收藏：圆锥曲线综合五个类型

（一）求圆锥曲线方程
求圆锥曲线方程分为五个类型，求解策略一般有以下几种： ①几何分析+方程思想； ②设而不求+韦达定理 ③定义+数形结合； ④参数法+方程思想 类型1——待定系数法
待定系数法本质就是通过对几何特征进行分析，利用图形，结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出含有待定系数的方程，解出待定的系数即可。

例1.2014年全国Ⅱ卷（理科20）设 F 1 、 F 2 分别是椭圆 C :x 2
a 2+y 2
b 2=1 a >b >0 的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF 2 与 x 轴垂直，直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N ．
Ⅰ 若直线 MN 的斜率为 3
4，求 C 的离心率；
Ⅱ 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ∣MN ∣=5∣F 1N ∣，求 a ，b ．
【解法分析】第Ⅱ小题利用试题提供的几何位置关系和数量关系，结合椭圆的几何性质和方程思想，通过待定系数法进行求解。

着重考查椭圆的几何性质，将几何特征转化为坐标表示，突显数形结合的思想。

.
2
1
∴.2102-32.,43
21∴4322222211的离心率为解得，
联立整理得：且由题知，C e e e c b a c a b F F MF ==++==•=
7
2,7.72,7.,
,1:4:)23-(,:
.23-,,.4,.
4222221111112
2====+===+=+====•=b a b a c b a a
c
e NF MF c e a NF ec a MF c c N M m MF m N F a
b MF 所以，联立解得，且由焦半径公式可得两点横坐标分别为可得由两直角三角形相似，由题可知设，即知，由三角形中位线知识可
类型2——相关点法求轨迹方程
动点P(x ，y)依赖与另一个动点Q(x 0，y 0)变化而变化，并且动点Q(x 0，y 0)又在另一个已知曲线上，则可先用x ，y 表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线，可得到所求动点的轨迹方程。

例2、2017年全国Ⅱ卷（理科20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2
2+y 2=1 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足 NP = 2NM
． （Ⅰ） 求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ） 设点Q 在直线 x =−3 上，且 OP ⋅PQ =1，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．
【解法分析】本例第Ⅰ小题充分利用主动点M 在椭圆上，而从动点N 与主动点M 之间存在
横坐标相同，纵坐标有 倍的关系，可利用相关点法进行求解。

⑴设()P x y ，，易知(0)N x ， (0)NP y =，又0
NM ⎛== ⎝
∴
M x y ⎛
⎫
⎪⎝⎭
，又M 在椭圆上． ∴2
2
1
2x +=，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠， 由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，
∴2
13OP OQ OP ⋅=+=，
∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=． 设直线OQ ：3Q y y x =
⋅-，
因为直线与OQ l 垂直． ∴3l Q
k y =
故直线方程为3
()P P Q
y x x y y =
-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 1
3
P Q P y y x x -⋅=-， ∴1
3
P Q P x y y x =-⋅+，
∵33P Q P y y x =+，
∴1
(33)13
P P x x x =-++=-，
若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线方程为1x =-，
直线过点(10)-，
，为椭圆C 的左焦点． 类型3——定义法求轨迹方程
先根据条件确定动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线定义直接写出动点的轨迹方程。

例3、2016年全国Ⅰ卷（理科20）设圆 x 2+y 2+2x −15=0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B 1,0 且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C ，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E ．
Ⅰ 证明 ∣EA∣+∣EB∣ 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；
Ⅱ 设点 E 的轨迹为曲线 C 1，直线 l 交 C 1 于 M ，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P ，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围．
类型4——参数法求曲线方程
当动点P(x ，y)坐标之间的关系较探寻时，可考虑x ，y 之间用同一个变量表示，得
到参数方程， 再消去参数即可，但要注意参数的取值范围。

例4、2016全国Ⅲ卷（文科20） 已知抛物线 C :y 2=2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l 1，l 2 分别交 C 于 A ，B 两点，交 C 的准线于 P ，Q 两点．
Ⅰ 若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 AR ∥FQ ；
Ⅱ 若 △PQF 的面积是 △ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程．
【解法分析】本例的第Ⅱ小题以两条直线与抛物线的交点的坐标为参数，利用 面积是 面积的两倍，得到直线AB 与x 轴交点N 的坐标，再进一步利用点差法求得AB 中点的轨迹方程。

