正确;∵△ABD与△ACD的周长相等，BC=a，AC=b，AB=c,∴
AB+BD+AD=AC+CD+AD,∴AB+BD=AC+CD，∵AB+BD+CD+AC=a+b+c，
∴AB+BD=AC+CD=,∴BD=-c=,同理AE=，故②③正确；当
∠BAC=90°时，则b2+c2=a2,∴AE·BD=[a+（c-b)］[a-（c—b）］=
［a2—（c-b)2］=［a2—（c2+b2—2bc）］=×2bc=bc=S，故④正确.
三、解答题（满分73分)
12.(8分)计算:sin245°+3tan 30°—3tan 60°·cos 30°。

解：原式=+3×-3×
=
=-4+。

13。

(12分）如图1，直线l上有两个点A,B,图中有=1条线段；如图2,直线l上有三个
点A,B,C，图中有=3条线段；如图3,直线l上有四个点A,B，C，D,图中有=6条线段；….
（1）图4中有多少条线段？
(2)猜想:若直线l上有n个不同的点,则图中有条线段.（用含n的代数式表示）
(3)应用：春节期间，10位朋友之间互通电话问候,且每两位朋友之间只通一次电话，则这10位朋友之间需通多少次电话？
解:(1)=10(条）。

(2)。

(3）当n=10时，=45（次）。

∴这10位朋友之间需通45次电话.
14。

（12分)如图,在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.
（1）求证:△BDE∽△CAD。

(2）若AB=13,BC=10,求线段DE的长。

解:(1）∵AB=AC,BD=CD，
∴AD⊥BC,∠B=∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=∠ADC，
∴△BDE∽△CAD。

（2)∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC,
在Rt△ADB中，AD==12,
∵·AD·BD=·AB·DE,
∴DE=。

15.（13分)《男生女生向前冲》是安徽卫视重磅推出的大型户外竞技类真人秀节目,一经推出就受到全国电视观众的青睐。

体育爱好者小张站在200米高的楼房（CD)的顶端C处测得冲关赛道“亚洲一号"的起点A的俯角是45°,测得终点B的俯角是30°.
(1)求冲关赛道“亚洲一号”AB的长度.（结果保留根号)
(2)预计冲关时间在60秒之内（含60秒)即可夺得2018年冲关王.小张在保证不落水的前提下，要想夺得2018年冲关王，他冲关的平均速度至少是多少米/秒?(结果精确到0.1,参考数据：≈1.41,≈1.73)
解：（1)在Rt△ACD中,∵tan 45°=，∴AD=CD=200。

在Rt△BCD中，∵tan 30°=，∴BD==200。

∴AB=BD-AD=（200-200)米。

答：冲关赛道“亚洲一号”AB的长度为（200—200）米。

(2)设小张冲关的平均速度为x米/秒,根据题意，
得60x≥200-200,解得x≥2.4.
答：小张要想夺得2018年冲关王,他冲关的平均速度至少是2。

4米/秒.
16。

（14分）已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E,且AC⊥BD，作BF⊥CD,垂足为F,BF与AC交于点G,∠BGE=∠ADE。

（1）如图1，求证：AD=CD;
（2)如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE,DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍.
解：（1）∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF,
∴∠ADE=∠CGF,
∵AC⊥BD，BF⊥CD,
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF,
∴∠DAE=∠GCF，
∴AD=CD。

(2）△ACD,△ABE,△BCE,△BHG.
17。

（14分)已知在△ABC中,∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点.
(1)如图1，若点E,F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF，求证：BE=AF。

(2）若点E,F分别为AB,CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗？请利用图2说明理由。

解:(1)连接AD。

∵∠A=90°,AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°.
∵D为BC的中点,
∴AD=BC=BD,∠FAD=45°。

∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中,
∴△BDE≌△ADF（ASA）,
∴BE=AF.
(2）BE=AF.
理由：连接AD,如图所示.
∵∠ABD=∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠EBD=∠FAD=135°.
∵∠EDB+∠BDF=90°,∠BDF+∠FDA=90°，
∴∠EDB=∠FDA。

在△EDB和△FDA中,
∴△EDB≌△FDA（ASA),
∴BE=AF。