(整理)第六节 洛必达法则

第一节洛必达法则
在上一章中我们研究了导数的概念以及它们的计算方法,本章将利用导数来研究函数在区间上的某些特性,并利用这些特性解决一些实际问题
一. 微分学中值定理
[拉格朗日中值定理]
如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，
使即成立。

这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔
定理。

[ 罗尔定理]
若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。

下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的
定理——柯西中值定理
[柯西中值定理]
如果函数，在闭区间[a ，b]上连续，在开区间(a ，b)内可导，且≠0，那末在(a ，b)内至少有一点c ，使
成立。

在求函数的极限时，常会遇到两个函数)(x f 、)(x F 都是无穷小或都是无穷大时，求它们
比值的极限，此时极限)
()
(lim
x F x f 可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，并分别简称为00型或∞∞型。

例如，x
x x sin lim 0→就是00型的未定式；而极限x x x ln lim +∞→就是∞∞
型
的未定式．我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用"商的极限等于极限的商"
这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？ 计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.
一、0
0型未定式
定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：
（1）0)(lim 0
=→x f x x ，0)(lim 0
=→x F x x ；
（2）)(x f 与)(x F 在0x
（3）)()(lim
0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)
(lim 0x F x x →也存在且等于)()
(lim 0x F x f x x ''→；当
)()(lim
0x F x f x x ''→为无穷大时，)
()
(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.
例1计算极限0e 1
lim x x x →-.
解 该极限属于“0
0”型不定式，于是由洛必达法则，得
0e 1lim
x x x
→-0e lim 11x
x →==. 例2计算极限0sin lim sin x ax
bx →．
解 该极限属于“0
”型不定式，于是由洛必达法则，得
00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b
→→==．
注 若(),()f x g x ''仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即
()()()lim lim lim ()()()
x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''． 例3 计算极限33221216
lim 248
x x x x x x →-+--+．
解 由洛必达法则，得
33221216lim 248x x x x x x →-+--+222312lim 344x x x x →-=--263lim 642
x x x →==-． 例4 计算极限arctan 2lim 1
x x
x
π
→+∞-．
解 arctan 2lim 1
x x x
π
→+∞-2211lim 1x x x →+∞-+=-22lim 11x x x →+∞==+． 二、∞
∞
型未定式
定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0
x f x x ，∞=→)(lim 0
x F x x ；
（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；
（3）)()(lim
0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则
注：上述关于0x x →时未定式∞∞
∞
∞
型同样适用．
例5 计算极限ln lim
(0)x x
x α
α→+∞>．
解 此极限满足洛必达法则，于是得
11
ln 1lim lim lim 0x x x x x x x x ααα
αα-→+∞→+∞→+∞===． 例6 计算极限lim (0)n
x x x n e →+∞>．
解 所求问题是∞
∞型未定式，连续n 次施行洛必达法则，有
lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n x
x n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===．
例7 计算极限20tan lim sin x x x
x x →-．
解 20tan lim sin x x x x x →-3
0tan lim
x x x
x →-=（利用等价无穷小量代换sin x x ） 22222000sec 1tan 1tan 1lim lim lim(3333
x x x x x x x x x →→→-====． 使用洛必达法则时必须注意以下几点：
（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞
∞
”型的未定式，其它的未定式须先化简变形
成“00”或“∞
∞
”型才能运用该法则；
（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；
（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．
习题4-6
1.用洛必达法则求下列极限：
（1）π
ππ--→x x x )sin(lim
； （2）x x
x 2tan 3tan lim 0→；
（3）)0(ln lim >+∞→n x
x
n x ； （4）为常数）
、n m x x n n m m x ,0(lim ≠--→αααα； （5）20)1ln(lim x
x x +→； （6）x arc x x cot )
11ln(lim ++∞→； （7）x
x x
e e x x x sin 2lim 0----→； （8）x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→．
4. 洛必达法则
在使用洛必塔法则时应注意以下几点：
①洛必塔法则只适用于00型或∞
∞型的极限. ②如果(x )g )
( lim ''x f 仍是00型或∞∞型,则可继续使用洛必塔法则.
③如果(x )
g )( lim ''x f 不存在且不是∞,并不表明g(x ))
( lim x f 不存在,只表明洛必塔法则失效,
这时应用其他方法求解.
第二节函数的极值 一、函数单调性的判定法
函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？
我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性. 判定方法
[定理] 设函数()y f x =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.
（１）如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数()y f x =在],[b a 上单调增加； （２）如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么函数()y f x =在],[b a 上单调减少. 证明 （1）由于函数)(x f 满足拉格朗日中值定理条件，故在],[b a 上任取两点21,x x （不妨设21x x <），必有),,(21x x ∈ξ使
))(()()(12a b f x f x f -'=-ξ
如果0)(>'x f ，必有0)(>'ξf ，于是
0)()(12>-x f x f ，
即 ).()(21x f x f < 这表明函数()y f x =在],[b a 上单调增加.
同理可证，如果0)(<'x f ，函数()y f x =在],[b a 上单调减少.
注：（1）在上面定理的证明过程中易于看到，闭区间],[b a 若改为开区间),(b a 或无限区间，该定理结论同样成立． （2）有的可导函数在某区间内的个别点处，导数
等于零，但函数在该区间内仍旧是单调增加（或单调减少.
例如，幂函数3x y =的导数2
3x y ='，当0=x 时，
.0='y 但它在),(+∞-∞内是单调增加的，如图所示．(图4-2)
图4-2
[例1]讨论函数ln y x =的单调性. 解 ln y x =的定义域为(0,)+∞. 因为
10[(0,)]
y x x
'=
>∈+∞，
所以ln y x =在其定义域(0,)+∞内单调增加. [ 例2]：确定函数
的增减区间.
解：此函数的定义域为(－∞,＋∞) 因为：，所以可以判出：
当x ＞0时，＞0，故它的单调增区间为(0,＋∞)； 当x ＜0时，
＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；
注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。

