专题1.5 一元一次不等式章末重难点题型-七年级数学下册举一反三系列(苏科版)

专题1.5 一元一次不等式章末重难点题型
【苏科版】
【考点1 不等式的定义】
【方法点拨】不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
【例1】（2020春•丛台区校级期中）式子①x ﹣y ＝2 ②x ≤y ③x +y ④x 2
﹣3y ⑤x ≥0⑥1
2
x ≠3中，属于不等
式的有（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【分析】利用不等式的定义进行解答即可． 【解答】解：①x ﹣y ＝2是二元一次方程； ②x ≤y 是不等式； ③x +y 是代数式； ④x 2﹣3y 是代数式； ⑤x ≥0是不等式；
⑥1
2
x ≠3是不等式；
属于不等式的共3个， 故选：B ．
【点评】此题主要考查了不等式定义，关键是掌握用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【变式1-1】（2020春•巴州区校级期中）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2x ﹣5≥0，③x ＝1，④x 2﹣x ，⑤x ≠﹣2，⑥x +2＜x ﹣1中，是不等式的有（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【分析】利用不等式定义进行解答即可．
【解答】解：①﹣2＜0，②2x ﹣5≥0，⑤x ≠﹣2，⑥x +2＜x ﹣1是不等式，共4个， 故选：C ．
【点评】此题主要考查了不等式定义，关键是掌握用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【变式1-2】（2020春•叶集区期末）式子：①2＞0；②4x +y ≤1；③x +3≠0；④y ﹣7；⑤m ﹣2.5＞3．其中不等式有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【分析】用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．据此可得答案．
【解答】解：不等式有：①2＞0；②4x +y ≤1；③x +3≠0；⑤m ﹣2.5＞3，共有4个． 故选：D ．
【点评】本题主要考查不等式的定义，用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【变式1-3】（2020春•毕节市期中）老师在黑板上写了下列式子：①x ﹣1≥1；②﹣2＜0；③x ≠3；④x +2；⑤x −1
2y ＝0；⑥x +2y ≤0．你认为其中是不等式的有（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【分析】主要依据不等式的定义﹣﹣﹣﹣﹣用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；⑥x+2y≤0．为不等式，共有4个．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．
【考点2 不等式的基本性质】
【方法点拨】不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
【例2】（2020春•开封期末）下列不等式的变形正确的是（）
A．若a＜b，且c≠0，则ac＜bc B．若a＞b，则1+a＜1+b
C．若ac2＜bc2，则a＜b D．若a＞b，则ac2＞bc2
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：A．若a＜b，当c＜0时，ac＞bc，故本选项不符合题意；
B．若a＞b，则1+a＞1+b，故本选项不符合题意；
C．若ac2＜bc2，则a＜b，故本选项符合题意；
D．若a＞b，c＝0，则ac2＝bc2，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
【变式2-1】（2020春•江阴市期末）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+2c＜b+2c B．2c﹣a＜2c﹣b C．a+2c＞b+2c D．2ac＜2bc
【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．
【解答】解：A、∵a＜b，∴a+2c＜b+2c，原变形一定成立，故此选项符合题意；
B、∵a＜b，∴2c﹣a＞2c﹣b，原变形不成立，故此选项不符合题意；
C、∵a＜b，∴a+2c＜b+2c，原变形不成立，故此选项不符合题意；
D、∵a＜b，∴2ac＜2bc（c＞0）或2ac＝2bc（c＝0）或2ac＞2bc（c＜0），原变形不一定成立，故此
选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式两边同时加上或减去一个数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或乘以一个负数，不等式要改变方向．
【变式2-2】（2020春•福田区期中）下列不等式变形错误的是（）
A．若a＞b，则1﹣a＜1﹣b
B．若a＜b，则ax2≤bx2
C．若ac＞bc，则a＞b
D．若m＞n，则m
x+1＞
n
x+1
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴1﹣a＜1﹣b，正确，故本题选项不符合题意；
B、∵a＜b，
∴ax2≤bx2，正确，故本题选项不符合题意；
C、当c＜0时，根据ac＞bc不能得出a＞b，错误，故本题选项不符合题意；
D、∵m＞n，
∴m
x+1＞
n
x+1
，正确，故本题选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．【变式2-3】（2020春•泰山区期末）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a+c＜b B．a﹣c＞b﹣c
C．ac+1＜bc+1D．a（c﹣2）＜b（c﹣2）
【分析】根据不等式的性质解答．
【解答】解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+0，即a+c＜b，故本选项符合题意．
B、当a＝1，b＝2，c＝﹣3时，不等式a﹣c＞b﹣c不成立，故本选项不符合题意．
