【名师一号】2019高考数学(人教版a版)一轮配套题库：3-6正弦定理和余弦定理

第六节正弦定理和余弦定理
时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2018·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝1
3
，则sinB＝( )
A.1
5
B.
5
9
C.
5
3
D．1
解析利用a
sinA ＝
b
sinB
代入计算即可．
答案 B
2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
解析∵sin2A＋sin2B＜sin2C，∴a2＋b2＜c2.
cosC＝a2＋b2－c2
2ab
＜0，∴C为钝角．
答案 C
3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A.4
3
B．8－4 3
C．1 D.2 3
解析由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4.①
由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab，②
将②代入①得ab＋2ab＝4，即ab＝4
3 .
答案 A
4．(2018·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a ＝7，c＝6，则b＝( )
A．10 B．9
C．8 D．5
解析23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，所以cos2A＝1
25，因为A是锐角，所以cosA＝
1
5
，由余弦
定理得49＝36＋b2－2×6b×cosA，解得b＝5或b＝－13
5
(舍去)，故选D.
答案 D
5．(2018·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π
4，则
△ABC 的面积为( )
A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2
D.3－1
解析 由正弦定理得c sinC ＝b
sinB
⇒c ＝
2×22
12＝
22，又sinA ＝sin(B ＋C)＝sin(π6＋π4)＝6＋24，所以三角形面积为S ＝12bcsinA ＝12×2×22×6＋2
4
＝3＋1，故选B.
答案 B
6．(2018·湖南五市十校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的边长，若cosA ＋sinA －2
cosB ＋sinB
＝0，则
a ＋b
c
的值是( ) A ．1 B. 2 C. 3
D ．2
解析 (cosA ＋sinA)(cosB ＋sinB)＝2，cosAcosB ＋cosAsinB ＋sinAcosB ＋sinAsinB ＝cos(A －B)＋sin(A ＋B)＝2，cos(A －B)＋sinC ＝2.
所以cos(A －B)＝1，sinC ＝1，
所以A －B ＝0且C ＝90°，所以A ＝B ＝45°，该三角形为等腰直角三角形，所以a ＋b
c
＝ 2. 答案 B
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cosB ＝－1
4
，则b ＝________.
解析 由余弦定理可得cosB ＝22
＋c 2
－b 2
2×2c ＝－14，又b ＋c ＝7，从而cosB ＝
22
＋
－
2－b
2
－b
，化简得15b ＝60，解得b ＝4.
答案 4
8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则角C ＝________. 解析 由(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，得a 2
＋b 2
＋2ab －c 2
＝ab ，则a 2
＋b 2
－c 2
＝－ab ，故cosC ＝a 2
＋b 2
－c 2
2ab ＝
－ab
2ab
＝－12，又C 是三角形的内角，所以C ＝2π3
.
答案
2π
3
9．(2018·福建卷)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝22
3
，AB＝32，AD＝3，
则BD的长为________．
解析∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)
＝cos∠BAD＝22
3
，
∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD
＝18＋9－2×92×22
3
＝3.∴BD＝ 3.
答案 3
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)若sinB·sinC＝sin2A，试判断△ABC的形状．
解(1)由已知得cosA＝b2＋c2－a2
2bc
＝
bc
2bc
＝
1
2
.
又角A是△ABC的内角，∴A＝π
3
.
(2)由正弦定理，得bc＝a2，
又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc. ∴(b－c)2＝0，即b＝c.
又A＝π
3
，∴△ABC是等边三角形．
11．(2018·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A. (Ⅰ)求cosA的值；
(Ⅱ)求c的值．
解(Ⅰ)因为a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得
3
sinA
＝
26
sin2A
.
所以2sinAcosA
sinA
＝
26
3
.故cosA＝
6
3
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知cosA＝
6
3
，所以sinA＝1－cos2A＝
3
3
.
又∠B ＝2∠A ，所以cosB ＝2cos 2
A －1＝13.
所以sinB ＝1－cos 2
B ＝223
.
在△ABC 中，sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝
539.所以c ＝asinC
sinA
＝5. 12．(2018·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sinC ＋cosC ＝1－sin C
2.
(1)求sinC 的值；
(2)若a 2
＋b 2
＝4(a ＋b)－8，求边c 的值． 解 (1)由已知得sinC ＋sin C
2＝1－cosC ，
∴sin C 2(2cos C 2＋1)＝2sin 2C 2.
由sin C 2≠0，得2cos C 2＋1＝2sin C 2，
∴sin C 2－cos C 2＝12
.
两边平方，得1－sinC ＝14，∴sinC ＝34.
(2)由sin C 2－cos C 2＝12>0，得π4<C 2<π
2，
即π2<C<π，则由sinC ＝34得cosC ＝－7
4. 由a 2
＋b 2
＝4(a ＋b)－8得(a －2)2
＋(b －2)2
＝0， 得a ＝2，b ＝2.
由余弦定理得c 2
＝a 2
＋b 2
－2abcosC ＝8＋27， 所以c ＝7＋1.。