二次函数知识点总结及典型例题和练习极好

二次函数知识点总结及典型例题和练习极好
知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念
一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，,特别注意a 不为零,那么y 叫做x 的二次函数;)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式;
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于a
b
x 2-=对称的曲线,这条曲线叫抛物线; 抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点; 3、二次函数图像的画法--------五点作图法：
1先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴 2求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：
当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点D;将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像;
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D;由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图;如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像; 例1 已知函数y=x 2-2x-3,
1写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点;然后画出函数图象的草图；
2求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：
3根据第1题的图象草图,说 出 x 取哪些值时,① y=0；② y<0；③ y>0
知识点二：二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
1一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，
2 交点式：当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时,即对应的一元二次方程
02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=;如果
没有交点,则不能这样表示;
3顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁;
例1 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A1,0,B3,0两点,且过-1,16,求抛物线的解析式;
例2 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点-2,0和-1,0之间包括这两点,顶点C 是矩形DEFG 上包括边界和内部的一个动点,则： 1abc 0 ＞或＜或=
2a 的取值范围是
例3 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点0,1的是
A ．y = x − 22 + 1
B ．y = x + 22 + 1
C ．y = x − 22 − 3 D．y = x + 22 – 3
知识点三：二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值或最小值,即当a
b x 2-=时,a
b a
c y 442-=最值
;
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤,那么,首先要看a
b
2-
是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内,若在此范围内,则当x=a
b
2-时,a b ac y 442-=最值；若不在此范围内,则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的
增减性,如果在此范围内,y 随x 的增大而增大,则当2x x =时,c bx ax y ++=22
2
最大,当1x x =时,c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内,y 随x 的增大而减小,则当1x x =时,c bx ax y ++=121最大,当
2x x =时,c bx ax y ++=22
2最小;
例1 已知二次函数的图像0≤x≤3如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是 A ．有最小值0,有最大值3 B ．有最小值－1,有最大值0 C ．有最小值－1,有最大值3
D ．有最小值－1,无最大值
例2某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天l80元时,房间会全部住满．
当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每
天支出20元的各种费用．根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元x为10的正整数倍．
1设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
2设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式；
3一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大最大利润是多少元
知识点四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中,c b 、、a 的含义：
a 表示开口方向：a >0时,抛物线开口向上
a <0时,抛物线开口向下
b 与对称轴有关：对称轴为x=a
b 2-
c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：0,c
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标;
因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆,在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点; 当∆>0时,图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时,图像与x 轴有一个交点； 当∆<0时,图像与x 轴没有交点;
例1 抛物线y=x 2-2x -3的顶点坐标是 .
例2 二次函数522-+=x x y 有
A ． 最大值5-
B ． 最小值5-
C ． 最大值6-
D ． 最小值6- 例3 由二次函数1)3(22+-=x y ,可知
A ．其图象的开口向下
B ．其图象的对称轴为直线3-=x
C ．其最小值为1
D ．当3<x 时,y 随x 的增大而增大
例4 已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是 A.4<k
B.4≤k
C.4<k 且3≠k
D.4≤k 且3≠k
例5 下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是 ． A ．y = x 2 B ．y = x －１ C ． y = 错误! x D ．y = 错误!