C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，故本选项不符合题意．
D、由于c﹣2＜﹣2，所以a（c﹣2）＞b（c﹣2），故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
【考点3 不等式性质的运用】
【方法点拨】含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【例3】（2020春•南岗区校级月考）如果一元一次不等式（m +2）x ＞m +2的解集为x ＜1，则m 必须满足的条件是（ ） A ．m ＜﹣2
B ．m ≤﹣2
C ．m ＞﹣2
D ．m ≥﹣2
【分析】根据解集中不等号的方向发生了改变，得出m +2＜0，求出即可． 【解答】解：∵不等式（m +2）x ＞m +2的解集是x ＜1， ∴m +2＜0， ∴m ＜﹣2， 故选：A ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的解集的应用，关键是能根据题意得出m +2＜0． 【变式3-1】（2020春•郯城县校级期末）如果关于x 的不等式（a +2020）x ﹣a ＞2020的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞﹣2020
B ．a ＜﹣2020
C ．a ＞2020
D ．a ＜2020
【分析】根据解一元一次不等式的方法和不等式的性质，可以得到a 的取值范围． 【解答】解：∵不等式（a +2020）x ﹣a ＞2020的解集为x ＜1， ∴a +2020＜0， 解得，a ＜﹣2020， 故选：B ．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和不等式的性质． 【变式3-2】（2020春•仁寿县期中）若不等式ax−52
−
2−ax 4
＞0的解集是x ＞1，则a 的值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．﹣4
D ．以上答案都不对
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：∵
ax−52
−
2−ax 4
＞0，
∴2（ax ﹣5）﹣（2﹣ax ）＞0， 2ax ﹣10﹣2+ax ＞0， 3ax ＞12， ∴ax ＞4，
∵不等式的解集为x ＞1， ∴a ＝4， 故选：B ．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式3-3】（2020•回民区二模）如果不等式（a ﹣2）x ＞2a ﹣5的解集是x ＜4，则不等式2a ﹣5y ＞1的解集是（ ） A ．y ＜52
B ．y ＜25
C ．y ＞52
D ．y ＞25
【分析】先由不等式（a ﹣2）x ＞2a ﹣5的解集是x ＜4，根据不等式的性质得出a ﹣2＜0，2a−5a−2
=4，解
得a =3
2，则2a ＝3，再解不等式2a ﹣5y ＞1即可． 【解答】解：∵不等式（a ﹣2）x ＞2a ﹣5的解集是x ＜4， ∴a ﹣2＜0，
2a−5a−2
=4，
解得a =3
2， ∴2a ＝3，
∴不等式2a ﹣5y ＞1的解集为y ＜2
5． 故选：B ．
【点评】本题考查了含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【考点4 解一元一次不等式】
【方法点拨】根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都
不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【例4】（2020春•福山区期末）解下列不等式，并把解集表示在数轴上． （1）1−4x−1
3
＞3x （2）
2x+13
≥
3(x−1)2
+1
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：（1）1−4x−1
3
＞3x ， 3﹣4x +1＞9x ， ﹣4x ﹣9x ＞﹣3﹣1， ﹣13x ＞﹣4， x ＜4
13，
在数轴上表示为：
；
（2）
2x+13
≥
3(x−1)2
+1，
4x +2≥9x ﹣9+6， 4x ﹣9x ≥﹣9+6﹣2， ﹣5x ≥﹣5， x ≤1，
在数轴上表示为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1． 【变式4-1】（2020春•南关区校级期中）解不等式：
1+x 2
−
2x−13
≤1，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】首先去分母，然后去括号，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集．
【解答】解：去分母，得：3（1+x ）﹣2（2x ﹣1）≤6， 去括号，得：3+3x ﹣4x +2≤6， 移项，合并同类项，得：﹣x ≤1， 则x ≥﹣1． 在数轴上表示为：
．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【变式4-2】（2020春•河南期末）解不等式：
2x−1.50.5
−
3x−0.60.2
＞
0.19−0.3x 0.01
；
【分析】先把不等式的分母化为整数，再去括号，移项，合并同类项，把x 的系数化为1即可； 【解答】解：
2x−1.50.5
−
3x−0.60.2
＞
0.19−0.3x 0.01
，
整理得，（4x ﹣3）﹣（15x ﹣3）＞19﹣30x ， 去括号得，4x ﹣3﹣15x +3＞19﹣30x ， 移项、合并同类项得，19x ＞19， 把x 的系数化为1得，x ＞1；
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 【变式4-3】（2020春•思明区校级月考）x 取何正整数时，代数式
x+13
−
2x−14
的值不小于代数式
x−36
的值？
【分析】根据题意两个代数式建立不等式，求得不等式的解集，求得x 的正整数解即可． 【解答】解：由题意得x+13
−
2x−14
≥
x−36
4x +4﹣6x +3≥2x ﹣6 4x ﹣6x ﹣2x ≥﹣6﹣4﹣3 ﹣4x ≥﹣13 解得x ≤13
4，
x 是正整数，可以取1、2、3．
【点评】此题考查一元一次不等式的正整数解，求得不等式的解集是解决问题的关键． 【考点5 解一元一次不等式组】
【方法点拨】不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）.