着重考查了设而不求的思想方法。

由AP=AF ，BQ=BF 及AP//BQ ，
∴AR//FQ ．
(Ⅱ)设1122(,),(,)A x y B x y ，
1(,0)2
F ，准线为12x =-，
1211
22
PQF S PQ y y ∆==-，
设直线AB 与x 轴交点为N ，
121
2
ABF S FN y y ∆=
-， ∵2PQF ABF S S ∆∆=，∴21FN =，∴1N x =，即(1,0)N ．
设AB 中点为(,)M x y ，由211222
22y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得22
12122()y y x x -=-，
又
12121
y y y
x x x -=--，
∴
1
1y x y
=-，即21y x =-． ∴AB 中点轨迹方程为2
1y x =-．
类型5——直译法求轨迹方程
例5、2014年湖北（理科21）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F 1,0 的距离比它到 y 轴的距离多 1，记点 M 的轨迹为 C ．
Ⅰ 求轨迹为 C 的方程；
Ⅱ 设斜率为 k 的直线 l 过定点 P −2,1 ，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 k 的相应取值范围．
（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+
||1x +，
化简整理得22(||)y x x =+.
故点M 的轨迹C 的方程为24,0,
0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩
（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<.
依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+
由方程组21(2),
4,
y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①
（1）当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14
x =
. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1
(,1)4.
（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ②
设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则 由1(2)y k x -=+，令0y =，得021
k x k
+=-
. ③ （ⅰ）若00,0,
x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-，或1
2k >.
即当1
(,1)
(,)2
k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.
（ⅱ）若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,
x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1
{1,}2k ∈-，或102k -≤<.
即当1
{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.
当1
[,0)2
k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.
故当11
[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.
（ⅲ）若00,0,
x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得1
12k -<<-，或102k <<.
即当1
1
(1,)
(0,
)2
2
k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点. 综合（1）（2）可知，当1
(,1)
(,){0}2
k ∈-∞-+∞时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11
[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当
11
(1,)(0,)22
k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.
【解法分析】本题第Ⅰ小题根据题目条件，设出动点的坐标，建立动点M 到定点F 的距离等于动点到y 轴的距离加1的等式，化简求得。

当然，本题出可以用定义法进行求解。

（二）求“目标”范围或最值
圆锥曲线中的“目标”取值范围或最值问题，关键是选取合适的变量，建立目标函数，转化为函数的取值范围或最值进行求解。

基本策略有：1、几何法。

若题目条件和结论明显体现几何特征和意义，则借助图形性质，构造含参数的不等式，通过解不等式得到参数的范围和最值；2、代数法。

可从以下五个方面着手：①利用判别式构造不等式，从而确定
参数的取值范围或最值；②利用已知参数的范围确定所求参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；③利用隐含或已知不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求参数的取值范围；⑤利用函数值域的方法求参数的取值范围。

类型1—角的最值问题
根据三角函数的有关知识可知，求角的取值范围或最值的方法通常是根据条件，将问题转化为求该角的某一个三角函数值，通过求该三角函数值的取值范围，来确定所求角的范围或最值。

选择恰当的三角函数是解题的关键。

例6、2017山东（理科21）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E :x 2
a 2+y 2
b 2=1 a >b >0 的离心率为 2
2
，焦距为 2．
Ⅰ 求椭圆 E 的方程． Ⅱ 如图，该直线 l :y =k 1x −
32
交椭圆 E 于 A ，B 两点，C 是椭圆
E 上的一点，直线 OC 的斜率为 k 2，且 k 1k 2=
2
4
，M 是线段 OC 延
长线上一点，且 ∣MC ∣:∣AB ∣=2:3，⊙M 的半径为 ∣MC ∣，OS ，OT 是 ⊙M 的两条切线，切点分别为 S ，T ，求 ∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率．
【解法分析】为了求SOT ∠的最大值，只需求∠SOM 的最大值。

