挖掘习题价值提高教学效率

挖掘习题价值,提高教学效率
-------对一道向量习题的反思
泰兴市第三高级中学 陈伟
摘要：新课程改革已在省内全面展开，本文试通过对一道向量习题的展开，结合课本中的大量例
题、习题，来简要阐述向量中的一些知识点之间的联系及一些有用结论的运用，借此来谈自己的一些粗浅的教学体会。

捷克教育家夸美纽斯在《大教学论》中写道：“课堂是有生命的物质空间，是学生充满生机的思维领域，学校的课堂教学，主要目的在于促进学生思维发展，提高学生的数学思维能力。

”新的课程改革也要求教师能提升学生的思维，让学生远离题海，减轻学生的负担。

为此，在教学实践中，我们有必要关注训练的习题，充分挖掘习题的价值，
习题，谈一谈我个人的一点教学体验之愚见。

习题1：苏教版必修4， P70/练习3；原题如下：
已知：ABC ∆中，D 是BC 的中点，用向量AC AB ,表示向量.
教学时发现，学生比较容易从“形”的角度，以,为邻边构成平行四边形，由平行四边
形法则推知：AD =)(2
1
AC AB +；另外，联想加法的定义，由AD =;BD AB +=AD ;CD AC +两
等式左右相加，可得=)(2
1
+。

反思1：回味解答过程，积累解题经验
上述解答过程中，虽然从图形入手比较直观而且简洁，但第二种处理过程中，我们根据ABD 和ACD 两个三角形回路，依据向量加法构造两个回路等式，解决了问题，回路思想的运用，同样给我们的解题过程带来了清新的感觉，让我们感叹了数学之美！ 反思2：图形发散变换，整合习题资源
将上述习题图形略经变换，可思考下列一系列的类似习题：
1）将三角形变为四边形，一边中点变为取两对边中点，即得课本P66/7 ：
在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，求证：)(2
1
+=
2）可思考取任意四边形ABCD 四边的中点，构成什么图形？ 3）取任意四边形ABCD 两对角线的中点即得：课本P70/练习4：
设P ，Q 分别为四边形对角线AC 和BD 的中点，,,==并且,不是共线向量，试用基底b a ,表示向量PQ .
上述一连窜习题，串联成链，作为一个习题组进行练习，由于均可采用类似方法处理，在一定程度上有利于学生解题能力的提高。

反思3：特殊转为一般，拓展思维空间
习题1中，将中点D 的特殊位置变为一般情形，即得课本P64/练习4：
已知：和是不共线向量，)(,R t t ∈=，试用,表示. 运用加法回路的方法解答如下：
)(t t -+=+=+=
B
C
D
∴;)1(t t +-= （*）
课本P65/例4; P72/例4也都分别从式和坐标两方面叙述了这个问题,由这些习题稍加抽象,结合课本P75/探究拓展11,我们即可得到如下重要命题:
命题1：已知OB OA ,不共线，P 点在AB 上，则有,OB OA OP μλ+=且1=+μλ；
（*）式从另一方面也可以这样理解：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的向量可以用不共线向量,来表示，结合向量共线定理，我们不难得到平面向量基本定理，从该定理可知：
命题2：如果四个向量之间有等式,+=+并且,共线，,共线，但,不共线，立刻推得d b c a ==,
上述两个命题在我们解题时，若能灵活运用，有时可收到事半功倍的效果，使烦琐的解题过程得到优化，列举两例比较如下：
例1：设G 是OAB ∆的重心，过G 的直线与OA ，OB 分别相交于点P ，Q ，已知
,,OB k OQ OA h OP ==试问：k
h 1
1+的值是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
解法1：常规设置未知数列方程求解 解：h k -=-=；
又h -+=-=)(3
1
；
且Q G P ,,三点共线，由共线定理得：
λ=，∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+=-OA h OB OA OA h OB k )(31λ；
即：)3
1
()31(=-+--k h h λλ；
∵OB OA ,不共线，∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-=--0
3103
1λλk h h ；∴k h 11+=3
解法2：利用命题1，优化解题过程
解：由k
h 31
31)(31+=+=；
又∵Q G P ,,三点共线，∴,13131=+
k h 即k
h 1
1+=3，两种解法，繁简判然。

例2：课本习题P67/思考运用11：
平行四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，AE 交BD 于M ，用向量方法证明：M 是BD 的
一个三等分点。

解法1：运用共线定理，设未知数列方程求解
O
A
B
G P
Q
解：设==,
)2
1(2121--+=+=
+=λλ =b a λλ--)1(2
1
又)(b a DB DM -==μμ；
∴)()1(21b a b a -=--μλλ；∵,不共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-μλμλ)1(21
； 解之得：;3
1
==μλ∴M 是BD 的一个三等分点。

解法2：构建回路等式，巧妙解决问题 解：由;;+=+=
又,21=
∴2
1
21+=+； 不共线与共线与共线与,,
∴2
1
;21==
，即M 是BD 的一个三等分点。

通过上面一系列的思考，我们从一道习题可依次得出向量中一系列的知识、解题方法，如何做到真正意义上的学生减负，我认为关键在于课堂，必须要提高课堂的教学效率，有效综合各个知识点，寻找它们之间的联系，做到由一点牵一面，由一题思一片，这样学生就能避免盲目做题，摆脱题海，从而达到减轻学生负担，提升学生能力的目的。

参考文献：
[1]：普通高中课程标准实验教科书数学必修4.南京：江苏教育出版设，2007年6月第3版 [2]：张景中、彭翕成，论向量法解几何问题的基本思路.数学通报,2008.2 [3]：刘宏，浅谈教学后的反思.高中数学教与学,2005.11
A
B。