口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解.
【例5】（2020春•雨花区校级月考）解不等式组{5x −4≤2+7x
x −x−13＜1+x 2
，并把它们的解在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x ﹣4≤2+7x ，得：x ≥﹣3， 解不等式x −x−1
3＜1+x
2，得：x ＜1， 则不等式组的解集为﹣3≤x ＜1， 将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式5-1】（2020春•太湖县期末）解不等式组：{x −3
2(2x −1)≤4
1+3x 2＞2x −1并将解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：{x −3
2(2x −1)≤4①
1+3x
2＞2x −1②
，
由①得：x ≥−54
， 由②得：x ＜3，
∴不等式组的解集为−5
4≤x ＜3， 表示在数轴上，如图所示：
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
【变式5-2】（2020春•雨花区校级期中）解不等式组{5x +7≥3(x −1)①
2−2x+5
3
＞x −3②
，并将解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出公共部分，表示在数轴上即可． 【解答】解：{5x +7≥3(x −1)①
2−2x+5
3
＞x −3②
， 由①得，x ≥﹣5， 由②得x ＜2，
∴不等式组的解集为﹣5≤x ＜2． 在数轴上表示为：
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-3】（2020春•东阿县期末）根据要求解不等式组． （1）{2x −6＜3x
x+2
5
−
x−1
4
≥0； （2）{2x−13−5x−1
2≤1
5x −1＜3(x +1)
（在数轴上把它的解集表示出来）．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式2x ﹣6＜3x ，得：x ＞﹣6， 解不等式
x+25
−
x−14
≥0，得：x ≤13，
则不等式组的解集为﹣6＜x ≤13；
（2）解不等式
2x−13
−
5x−12
≤1，得：x ≥−5
11，
解不等式5x ﹣1＜3（x +1），得：x ＜2， 则不等式组的解集为−5
11≤x ＜2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【考点6 方程（组）的解构造不等式（组）求字母范围】
【方法点拨】不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）.
口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解.