例6 若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时,y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是
A ．m =l
B ．m >l
C ．m ≥l D．m ≤l
知识点五、二次函数图象的平移
① 对于抛物线y=ax 2+bx+c 的平移
通常先将一般式转化成顶点式()2
y a x h k =-+,再遵循左加右减,上加下减的的原则
化为顶点式有两种方法：配方法,顶点坐标公式法;在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后,在写顶点式时,要减去顶点的横坐标,加上顶点的纵坐标;
② c bx ax y ++=2沿y 轴平移：向上下平移m m ＞0个单位,c bx ax y ++=2变成
m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2
③ 当然,对于抛物线的一般式平移时,也可以不把它化为顶点式
c bx ax y ++=2：向左右平移m m ＞0个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2
例1 将抛物线2y x =-向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是 A ．2(2)y x =-+ B ．22y x =-+ C ．2(2)y x =-- D ．22y x =--
例2 将抛物线y=x 2－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______. 例3 抛物线2y x =可以由抛物线()2
23y x =+-平移得到,则下列平移过程正确的是 A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
补抛物线y=2x 2-3x-7在x 轴上截得的线段的长度为______________ 公式抛物线y=ax 2+bx+c 在x 轴上截得的线段的长度为______________
知识点六：抛物线c bx ax y ++=2中, a 、b 、c 的作用 1a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样.
2b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a
b
x 2-
=,故：①0=b 时,对称轴为y 轴；②
0>a b 即a 、b 同号时,对称轴在y 轴左侧；③0<a
b
即a 、b 异号时,对称轴在y 轴右侧.口诀---左同,右异 a 、b 同号,对称轴在y 轴左侧 3c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.
当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点0,c ：
①0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧,则
0<a
b
. 例1 如图为抛物线2y ax bx c =++的图像,A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点,且OA =OC =1,则下列关系中正确的是
A ．a ＋b=－1
B ．a －b=－1
C ．b<2a
D ．ac<0
例2 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋ca≠0在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是 A ．a>0 B ．b ＜0 C ．c ＜0 D ．a ＋b ＋c>0
例 3 如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息：1240b ac ->；2c >1；32a －b <0；4a +b +c <0;你认为其中错误．．
的有 A ．2个 B ．3个
C ．4个
D ．1个
例4 如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交,其顶点坐标为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
,下列结论：①ac ＜0；
②a+b=0；③4ac －b 2=4a ；④a+b+c ＜0.其中正确的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例5 如图,是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋ca≠0的图象的一部分,给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b ＞2a ；
③ax 2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c ＞0．其中正确的命题是 ．只要求填写正确命题的序号
例6 如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是
A ．m ＝n ,k ＞h
B ．m ＝n ,k ＜h
C ．m ＞n,k ＝h
D ．m ＜n ,k ＝h
知识点七：中考二次函数压轴题中常用到的公式
1、两点间距离公式：如图：点A 坐标为x 1,y 1,点B 坐标为x 2,y 2,则AB 间的距离,即线段AB 的长度为()
()2
212
21y y x x -+- 这实际上是根据勾股定理得出
来的
2、中点坐标公式：如图,在平面直角坐标系中,A 、B 两点的坐标分别为11()A x y ，,
22()B x y ， ,AB 中点P 的坐标为()p p x y ，．由12p p x x x x -=-,得1
2
2
p x x x +=, 同理122p y y y +=
,所以AB 的中点坐标为1212()22
x x y y
++，． 3、两平行直线的解析式分别为：y=k 1x+b 1,y=k 2x+b 2,那么k 1=k 2,也就是说当我们知道一条直线的k 值,就一定能知道与它平行的另一条直线的k 值;
4、两垂直直线的解析式分别为：y=k 1x+b 1,y=k 2x+b 2,那么k 1×k 2=-1,也就是说当我们知道一条直线的k 值,就一定能知道与它垂直的另一条直线的k 值;对于这一条,只要能灵活运用就行,不需要理解
以上四条,我称它们为坐标系中的“四大金刚”
1
x p
x 2
x 1
2x x -1
2y y -1y 2y P
y A
P
B
O y
x
例1 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A ．B 两点,与y 轴交于点C,点D 是该抛物线的顶点．
1求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；
2点P 是x 轴上一个动点,过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q,试探究：随着P 点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形 若存在,请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在,请说明理由．
