河南省实验中学2019_2020学年高二数学上学期中试题文(含解析)

A. 有最小值 3
B. 有最小值 6
C. 有最大值 6
9
D. 有最大值
-3-
精品文档，欢迎下载！
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用等比数列的性质与基本不等式，求得结论．
【详解】解：在各项均为正数的等比数列{an} 中，a4 3 ，则 a2 a6 2 a2 a6 2 a42 6
当且仅当 a2 a6 时，取等号。
2an
故选 C
【点睛】本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合
题型，属于中档题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”.
9.设等差数列 an 的前 n 项和 Sn ，且满足 S2016 0, S2017 0 ,对任意正整数 n ，都有
an ak ，则 k 的值为（ ）
0 ，所以 a1009
0 ，所以
a1008 0, a1009 0, d 0 ，对任意正整数 n ，都有 an ak ，则 k 1009 ，故选 D.
考点：等差数列的求和公式.
10.已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 sin A sin B c b ，则（ ）
又 cosA b2 c2 a2 2bc
b2 c2 a2 2a2 b2
2bc
2bc
cosA
4b2
2c2 3
b2
b2
2c2
2bc
6bc
又 b2 2c2 2 2bc ，当且仅当 b 2c 时取等号
a2 2b2 c2 3
cosA 2 3
cosA
2 3
,1
30cos B C 9cos2A 162 5 0 30cosA 9 2cos2 A 1 16 2 5 0
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，根据等比中项得出 a42 4, a4 2
，然后求得公比
q
2,
首项
a1
1 4
，再利用公式求
得 Sn ，通项 an 代入用基本不等式求最值.
【详解】因为 a2a6 4 ，且等比数列 an 各项均为正数，所以 a42 4, a4 2
A. 1006
B. 1007
C. 1008
D. 1009
【答案】D
【解析】
试题分析：由等差数列的求和公式及性质，可得
S2016
2016(a1 2
a2016 )
1008(a1008
a1009 )
0
，所以
a1008
a1009
0 ，同理可得 S2017
2017(a1 2
a2017 )
2017a1009
精品文档，欢迎下载！
精品文档，欢迎下载！
河南省实验中学 2019-2020 学年高二数学上学期中试题 文（含解析）
（时间： 120 分钟，满分：150 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1.在 ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若 sin B 2b sin A ，则 a ( )
A. 18
B. 36
C. 45
D. 60
【答案】C
【解析】
试题分析：
，
故选 C. 考点：等差数列的通项公式的性质、前 项和公式.
4.不等式 x2 3 x 0 的解集为（ ）
A. x 0 x 3
B. x 3 x 0或0 x 3
C. x 3 x 0
D. x 3 x 3
【答案】B 【解析】 【分析】
18cos2 A 30cosA 16 2 4 0
设 y cosB ，即当 x
2 3
,1
时，18x2
30
x
16
2
4
0
恒成立
设 f x 18x2 30x 162 4
-8-
精品文档，欢迎下载！
(30)2 418 16 2 4 0
则可知
f
2 3
18
2 9
同理
|
z 5
|
2
，即
z
的最小值为：
2
5，
所以 z [2 5, 2 5] ．
故选： C ．
【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问 题的能力．
8.各项均为正数的等比数列an 的前 n 项和
Sn
，若 a2a6
4 ， a3
1 ，则
(Sn
9)2 4
的最小
2an
值为（ ）
c ab
2bc
2
2
故 π A π ，故选 D. 3
【点睛】本小题主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，考查化归与转化的数学思想方
法，考查三角不等式的解法，属于基础题.
11.设正实数 x ，y 满足 x 2 , y 2 ，不等式 9x2 y2 m 恒成立，则 m 的最大值为 (
3
y 2 3x 2
【详解】如图，作直线 x 2 y 0 ，当直线上移与圆 x2 ( y 1)2 1 相切时， z x 2y 取最
大值，
-4-
精品文档，欢迎下载！
此时，圆心 (0,1) 到直线 z x 2y 的距离等于 1，即 | 2 z | 1，
5
解得 z 的最大值为： 2 5 ，
当下移与圆 x2 y2 4 相切时， x 2 y 取最小值，
2bc
3
cosA b2 2c2 6bc
，利用基本不等式可得 cosA
2 3
,1
；将恒成立的不等式转化为与
cosA
有
关的不等式，利用二次函数图像特点，求解出 的范围.