【例6】（2020春•龙华区校级期末）已知关于x 的方程5x+m 3−x−12=m 的解为非负数，则m 的范围为 ． 【分析】解方程求出x =4m−37，根据方程的解为非负数得出关于m 的不等式，解之可得． 【解答】解：解方程5x+m 3−x−12=m 得x =4m−37， 根据题意，得：4m−37≥0，
则4m ﹣3≥0，
∴4m ≥3，
解得m ≥34，
故答案为：m ≥34．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式6-1】（2020春•高州市期末）已知关于x ，y 的二元一次方程组{2x +y =1+2m x +2y =2−m
的解满足不等式x +y 为非负数，求实数m 的取值范围．
【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x ，y 关于a 的式子，代入x +y ＞0，然后解出a 的取值范围．
【解答】解：方程组中两个方程相加得3x +3y ＝3+m ，
即x +y ＝1+13m ，
又x +y ≥0，
即1+13
m ≥0，
解一元一次不等式得m ≥﹣3．
【点评】本题是综合考查了二元一次方程组和一元一次不等式的综合运用，灵活运用二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
【变式6-2】（2020秋•大渡口区月考）已知方程组{3x +y =−13+m x −y =1+3m
的解满足x 为非正数，y 为负数． （1）求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式（2m +1）x ﹣2m ＜1的解为x ＞1，请写出整数m 的值．
【分析】（1）解方程组用m 的代数式表示出x 、y ，根据x 为非正数，y 为负数列出关于m 的不等式组，解之求得m 的范围；
（2）根据不等式的性质得出2m +1＜0，求得m 的范围，结合m 为整数及（1）中m 的范围可得答案．
【解答】解：（1）解方程组{3x +y =−13+m x −y =1+3m
得：{x =m −3y =−2m −4． ∵x ≤0，y ＜0，
∴{m −3≤0−2m −4＜0
． 解得﹣2＜m ≤3；
（2）不等式（2m +1）x ﹣2m ＜1移项得：（2m +1）x ＜2m +1．
∵不等式（2m +1）x ﹣2m ＜1的解为x ＞1，
∴2m +1＜0，
解得m ＜−12．
又∵﹣2＜m ≤3，
∴m 的取值范围是﹣2＜m ＜−12．
又∵m 是整数，
∴m 的值为：﹣1．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是得出关于m 的不等式组并求解．
【变式6-3】（2020春•洪山区期末）已知关于x 、y 的方程组{3x −y =2a −5x +2y =3a +3
的解都为正数，且满足a +b ＝4，b ＞0，z ＝a ﹣3b ，则z 的取值范围是（ ）
A ．﹣8＜z ＜4
B ．﹣7＜z ＜8
C ．﹣7＜z ＜4
D ．﹣8＜z ＜8
【分析】先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a 的不等式组解出即可得到a 的范围；根据题意得出b ＝4﹣a ＞0，即可得到1＜a ＜4，代入z ＝a ﹣3b 得到z ＝4a ﹣12，根据a 的取值可得结论．
【解答】解：解这个方程组的解为：{x =a −1y =a +2
， 由题意，得{a −1＞0a +2＞0
， 则原不等式组的解集为a ＞1；
∵a +b ＝4，b ＞0，
∴b ＝4﹣a ＞0，
∵a ＞1，
∴1＜a ＜4，
∵a ﹣3b ＝a ﹣3（4﹣a ）＝4a ﹣12，z ＝a ﹣3b ，
故﹣8＜z ＜4．
故选：A ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．
【考点7 根据不等式（组）的解集求字母范围】
【例7】（2020春•章丘区期末）若不等式2x+53−1≤2﹣x 的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式
2x +m ＜1成立，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＜−35
B ．m ≤−35
C ．m ＞−35
D ．m ≥−35 【分析】求出不等式2x+53−1≤2﹣x 的解，求出不等式3（x ﹣1）+5＞5x +2（m +x ）的解集，得出关于m
的不等式，求出m 即可．
【解答】解：解不等式
2x+53−1≤2﹣x 得：x ≤45， ∵不等式2x+53−1≤2﹣x 的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式2x +m ＜1成立，
∴x ＜1−m 2，
∴1−m 2＞45，
解得：m ＜−35
，
故选：A ．
【点评】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m 的不等式是解此题的关键．
【变式7-1】（2020春•邗江区期末）已知x ＝4是不等式mx ﹣3m +2≤0的解，且x ＝2不是这个不等式的解，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．m ≤﹣2
B ．m ＜2
C ．﹣2＜m ≤2