切入点是根据题目条件，将其转化为求直角三角形SMO 中的OM
CM OM r
SOM =
=
∠sin 的最大值。

于是，根据弦长公式求得AB 的长，进而得到CM 的长，再求出OC 的长，即可建立SOM ∠sin 关于斜率的函数关系，最后利用求函数最值的方法进行求解。

类型2——距离的最值问题 解：（I ）由题意知
c e a =，22c =， 所以
1a b ==，
因此 椭圆E 的方程为2
212
x y +=.
（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，
联立方程2
211,2
x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得(
)
22114210k x x +--=， 由题意知0∆>，
且()
12122
111
221x x x x k +=-+， 所以
121
AB x -.
由题意可知圆M 的半径r 为
1
2==
33
r AB
由题设知12k k =
所以21
k =
由此直线OC
的方程为1
y =.
联立方程22
11,2
,x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
得22
212
2
1181
,1414k x y k k ==++， 因此
OC =由题意可知 1
sin
21SOT r
OC r OC
r
∠==++
，
而
1OC r
=
=
令2112t k =+， 则()1
1,0,1t t
>∈，
因此
1OC r
=
==≥，
当且仅当11
2t =，即2t =
时等号成立，此时1k =，
所以 1
sin 22
SOT ∠≤，
因此
26
SOT π∠≤， 所以 SOT ∠最大值为
3
π
.
综上所述：SOT ∠的最大值为3
π
，取得最大值时直线l
的斜率为1k =.
例7、2017浙江高考（理科21）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24
B ，，抛物线上的点13
(,)()22P x y x -<<．过点B
作直线AP 的垂线，垂足为Q ．
（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；
（Ⅱ）求||||PA PQ ⋅的最大值． （第21题图）
【解法分析】求同一直线上两点),(),,(2211y x B y x A 间距离，可以利用类似于弦长公式，将其转化为用斜率和横坐标表示，如212
1x x k AB -+=，以简化运算过程。

本题第Ⅱ小题利用同一直线两点间距离公式，将PQ PA ⋅表示为以斜率为自变量的函数，再利用求函数最值的方法进行求解。

（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ， 21
14122
x k x x -
=
=-+， 因为13
22
x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．
（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程
110,24930,
42
kx y k x ky k ⎧
-++=⎪⎪⎨
⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是 22
43
2(1)
Q k k x k -++=+． 因为
|PA
1
)2
x +
=1)k +，
|PQ
|=
2
)Q x x -=
所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=． 令3()(1)(1)f k k k =--+， 因为2'()(42)(1)f k k k =--+，
所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1
(,1)2
上单调递减，
因此当k =
12时，||||PA PQ ⋅取得最大值27
16
． 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．
类型3—几何图形面积的范围、最值
面积问题的求解策略：①求三角形面积的关键是找底和高，为了计算方便，通常是优先选择能用坐标表示的底（或高）；②不规则的多边形面积可考虑拆分成多个三角形进行求解；③多个图形面积主要解决方法是“求同存异”，即寻找这些图形是否有有“同底”或“等高”；④面积最值问题通常可转化为某个变量的函数关系，再利用求函数值域的方法进行求解。

例8、2016全国Ⅰ卷（理科20）设圆 x 2+y 2+2x −15=0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B 1,0 且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C ，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E ．
Ⅰ 证明 ∣EA∣+∣EB∣ 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；
Ⅱ 设点 E 的轨迹为曲线 C 1，直线 l 交 C 1 于 M ，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P ，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围．
【解法分析】第Ⅱ小题利用四边形MPNQ 的特点，即对角线互相垂直。

