高一数学(必修四)期末测试

高一数学（必修四）期末测试
说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，答题时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的， 地请把正确地
选项填在题后的括号内． 1．函数)2
5
2sin(π+=x y 的一条对称轴方程是 （ ）
A ．2
π
-
=x
B ．4
π
-
=x
C ．8
π
=
x
D ．4
5π=x 2．角θ满足条件sin2θ<0,且cos θ－sin θ<0,则θ在
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．己知sin θ+cos θ=
5
1
,θ∈(0,π),则cot θ等于 （ ）
A ．43
B ．－43
C ． ±43
D ．－3
4
4．已知O 是△ABC 所在平面内一点,若OA +OB +OC =0,且|OA |=|OB |=|OC |,则△ABC 是
（ ）
A ．任意三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
5．己知非零向量a 与b 不共线,则 (a +b )⊥(a －b )是|a |=|b |的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．化简
6sin 2008cos 2002sin 6cos 2008sin 2002sin +-的结果是
（ ）
A ．
28tan
B ．
28tan -
C ．
28cot - D ．
28cot
7．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）
A ．0,24
B ．24,4
C ．16，0
D ．4，0
8．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把 图象向左平移
4
π个单位，这时对应于这个图象的解析式
（ ）
A ．y ＝cos2x
B ．y ＝－sin2x
C ．y ＝sin(2x －
4
π
) D ．y ＝sin(2x ＋
4
π) 9．)2
0(cos 3sin π
≤≤+=x x x y ，则y 的最小值为
（ ）
A ．– 2
B ．– 1
C ．1
D ．3 10．在下列区间中,是函数)4
sin(π
+=x y 的一个递增区间的是
（ ） A ．],2
[ππ
B ．]4,0[π
C ．]0,[π-
D ．]2
,4[π
π
11．把函数y =x 2
+4x +5的图象按向量 a 经一次平移后得到y =x 2
的图象,则a 等于 （ ）
A ．(2,－1)
B ．(－2,1)
C ．(－2,－1)
D ．(2,1)
12．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ ）
A ．4
,2
π
ϕπ
ω==
B ．6
,3
π
ϕπ
ω== C ．4
,4
π
ϕπ
ω=
=
D ．4
5,4π
ϕπω==
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答． 13．已知,4)4tan()4tan(
=++-θπθπ
且,2
π
θπ-<<-则θsin = . 14．函数2
1
cos sin lg -
+=x x y 的定义域为 . 15．已知奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，且当)1,0(∈x 时，.2)(x
x f =则
)18(log 2
1f 的值为 .
16．在△ABC 中，A （－1，1），B （3，1），C （2，5），角A 的内角平分线交对边于D ，则向量AD 的坐标等于 . 三、解答题：共70分．要求写出必要的文字说明、重要演算步骤，有数值计算的要明确写出数值和单位，只有
最终结果的不得分．
17．（本题满分10分）已知).1,2(),0,1(==b a
（I ）求|3|b a
+；
（II ）当k 为何实数时,k -a b 与b a
3+平行, 平行时它们是同向还是反向？
18．（本题满分12分）已知5
1
cos sin ,02
=
+<<-
x x x π
. （I ）求sin x －cos x 的值；
（Ⅱ）求
x
x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322
++-的值.
19．（本题满分12分）已知函数x
x x x f 2cos 4
sin 5cos 6)(24-+=.
（Ⅰ）求函数f (x )的定义域和值域; （Ⅱ）判断它的奇偶性.