D ．﹣2≤m ＜2 【分析】根据x ＝4是不等式mx ﹣3m +2≤0的解，且x ＝2不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
【解答】解：∵x ＝4是不等式mx ﹣3m +2≤0的解，
∴4m ﹣3m +2≤0，
解得：m ≤﹣2，
∵x ＝2不是这个不等式的解，
∴2m ﹣3m +2＞0，
解得：m ＜2，
∴m ≤﹣2，
故选：A ．
【点评】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是根据x ＝4是不等式mx ﹣3m +2≤0的解，且x ＝2不是这个不等式的解，列出不等式，从而求出m 的取值范围．
【变式7-2】（2020春•渝中区校级期末）关于x 的方程3﹣2x ＝3（k ﹣2）的解为非负整数，且关于x 的不
等式组{x −2(x −1)≥32k+x 3
≤x 无解，则符合条件的整数k 的值的和为（ ） A ．5 B ．2 C ．4 D ．6
【分析】表示出方程的解，由方程的解为非负整数
【解答】解：解方程3﹣2x ＝3（k ﹣2）得x =
9−3k 2， ∵方程的解为非负整数，
∴9−3k 2≥0，即k ≤3，即非负整数k ＝1，2，3，
不等式组整理得：{x ≤−1x ≥k
，
由不等式组无解，得到k ＞﹣1，
∴﹣1＜k ≤3，即整数k ＝0，1，2，3，
综上，k ＝1，2，3，
则符合条件的整数k 的值的和为6．
故选：D ．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
【变式7-3】已知不等式组{2x −3a ＜7b +26b −3x −3＜5b
． ①若它的解集是4＜x ＜23，求a ，b 的取值．
②若a ＝b ，且上述不等式无解，求a 的取值范围．
【分析】①先用字母a ，b 表示出不等式组的解集13（b ﹣3）＜x ＜12（3a +7b +2），然后再根据已知解集是4＜x ＜23，对应得到相等关系联立成方程组，求出a ，b 的值；
②把不等式组的解集用a 表示，进一步利用不等式组解集的求法得出答案即可．
【解答】解：①原不等式可化为{x ＜12(3a +7b +2)x ＞13(b −3)， 则13（b ﹣3）＜x ＜12
（3a +7b +2）， ∵4＜x ＜23，
∴{13(b −3)=412
(3a +7b +2)=23， 解得：{a =−613b =15
； ②若a ＝b ，则不等式为{
x ＜5a +1x ＞13(a −3)
∵不等式无解，
∴5a +1≤13（a ﹣3）
解得：a ≤−37． 【点评】主要考查了一元一次不等式组的解定义，解此类题是要先用字母a ，b 表示出不等式组的解集，
然后再根据已知解集，对应得到相等或不等关系，解关于字母a ，b 的方程组或不等式即可求解．
【考点8 利用整数解求字母取值范围】
【例8】（2020春•惠安县期末）已知关于x 的不等式3x ﹣2a ＜4﹣5x 有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a 的个数是（ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
【分析】先求出不等式的解集，根据不等式的整数解得出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集，再求出整数a 即可．
【解答】解：解不等式3x ﹣2a ＜4﹣5x 得：x ＜a+24，
∵关于x 的不等式3x ﹣2a ＜4﹣5x 有且仅有三个正整数解，是1，2，3，
∴3＜a+24≤4，
解得：10＜a ≤14，
∴整数a 可以是11，12，13，14，共4个，
故选：B ．
【点评】本题考查Lee 解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a 的不等式组是解此题的关键．
【变式8-1】（2020春•长沙期末）关于x 的不等式组{52x +1＞32(x −1)12x −1≤a −32x 只有四个整数解，则a 的取值范围为（ ）
A ．1＜a ≤3
B ．1≤a ＜3
C ．3＜a ≤5
D ．3≤a ＜5
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组只有四个整数解，确定出a 的范围即可．
【解答】解：不等式组整理得：{x ＞−52x ≤a+12， 解得：−52＜x ≤a+12
， 由不等式组只有四个整数解，得到整数解为﹣2，﹣1，0，1，
∴1≤a+12＜2，
解得：1≤a ＜3．
故选：B ．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键．
【变式8-2】（2020春•津南区校级期末）已知关于x 的不等式组{x −m ＞02x −n ≤0
的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，若m ，n 为整数，则m +n 的值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5或6
D ．6或7
【分析】先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m 、n 的取值范围，结合m 、n 为整数可以确定m 、n 的值，代入计算可得．
【解答】解：解不等式x ﹣m ＞0，得：x ＞m ，