3请在直线AC 上找一点M,使△BDM 的周长最小,求出M 点的坐标．
例2 如图,已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A ﹣1,0,C2,3两点,与y 轴交于点N ．其顶点为D ．1求抛物线及直线AC 的函数关系式； 2设点M3,m,求使MN+MD 的值最小时m 的值；
3若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B,E 为直线AC 上的任意一点,过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F,以B,D,E,F 为顶点的四边形能否为平行四边形 若能,求点E 的坐标；若不能,请说明理由； 4若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点,求△APC 的面积的最大值．
例3 如图,抛物线42
3
412--=
x x y 与x 轴交于A,B 两点点B 在点A 的右边,与y 轴交于C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为m,0,过P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q;
A
D
C
E
B
O
A
D
C E
B
O
A D
C
E
B
O
1求点A 、B 、C 的坐标；
2当点P 在线段OB 上运动时,直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N;试探究m 为何值时,四边形CQMD 是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM 的形状,并说明理由;
3当点P 在线段EB 上运动时,是否存在点Q,使⊿BDQ 为直角三角形,若存在,请直接写出Q 点坐标；若不存在,请说明理由;
练 习
1、平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、2．5 m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m,则学生丁的身高为建立的平面直角坐标系如右图所示
A ．1．5 m
B ．1．625 m
C ．1．66 m
D ．1．67 m
2、已知函数()()()()
2
2
113513x x y x x ⎧--⎪
=⎨--⎪⎩≤＞,则使y=k 成立的x 值恰好有三个,则k 的值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则反比例函数a
y x
=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是 .
4. 如图,已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点－1,0,1,－2,当y 随x 的增大而增大时,x 的取值范围
是 ．
x
y
O
1
1（1,-2）
c
bx x y ++=2-1
5. 在平面直角坐标系中,将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°,所得抛物线的解析式是 ．
A ．2(1)2y x =-++
B ．2(1)4y x =--+
C ．2(1)2y x =--+
D ．2(1)4y x =-++
6. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如图,其对称轴1-=x ,给出下列结果①ac b 42>②0>abc ③
02=+b a ④0>++c b a ⑤0<+-c b a ,则正确的结论是
A ①②③④
B ②④⑤
C ②③④
D ①④⑤
7．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如上表：从上表可知,下列说法中正确的是 ．填写序号
①抛物线与x 轴的一个交点为3,0； ②函数2y ax bx c =++的最大值为6； ③抛物线的对称轴是1
2
x =； ④在对称轴左侧,y 随x 增大而增大．
8. 如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点A 的坐标是－2,4,过点A 作AB ⊥y 轴,垂足为B ,连结
OA ．
1求△OAB 的面积；2若抛物线22y x x c =--+经过点A ．
①求c 的值；②将抛物线向下平移m 个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内部不包括△OA B 的边界,求m 的取值范围直接写出答案即可．
x … －2 －1 0 1 2 … y
…
4
6
6
4
…
1的图象经过点Ac,－x=3;”题9、“已知函数c
=
+
y+
x
bx
2
目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字;
根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象；若不能,请说明理由;
10、如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,∠BAD= 90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A-1,0,B -1,2,D 3,0,连接DM,并把线段DM 沿DA方向平移到ON,若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．
1求抛物线的解析式
2抛物线上是否存在点P．使得PA= PC．若存在,求出点P的坐标；若不存在．请说明理由;
3设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点,当点Q在什么位置时有QE QC
-最大并求出最大值;
11、如图,抛物线y =2
1
x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,且A 一1,0．
⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状,证明你的结论；
⑶点Mm,0是x 轴上的一个动点,当CM+DM 的值最小时,求m 的值．
A
B
C
D
O E N
M x
y
图
12、在平面直角坐标系中,如图1,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC 分别落在x轴和y轴的正半轴上;设抛物线y=ax2+bx+ca<0过矩形顶点B、C.
1当n＝1时,如果a=－1,试求b的值；
2当n＝2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN,使EF在线段CB上,如果M,N 两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式；
3将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到x轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O,
②直接写出a关于n的关系式.。