【详解】2asinA csinBcosA bsinB 2 a2 bccosA b2 cosA 2a2 b2 2bc
即（ 3 h）2＝h2+102﹣2h×10×cos120°， ∴h2﹣5h﹣50＝0，解得 h＝10 或 h＝﹣5（舍去）； 故选：B．
【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，也考查了将实际问题转化为解三角形 的应用问题，是中档题．
6.在各项均为正数的等比数列{an} 中， a4 3 ，则 a2 a6 ( )
【解析】
【详解】根据题意，由于 ABC 中， a x,b 2, B 45 ，
根据正弦定理
a
b
,sin A a sin B
故选： B 【点睛】本题考查等比数列的性质与基本不等式的灵活运用，属于基础题．
7.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、
卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗 ，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，
其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，
公比 q
a4 a3
2, 首项 a1
1 4
所以
Sn
a1(1 qn ) 1 q
2n 1 4
，通项 an
a1q n1
2n1 4
-5-
精品文档，欢迎下载！
所以
(Sn
9)2 4
2an
2n 4
16 2n
4
2
2n 4
16 2n
4
8
当且仅当
2n 4
16 2n
,
n
3
所以当 n
3 时，
Sn
9 4
2
的最小值为
8
A. 2
B. 2 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知利用正弦定理化简即可求解．
【详解】解：sin B 2b sin A ，
由正弦定理可得： b 2ab ，
C. 1
D. 2 2
解得 a 2 ． 2
故选： B ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
2.已知 a ， b ， c ， d R ，则下列结论中必然成立的是 ( )
y 2 3x 2 a
b
a
b
ab
当且仅当 a b 2 ，即 x 4 ， y 4 时取等号 3
故选： D ．
【点睛】本题考查了基本不等式的使用，换元是解决本题的关键，本题属于中档题．
12.在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 2(a sin A c sin B cos A) b sin B ，
30
2 16 2 4 0 3
f 1 18 30 16 2 4 0
可得：
7 8
,
5
2 8
2 8 7
0 5 2
8
7 1 8
本题正确选项： D
【点睛】本题考查解三角形中边角关系式化简、基本不等式、二次函数成像问题.利用边角关
系式求得 cosA 的范围是解决问题的关键；难点在于通过二次函数图像来得到关于 的不等
sin C
a b
A. A 的最大值为
6
B. A 的最小值为
6
C. A 的最大值为
3
D. A 的最小值为
3
【答案】D
【解析】
【分析】
-6-
精品文档，欢迎下载！
先利用正弦定理将已知不等式转化为边，再利用余弦定理求得 cos A 的取值范围，由此求得 A
的最小值.
【详解】由正弦定理得 a b c b ，化简得 b2 c2 a2 1 ，由余弦定理得 cos A 1 ，
【点睛】本题考查二次不等式的解法与绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等 题.
5.为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路 C, D 两点进行测量.在 C 点测得塔底 B 在南
偏西 80 ，塔顶仰角为 45 ，此人沿着南偏东 40 方向前进 10 米到 D 点，测得塔顶的仰角
为 30 ，则塔的高度为
式，讨论二次函数图像通常从以下三个方面来讨论：①判别式；②对称轴；③区间端点值符
号.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知 ABC 中, a x,b 2, B 45 ,若该三角形只有一解,则 x 的取值范围是______.
【答案】 0 x 2 或 x 2 2
-2-
精品文档，欢迎下载！
A. 5 米
B. 10 米
C. 15 米
D. 20 米
【答案】B
【解析】
【分析】
设出塔高为 h，画出几何图形，根据直角三角形的边角关系和余弦定理，即可求出 h 的值．
【详解】如图所示：
设塔高为 AB＝h， 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝45°， 则 BC＝AB＝h；
在 Rt△ABD 中，∠ADB＝30°，则 BD 3 h； 在△BCD 中，∠BCD＝120°，CD＝10， 由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD，
)
A. 2 2
B. 4 2
C. 8
D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】
令
y
2
a
，
3x
2
b
，则
y
a
2
，
x
b
3
2
，将原式转化为关于
a
，
b
的不等式，两次
使用基本不等式即可得到结论．
【详解】解：
x2,ຫໍສະໝຸດ y2，3故设 y 2 a ， 3x 2 b ， (a 0, b 0) ，
9x2 y2 (b 2)2 (a 2)2 (2 2b)2 (2 2a)2 8(b a) 16 ，
阴影部分可表示为
A
x,
y
x2
y
12
x2 1或 x 2
y2
y
4
1 2
1
，设点
(x,
y)
A
，则
x 0
z x 2y 的取值范围是 ( )
A. [2 5 ， 2 5] B. [2 5 ， 2 5]
C. [2 5 ， 2 5] D. [4 ，
2 5]
【答案】C 【解析】 【分析】 结合图形，平移直线 z x 2y ，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．
且 30 cos(B C) 9 cos 2 A 16 2 5 0 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A.
1 2
,
1 2
B.
1,
7 8
-7-
精品文档，欢迎下载！
C.
7 8
,1
【答案】D
【解析】
【分析】
D.
7
,
5
2
8 8
由边角关系式可得 cosA 2a2 b2 ，再结合余弦定理得到 a2 2b2 c2 ，代入 cosA 可得
将不等式表示为 x 2 3 x 0 ，得出 0 x 3，再解该不等式可得出解集.
【详解】将原不等式表示为 x 2 3 x 0 ，解得 0 x 3 ，解该不等式可得 3 x 0 或 0 x3.
因此，不等式 x2 3 x 0 的解集为 x 3 x 0或0 x 3 ，故选：B.
A. 若 a b ， c b ，则 a c
B. 若 a b ， c d ，则 a b cd
C. 若 a2 b2 ，则 a b
D. 若 a b ，则 c a c b
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质及特殊值对选项一一分析即可。
【详解】解： A ． a 与 c 的大小关系不确定； B ．取 a 2 ， b 1， c 1， d 3 ，满足 a b ， c d ，则 a b 不成立．
cd C ．取 a 2 ， b 1，不成立；
-1-
精品文档，欢迎下载！
D ． a b ，a b ，则 c a c b ，正确． 故选： D ．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若则 a2 a8 15 a5 , S9 =（ ）