解不等式2x ﹣n ≤0，得：x ≤n 2，
∵不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴﹣3≤m ＜﹣2，4≤n 2＜5，即8≤n ＜10，
∵m ，n 为整数，
∴m ＝﹣3，n ＝8或n ＝9，
当n ＝8时，m +n ＝﹣3+8＝5；
当n ＝9时，m +n ＝﹣3+9＝6；
综上，m +n 的值为5或6，
故选：C ．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式8-3】（2020春•万州区期末）已知关于x 、y 的方程组{ax +3y =12x −3y =0
的解为整数，且关于x 的不等式组{2(x +1)＜x +53x ＞a −4
有且仅有5个整数解，则所有满足条件的整数a 的和为（ ） A ．﹣1
B ．﹣2
C ．﹣8
D ．﹣6 【分析】根据不等式组求出a 的范围，然后再根据方程组求出a 的取值，从而确定的a 的可能值即可得出答案．
【解答】解：解方程组{ax +3y =12x −3y =0得：{x =12a+1y =4a+1
， ∵方程组{ax +3y =12x −3y =0
的解为整数， ∴a +1＝±1、±2、±4，
解得：a＝﹣2或0或1或﹣3或3或﹣5，
解不等式组{2(x+1)＜x+5
3x＞a−4
，得：
a−4
3
＜x＜3，
∵不等式组{2(x+1)＜x+5
3x＞a−4
有且仅有5个整数解，
∴﹣3≤a−4
3＜−2，
解得：﹣5≤a＜﹣2，
∴满足条件的整数a有﹣5，﹣3、共2个，
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣8．
故选：C．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．
【考点9 不等式（组）中的新定义问题】
【例9】（2020春•高邮市期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
（1）不等式x≥2x≤2的“云不等式”：（填“是”或“不是”）．
（2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+1的“云不等式”，求m的取值范围；
（3）若a≠﹣1，关于x的不等式x+3＞a与不等式ax﹣1≤a﹣x互为“云不等式”，求a的取值范围．【分析】（1）根据云不等式的定义即可求解；
（2）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，解不等式2x﹣3＜x+1得x＜4，再根据云不等式的定义可得﹣2m ＞3，解不等式即可求解；
（3）分两种情况讨论根据云不等式的定义得到含a的不等式，解得即可．
【解答】解：（1）∵不等式x≥2和不等式x≤2有公共整数解2，
∴不等式x≥2是x≤2的“云不等式”，
故答案为：是；
（2）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，
解不等式2x﹣3＜x+1得x＜4，
∵关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+1的“云不等式”，
∴﹣2m≥4，
解得m ≤﹣2．
故m 的取值范围是m ≤﹣2；
（3）①当a +1＞0时，即a ＞﹣1时，依题意有a ﹣3＜1，即a ＜4，故﹣1＜a ＜4；
②当a +1＜0时，即a ＜﹣1时，始终符合题意，故a ＜﹣1；
综上，a 的取值范围为a ＜﹣1或﹣1＜a ＜4．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【变式9-1】（2020春•椒江区期末）规定min （m ，n ）表示m ，n 中较小的数（m ，n 均为实数，且mn ），例如：min {3，﹣1}＝﹣1，、min {√2，√3}=√2据此解决下列问题：
（1）min {−12，−13}= −12 ；
（2）若min {2x−13，2}=2，求x 的取值范围；
（3）若min {2x ﹣5，x +3}＝﹣2，求x 的值．
【分析】（1）利用题中的新定义确定出所求即可；
（2）利用题中的新定义得出2x−13≥2，计算即可求出x 的取值；
（3）利用题中的新定义分类讨论计算即可求出x 的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：min {−12，−13}=−12；
故答案为：−12；
（2）由题意2x−13≥2，
解得：x ≥3.5；
（3）若2x ﹣5＝﹣2，解得：x ＝1.5，此时x +3＝4.5＞﹣2，满足题意；
若x +3＝﹣2，解得：x ＝﹣5，此时2x ﹣5＝﹣15＜﹣2，不符合题意，
综上，x ＝1.5．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式9-2】（2020春•丹阳市校级期末）定义一种新运算“a ※b ”：当a ≥b 时，a ※b ＝2a +b ；当a ＜b 时，a ※b ＝2a ﹣b ．
例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．
（1）填空：（﹣2）※3＝ ；
（2）若（3x ﹣4）※（2x +3）＝2（3x ﹣4）+（2x +3），则x 的取值范围为 ；
（3）已知（2x ﹣6）※（9﹣3x ）＜7，求x 的取值范围；