引入斜率或斜率的倒数为参数，分别利用弦长公式和垂径定理求得两条对角线的长，从而将四边形面积用
PQ MN S ⋅=
2
1
表示成关于斜率的函数关系。

最后利用求函数值域的方法进行取值范围的求解。

（Ⅰ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.
又圆A 的标准方程为16)1(2
2
=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：
13
42
2=+y x （y ≠0）.
（Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y =k (x －1)(k ≠0)，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2).
由⎪
⎩⎪
⎨⎧=+-=,134
),1(22y x x k y 得(4k 2+3)x 2－8k 2x +4k 2－12=0.
则x 1+x 2=
3
482
2+k k ，x 1x 2=
3
41242
2+-k k .
所以3
4)1(12122212
++=
-+=k k x x k
MN .
过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：)1(1
--
=x k y ，A 到m 的距离为1
22+k ，所以 1
344
)1
2(
422
22
2
2
++=+-=k k k PQ .
故四边形MPNQ 的面积
3
41
112212++==
k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,38).
当l 与x 轴垂直时，其方程为x =1，|MN|=3，|PQ|=8，四边形MPNQ 的面积为12.
综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,38). 类型4——斜率的取值范围
例9、2016年天津高考（理科19）设椭圆 x 2
a 2+
y 23
=1 a > 3 的右焦点为 F ，右顶点为 A ．已
知 1
∣OF∣+1
∣OA∣=3e
∣FA∣，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率．
Ⅰ 求椭圆的方程；
Ⅱ 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B （B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，
与 y 轴交于点 H ．若 BF ⊥HF ，且 ∠MOA ≤∠MAO ，求直线 l 的斜率的取值范围．
【解法分析】第Ⅱ小题利用椭圆的几何性质以及平面几何的知识，将∠MOA ≤∠MAO 的条件转化为交点M 横坐标的取值范围，再利用BF ⊥HF 建立点M 的横坐标与直线l 的斜率之间的关系式。

然后，用点M 横坐标的取值范围来确定直线l 的斜率的取值范围。

着重考查化归与转化、数形结合、函数与方程的思想。

试题解析：（Ⅰ）解：设F (c ，0)，由
|
FA |e
|OA ||OF |311=
+，即)(311c a a c a c -=+，可得a 2－c 2=3c 2，又a 2－c 2=b 2=3，所以c 2=1，因此a 2=4.
所以，椭圆的方程为13
42
2=+y x . （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，
由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)2(13
42
2x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2
222=-+-+k x k x k 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而3
4122+-=k k
y B
. 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(22
2++-=k k
k k BF .由HF BF ⊥，得0=⋅，所以03412344922
2=+++-k ky k k H
，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为k
k x k y 124912
-+
-=.
设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-=-+
-=)
2(124912
x k y k k x k y 消去y ，解得)1(129202
2++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2
2
2
2
)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，
即1
)
1(129
2022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),4
6
[]46,(+∞-
-∞ . 类型5——离心率（范围）
求离心率的主要方法有：①直接法。

即直接根据条件求出a 和c ，代入离心率公式进行求解；②几何法。

利用圆锥曲线的几何性质和平面几何的知识，结合定义，建立关于a 、b 、c 的齐次式，然后转化为关于离心率e 的等式进行求解；③代数法。

利用代数方法，建立关于a 、b 、c 的齐次式，然后转化为关于离心率e 的等式进行求解。

而求离心率的范围，除了用上述同样的方法建立关于a 、b 、c 的不等式，再转化为关于离心率e 的不等式，通过解不等式得到离心率的取值范围外。

还可以建立离心率与a 、b 或c 之间的函数关系，利用求函数值域的方法进行求解。

也可以利用特殊位置或特殊值求解。

例10、2016浙江高考（理科19）如图，设椭圆 x 2
a 2+y 2=1 a >1 ．
Ⅰ 求直线 y =kx +1 被椭圆截得的线段长（用 a ，k 表示）； Ⅱ 若任意以点 A 0,1 为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
【解法分析】第Ⅱ小题根据椭圆和圆的几何性质，建立含有a 的等式，将圆与椭圆公共点的问题转化为椭圆有至多有三个点到点A 的距离相等，再将距离相等转化为方程，结合方程解的判断方法，得到满足题意的a 的取值范围。

进而建立离心率e 关于a 为自变量的函数关系)(a f e =，接着，利用求函数值域的方法进行求解。

着重考查了数形结合、函数与方程的思想、化归与转化的思想等。

【试题解析】（I ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22
21
1y kx x y a
=+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得 ()2
2
2
2120a k x
a kx ++=，
故10x =，2222
21a k
x a k =-+．
因此21222
21a k x a k
AP =-=
+． （II ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，
Q ，满足Q AP =A ．
记直线AP ，Q A 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．
（三）定点、定值问题
探索圆锥曲线定点、定值问题主要有两种方法：①从特殊入手，先根据特殊位置或特殊数值求出定点、定值，再证明这个定点、定值与变量无关；②直接推理、计算，并在推理计算的过程中逐渐消去变量，从而得到定点、定值。

解答的关键是理清问题的结论与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得到定点、定值。

类型1——定值问题
例11、2015年全国Ⅰ卷（理科20）在直角坐标系xOy中，曲线C:y=x 2
4
与直线l:y=kx+ a a>0交于M,N两点．
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN?说明理由．
【解法分析】第Ⅱ小题根据题意，将∠OPM=∠OPN转化为两条直线PM与PN的斜率互为相反数，即两斜率和为定值0。