20．（本题满分12分）设函数b a x f ⋅=)(，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ，3sin2x )，x ∈R. （Ⅰ）若f (x )=1－3且x ∈[－
3π，3
π
]，求x ； （Ⅱ）若函数y =2sin2x 的图象按向量c =(m ，n )(|m |<
2
π
)平移后得到函数y=f (x )的图象， 求实数m 、n 的值．
21．（本题满分12分）如图，某观测站C 在城A 的南偏西︒20方向上，从城A 出发有一条公路，走向是南偏东︒40，
在C 处测得距离C 处31千米的公路上的B 处有一辆正沿着公路向城A 驶去，行驶了20千米后到达D 处，测得C 、D 二处间距离为21千米，这时此车距城A 多少千米？
22．（本题满分12分）某港口水深y （米）是时间t (240≤≤t ，单位：小时)的函数，记作)(t f y =，下面是某
日水深的数据
t (小
时)
3
6
9
12
15
18
21
24
y (米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
经长期观察：)(t f y =的曲线可近似看成函数b t A y +=ωsin 的图象（A > 0，0>ω） （I ）求出函数)(t f y =的近似表达式；
（II ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的．某船吃水深度（船
底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长
时间？
参考答案
一、选择题
1．A 2．B 3．B 4．D 5．C 6．C 7．D 8．A 9．C 10．B 11．A 12．C 二、填空题
13．2
1- 14．}3
22|{Z k k x k x ∈+
≤<π
ππ 15．8
9- 16．
（9
16
,932） 三、解答题
17．解：（I ）b a
3+= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , ∴|3|b a += 2237+=58.
（II ）k -a
b
= k(1,0)－(2,1)=(k －2,－1). 设k -a
b
=λ(b a
3+),即(k －2,－1)= λ(7,3),
∴⎩⎨⎧=-=-λ
λ3172k . 故k= 31-时, 它们反向平行.
18．解法一：（Ⅰ）由,25
1
cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=
+x x x x x x 平方得 即 .25
49
cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x
又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π 故 .5
7
cos sin -=-x x
（Ⅱ）x
x x x x x x
x x x x x sin cos cos sin 1
sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222+
+-=++-
解法二：（Ⅰ）联立方程⎪⎩
⎪
⎨⎧
=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x
由①得,cos 5
1
sin x x -=
将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=-=∴<<-=-=∴.
54cos ,53sin ,02.54cos 53cos x x x x x π 或 故 .57cos sin -=-x x （Ⅱ）
x
x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 32
2++- 19．解：（I ）由cos2x ≠0得22ππ+=k x ,解得x ≠
Z k k ∈+,4
2π
π,所以f(x)的定义域为 R x x ∈{且x ≠
Z k k ∈+,4
2π
π} ①②
（II ）∵f(x)的定义域关于原点对称且f(－x)=f(x)， ∴f(x)为偶函数. （III ）当x ≠
Z k k ∈+,4
2π
π时, 因为1cos 32cos )
1cos 3)(1cos 2(2cos 4sin 5cos 6)(22224-=--=-+=
x x
x x x x x x f , 所以f(x)的值域为1{-y ≤11
22
y y <<或者≤2}. 20．解：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos 2
x+3sin2x=1+2sin(2x+6
π).
由1+2sin(2x+6π)=1-3，得sin(2x+6
π
)=-23. ∵-
3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x+6π≤65π，∴2x+6π=-3π
， 即x=-4
π.
（Ⅱ）函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n 的图象，即函数y=f(x)的图象.
由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x+
12π)+1. ∵|m|<2π，∴m=-12
π
，n=1.
21．解：在BCD ∆中，21=CD ，20=BD ，
31=BC ，由余弦定理得
所以7
74cos 1sin 2
=∠-=∠BDC BDC ． 在ACD ∆中，CD ＝21，
=14
3
560sin 60cos sin =︒∠-︒∠⋅⋅BDC BDC ． 由正弦定理得=∠∠=
⋅CAD
ACD
CD AD sin sin （千米）
． 所以此车距城A 有15千米．
22．解：（I ）由已知数据，易知)(t f y =的周期为T = 12,
∴ 6
2π
πω==
T . 由已知，振幅13,3,
7,10.
A b A A b b +==⎧⎧⎨⎨
+==⎩⎩得 ∴ 106
sin
3+=t y π
.
（II ）由题意，该船进出港时，水深应不小于5 + 6.5 = 11.5（米）,
∴ 13sin
1011.5,sin
.6
62
t
t π
π+≥≥即 ∴ πππ
π
π6
5
266
2+≤≤
+
k t k . ∴ )(512112z k k t k ∈+≤≤+. 故该船可在当日凌晨1时进港，17时出港，它在港内至多停留16小时．。