（4）小明在计算（2x 2﹣2x +4）※（x 2+4x ﹣6）时随意取了一个x 的值进行计算，得出结果是0，小丽判断小明计算错了，小丽是如何判断的？请说明理由．
【分析】（1）根据公式计算可得；
（2）结合公式知3x ﹣4≥2x +3，解之可得；
（3）由题意可得{2x −6≥9−3x 2(2x −6)+(9−3x)＜7或{2x −6＜9−3x 2(2x −6)−(9−3x)＜7
，分别求解可得； （4）先利用作差法判断出2x 2﹣2x +4＞x 2+4x ﹣6，再根据公式计算（2x 2﹣2x +4）※（x 2+4x ﹣6）即可．
【解答】解：（1）（﹣2）※3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，
故答案为：﹣7；
（2）∵（3x ﹣4）※（2x +3）＝2（3x ﹣4）+（2x +3），
∴3x ﹣4≥2x +3，
解得：x ≥7，
故答案为：x ≥7．
（3）由题意知{2x −6≥9−3x 2(2x −6)+(9−3x)＜7或{2x −6＜9−3x 2(2x −6)−(9−3x)＜7
， 解得：x ＜10；
（4）∵2x 2﹣2x +4﹣（x 2+4x ﹣6）
＝x 2﹣6x +10
＝（x ﹣3）2+1＞0
∴2x 2﹣2x +4＞x 2+4x ﹣6，
原式＝2（2x 2﹣2x +4）+（x 2+4x ﹣6）
＝4x 2﹣4x +8+x 2+4x ﹣6
＝5x 2+4；
∴小明计算错误．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关
键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式9-3】（2019秋•九龙坡区校级月考）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x ﹣6＝0的解为x ＝3，不等式组{
x −2＞0x ＜5
的解集为2＜x ＜5．因为2＜3＜5．所以称方程2x ﹣6＝0为不等式组{
x −2＞0
x ＜5
的相伴方程．
（1）若关于x 的方程2x ﹣k ＝2是不等式组{3x −6＞4−x x −1≥4x −10的相伴方程，求k 的取值范围；
（2）若方程2x +4＝0，2x−13
=−1都是关于x 的不等式组{(m −2)x ＜m −2x +5≥m
的相伴方程，求m 的取值范围；
（3）若关于x 的不等式组{−x ＞−2x +12x ≤n +2的所有相伴方程的解中，有且只有2个整数解，求n 的取值范
围．
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，根据相伴方程的定义列出关于k 的不等式组，解之即可；
（2）先求出方程的解和不等式组的解集，分m ＞2和m ＜2讨论，即可得出答案； （3）先求出不等式组的解集，然后根据题意列出不等式即可求出答案．
【解答】解：（1）∵不等式组为{3x −6＞4−x x −1≥4x −10
，解得52＜x ≤3， ∵方程为2x ﹣k ＝2，解得x =2+k
2
， ∴根据题意可得，5
2＜
k+22
≤3，
∴解得：3＜k ≤4， 故k 取值范围为：3＜k ≤4． （2）∵方程为2x +4＝0，2x−13
=−1，
解得：x ＝﹣2，x ＝﹣1；
∵不等式组为{(m −2)x ＜m −2x +5≥m ，
当m ＜2时，不等式组为{x ＞1x ≥m −5，
此时不等式组解集为x ＞1，不符合题意，舍； ∴当m ＞2时不等式组解集为m ﹣5≤x ＜1，
∴根据题意可得，{m ＞2m −5≤−2，解得2＜m ≤3；
故m 取值范围为：2＜m ≤3．
（3）∵不等式组为{−x ＞−2x +12x ≤n +2
，解得1＜x ≤n+2
2，
根据题意可得，3≤
n+2
2
＜4，解得4≤n ＜6， 故n 取值范围为4≤n ＜6．
【点评】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解相伴方程的定义是解题关键，属于中档题．
【考点10 不等式（组）的应用（程序框图）】
【例10】（2020春•渝中区校级期末）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x 的取值范围是（ ）
A ．2＜x ≤4
B ．2≤x ＜4
C ．2＜x ＜4
D ．2≤x ≤4
【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出x 的取值范围．
【解答】解：依题意，得：{3(3x −2)−2≤28
3[3(3x −2)−2]−2＞28，
解得：2＜x ≤4． 故选：A ．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
【变式10-1】（2020春•南岸区期末）如图，规定程序运行到“判断结果是否大于100”为第一次运算，若运算进行了三次才停止，则满足条件的整数x 的个数为 ．
【分析】由该运算进行了三次才停止，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出x 的取值范围，再结合x 为正整数即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：{3(3x −1)−1≤100
3[3(3x −1)−1]−1＞100
，。