方法一从特殊情形入手，先找到满足条件的定点。

然后再证明定值与斜率无关。

方法二可以直接推理、计算，化简整理到得定值。

类型2——定点问题试题解析：
（Ⅰ）由题设可得)
M a
，() N a
-
，或()
M a
-
，)
N a.
∵
1
2
y x
'=，故
2
4
x
y=在x
=
，C
在,)a处的切线方程为
y a x
-=-
y a
--=.
故
2
4
x
y=在x
=-处的到数值为
C
在(,)a
-处的切线方程为
y a x
-=+
y a
++=.
y a
--=
y a
++=. ……5分
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点，
11
(,)
M x y，
22
(,)
N x y，直线PM，PN的斜率分
别为
12
,k k.
将y kx a
=+代入C得方程整理得2440
x kx a
--=.
∴
1212
4,4
x x k x x a
+==-.
∴12
12
12
y b y b
k k
x x
--
+=+=1212
12
2()()
kx x a b x x
x x
+-+
=
()
k a b
a
+
.
当b a
=-时，有
12
k k
+=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM=∠OPN，所以(0,)
P a
-符合题意. ……12分
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力
例12、2017年全国Ⅰ卷（理科） 已知椭圆 C ：x 2
a 2
+y 2
b 2=1 a >b >0 ，四点 P 1 1,1 ，P 2 0,1 ，P 3 −1,
3
2
，P 4 1,
32
中恰有三点在椭圆 C 上．
Ⅰ 求 C 的方程；
Ⅱ 设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A 、 B 两点，若直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的
和为 −1，证明：l 过定点．
【解法分析】第Ⅱ小题如果从特殊情形入手，会发现不符合题意。

所以，只能通过题目所给的条件，建立两直线的斜率和与两坐标的关系，直接推理、计算，化简整理到得定值。

另一方法，可以分别设过P 2点的两条直线的斜率为k 和-1-k ，再求出点A 、B 的坐标，写出过点A 、B 两点的直线方程，即可确定过定点。

（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点 将(
)23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得 2221
13
1
41b a
b ⎧=⎪⎪
⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2
214
x y +=．
（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，， 22112
1A A P A P B y y k k m m m
----+=
+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶ ()()1122A x y B x y ，，，
联立22
440
y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222
148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+，2122
44
14b x x k -⋅=
+ 则22121211P A P B y y k k x x --+=
+()()212121
12
x kx b x x kx b x x x +-++-=
222
22
8888144414kb k kb kb
k b k --++=-+
()()()
811411k b b b -=
=-+-，又1b ≠
21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．
∴直线l 的方程为21y kx k =-- 当2x =时，1y =- 所以l 过定点()21-，
． （四）探究性问题
探究性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类问题目的条件或结论不完备，要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。

它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求，它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使考生经历一个发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程，高考中主要考查考生对条件和结论的探索、猜想、归纳，以及对存在性问题的探索、判断。

例13、2015年四川高考（理科20）如图，椭圆 E :x 2
a 2+y 2
b 2=1（a >b >0）的离心率是
2
2
，过点 P 0,1 的动直线 l 与椭圆相交于 A ，B 两点．当直
线 l 平行于 x 轴时，直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2．
Ⅰ 求椭圆 E 的方程；
Ⅱ 在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q ，使得 ∣QA∣
∣QB∣=∣PA∣
∣PB∣ 恒成立? 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解法分析】第Ⅱ小题其实是一个定点问题，是属于对条件的探索。

可以先利用两个特殊位置，即直线与x轴平行和垂直的两个位置，利用所需要满足的恒等式为条件，来确定该定点的坐标。

然后，再将恒等式中的距离比转化为相应点的坐标的绝对值的比，从而达到证明该定点能使所满足的等式恒成立。

类型2——图形形状探究
例14、2015全国Ⅱ卷（理科20）已知椭圆C:9x2+y2=m2m>0，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
Ⅰ证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
,m ，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形?若Ⅱ若l过点m
3
能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
【解法分析】第Ⅱ小题是判断是否存在满足条件的平行四边形，可用平行四边形判定定理即对角线互相平分的四边形为平行四边形为条件，转化为对角线的中点重合，即坐标相等。