例3 讨论函数arctan y x x =-的单调性.
解 arctan y x x =-的定义域为(,)-∞+∞.
2
221111x y x x '=-=-
++.
除0x =时0y '=外，恒有2
201x x -<+，所以在(,0)-∞及(0,)+∞内恒有0y '<，
因此，arctan y x x =-在(,)-∞+∞内是单调减少的.
例4 确定函数42
()2f x x x =-的单调区间.
解 ()f x 的定义域为(,)-∞+∞.
()f x '33
444()x x x x =-=-
=4(1)(1)x x x ⋅-+.
()f x 的定义域(,)-∞+∞被1,1,0-=x 分成(,1)-∞-，(1,0)-，(0,1)，),1(+∞四
个区间．当∈x (,1)-∞-，∈x (0,1)时，0)(<'x f ，)(x f 单调减少； 当∈x (1,0)-，∈x ),1(+∞时，0)(>'x f ，)(x f 单调增加．
从例4可以看出，有些函数在它的定义域上不是单调的，这时我们要把整个定义域划分为若干个子区间，分别讨论函数在各子区间内的单调性．一般可以用使0)(='x f 的点作为分界点，使得函数的导数在各子区间内符号不变，从而函数)(x f 在每个子区间内单调．具体作法通常用列表法．
令0)(='x f ，得1231,0,1,x x x =-== 列表如下：
所以，函数在(,1)-∞-，(0,1)内单调减少；函数在(1,0)-，),1(+∞内单调增加.
例5 求
(y x =-的单调区间.
解 函数的定义域为(,)-∞+∞.
21
3
3
2(1)
3y x x x -'=+-.
当0x =时，y '不存在；当2
5x =
时，0y '=.
列表如下：
所以函数()f x 在(,0)-∞，2(,)5+∞内单调增加；在区间2
(0,)
5内单调减少.
综上所述，求()f x 单调区间的步骤如下： （1）确定函数的定义域；
（2）求出()f x 单调区间所有可能的分界点（包括0y '=点，y '不存在的点），并根据分界点把定义域分成若干子区间；
（3）讨论一阶导数y '在各区间的符号，从而判别在各区间的单调性.。