九年级上册数学期中专题训练一(代、几综合能力拓展)

九年级上册数学期中专题训练一
----代、几综合能力拓展
代数部分：
一、一元二次方程根与系数关系的应用
1、（1）设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程022=---a ax x 的两根，2221x x +的最
小值为 ．
（2）设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两根，则()()122122x x x x --
的最大值为
2、如果x 、y 是两个实数（xy ≠1）且2
3201420x x -+=，2
2201430y y -+=，则
22x x y y
+的值为 。

二、主元法中巧用判别式
3、若实数a 、b 满足
21
202
a a
b b -++=，则a 的取值范围是（ ） A.a ≤－2 B.a ≤－2或 a ≥4 C.a ≥4 D .－2≤a ≤4
4、已知实数a 、b 满足04222
2=-+-+a ab a b ，则a 的取值范围为 。

三、二次函数含参变换彰显代数功底
5、抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (c ≠0)过点(－1，0)和(0，－3)，且顶点在第四象限．设s ＝a ＋b ＋c ，则s 的取值范围是( )
A ．－3＜s ＜－1
B ．－6＜s ＜0
C ．－3＜s ＜0
D ．－6＜s ＜－3
6、已知非负数a ，b ，c 满足a ＋b ＝2，c －3a ＝4，设S ＝a 2
＋b ＋c 的最大值为m ，最小值为n ，则m －n 的值为( )
A ． 9
B ． 8
C ． 1
D ．10
3
四、用对称轴的位置解决二次函数含参范围最值问题
7、已知二次函数1)(2
+-=h x y （h 为常数），在自变量31≤≤-x 的范围内，函数y 的最小值为5，则h 的值为 。

8、已知关于x 的二次函数3242
2-++-=a a ax ax y 在31≤≤-x 的范围内有最小值5，则a 的值为。

几何部分
五、旋转、又见“手拉手”
9、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=6，Rt △AB′C′可以看作是由Rt △ABC 绕点A 逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C 的长为
10、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝30°，AC ＝4，CD ＝3，则 BC ＝ .
11、将边长为的正方形ABCD 与边长为的正方形CEFG 如图摆放，点G 恰好落在线段
DE 上．连BE ，则BE 长为 ．
六、隐圆，心中有“圆”
11、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为平面内一点，且∠AEB=900，F 为DE 的中点，连接CF ，则CF 的最大值为 。

12、如图，四边形ABCD 为正方形，边长为4，以CD 为直径，向正方形外作半圆O ，P 为CD
⋂上一动点，Q 为AP 的中点，求点P 从A 运动到B 时，Q 点运动的路径长为 。

七、几何探究，因数而美
D C B A
13、已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°，把Rt△ABC绕点C旋转．
（1）如图1，当点A旋转到ED的延长线时，若BC=
22
13
，BE=5，求CD的长；
（2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG．
14、问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D 落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．
综合题部分
八、那一“转”的美丽
15、在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （4，0），点B （0，3）把△ABO 绕点B 逆时针旋转，得△A’BO’，点A ，O 旋转后的对应点为A’，O’．记旋转角为α． （Ⅰ）如图①，若α=90o ，求AA’的长；
（Ⅱ）如图②，若α=120o ，求点O ’的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA 上的一点P 旋转后的对应点为P’，当O’P+BP’取得最小值时，求点P’的坐标（直接写出结果即可）．
九、特殊张角，又见“三垂直”
16、已知抛物线342+-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连AC ，将直线AC 向右平移交抛物线于P ，交x 轴交于Q ，且∠PCA ＝45°，求直线PQ 的解析式．
x
y
O C
P
A B
十、用平移与全等进行等角构造
17．如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C 点，D 为抛物线的顶点，在抛物线上求一点P ，使得∠PCB ＝∠CBD ，求点P 的坐标．
18、如图，抛物线342
+-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上一动点，满足∠PCB=∠ACO ，求点P 的坐标。

【夹半角】
x
y
O
C D A B。