然后，通过方程思想进行求解。

类型3——两直线位置关系探究
例15、2017全国Ⅲ卷（文科20）在直角坐标系 xOy 中，曲线 y =x 2+mx −2 与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为（0，1）．当m 变化时，解答下列问题：
Ⅰ 能否出现AC ⊥BC 的情况?说明理由；
Ⅱ 证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．
【解法分析】第Ⅰ小题判断两直线是否垂直，可将问题转化为两直线的斜率乘积为-1，或转化为向量0=⋅进行判断。

然后，再进一步转化到方程思想和韦达定理进行求解。

解：(1)设()()12,0,,0A x B x ，则12,x x 是方程220x mx +-=的根， 所以1212,2x x m x x +=-=-，
则()()1212,1,112110AC BC x x x x ⋅=-⋅-=+=-+=-≠， 所以不会能否出现AC ⊥BC 的情况。

（2）解法1：过A ，B ，C 三点的圆的圆心必在线段AB 垂直平分线上，设圆心
()
00,E x y ，
则12022x x m x +==-，由EA EC =得()2
2
221212100+122x x x x x y y +⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化
简得1201122x x y +==-，所以圆E 的方程为2222
1112222m m x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
令0x =得121,2y y ==-，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为()123--=，
所以
所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值 解法2：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，
由122x x =-可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OC OA OB x x ===， 又1OC =，所以2OD =，
所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为3OC OD +=，为定值.
（五）与向量等知识的交汇
由于向量具有代数形式与几何形式的双重身份，因此，平面向量与平面解析几何交汇的问题就自然联系在一起了。

平面向量与解析几何备受新高考命题的青睐，其涉及的的问题是以解析几何中的坐标为背景，包括以向量为载体，描述点、线等的位置关系，求曲线的轨迹方程、求参数的取值范围（最值）、探究圆锥曲线的性质等上述六个方面的问题。

而解决的关键是以坐标法为主，利用向量数量积的运算及消元法等知识、方法进行转化处理。

例16、2015年四川高考（文科20）如图，椭圆 E :x 2a
2+
y 2b 2
=1（a >b >0）的
离心率是
2
2
，点 P 0,1 在短轴 CD 上，且 PC
⋅PD =−1． Ⅰ 求椭圆 E 的方程；
Ⅱ 设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A ，B 两点．是否存
在常数 λ，使得 OA
⋅OB +λPA ⋅PB 为定值?若存在，求 λ 的值；若不存在，请说明理由．
【解法分析】第Ⅱ小题将向量的数量积运算用坐标表示出来，然后用解决定值的方法进行求解。

(I )由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b ) 又点P 的坐标为(0，1)，且PC PD ⋅＝－1
于是222211
b c
a
a b c ⎧-=-⎪
⎪=⎨⎪⎪-=⎩
，解得a ＝2，b
所以椭圆E 方程为22
142
x y +=. (II )当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1
A ，
B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)
联立22
142
1x y y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0 其判别式△＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0 所以121222
42
,2121
k x x x x k k +=-
=-++ 从而OA OB PA PB λ⋅+⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1
＝22(24)(21)
21
k k λλ--+--+
＝－
2
1
221
k λλ---+
所以，当λ＝1时，－
21
221
k λλ---+＝－3
此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅＝－3为定值
当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD
此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅＝－2－1＝－3
故存在常数λ＝－1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值－3.
例17、2014年湖南高考（文科） 如图，O 为坐标原点，双曲线
C 1:
x 2a 12−y 2b 12=1 a 1>0,b 1>0 和椭圆 C 2:y 2a 22+x 2b 22=1 a 2>b 2>0 均过点 P 2 33,1 ，且以 C 1 的两个顶点和 C 2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为
2 的正方形．
Ⅰ 求 C 1，C 2 的方程；
Ⅱ 是否存在直线 l ，使得 l 与 C 1 交于 A ，B 两点，与 C 2 只有一个公共点，且 ∣∣OA +OB ∣∣=
∣∣AB ∣∣ ?证明你的结论．
【解法分析】第Ⅱ小题先利用向量的数量积运算公式，将问题转化为判断 是否成立，再用坐标表示出来。

然后，将直线方程与双曲线方程联立，结合方程的思想和韦达定理进行求解。