拉格朗日定理和函数的单调性汇总

所以f ( x0 ) 0
2 罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b] 上连续, 在开区间(a , b ) 内可导, 且在区间端点的函数 值相等，即 f (a ) f (b ) , 那末在(a , b ) 内至少有一点 (a b ) ,使得函数 f ( x ) 在该点的导数等于零， y
由此得 f ( x ) 0. (a , b), ( 2) 若 M m .
f (a ) f (b ),
最值不可能同时在端点 取得.
设 M f (a ), 则在 (a , b) 内至少存在一点 使 f ( ) M .
f ( x ) f ( ), f ( x ) f ( ) 0,
将罗尔定理条件中去掉 f (a ) f (b),得到
3 拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b ) 内可导, 那末在
(a , b ) 内至少有一点(a b ) ，使等式
f (b ) f (a ) f ' ( )( b a ) 成立.
f ( x ) f ( ) 若 x 0, 则有 0; x f ( x ) f ( ) 0; 若 x 0, 则有 x f ( x ) f ( ) f ( ) lim 0; x 0 x f ( x ) f ( ) f ( ) lim 0; x 0 x
§1 拉格朗日定理和函数的单调性 §2 柯西中值定理及不定式极限 §3 泰勒公式
§4 函数的极值与最值 §5 函数的凹凸性与拐点
§6 函数图象的讨论
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
一 问题的提出
我们知道，导数是刻划函数在一点处变化 率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局 部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常 常需要把握函数在某区间上的整体变化性态， 那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何 关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。
f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
C
M N
y f ( x)
B
A
D
o a
1
x
2 b
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) f (b).
-1 x 1 x 1
f (0) 0
例1 证明方程x 5 x 1 0 有且仅有一个正实根 .
证：1）存在性
设 f ( x ) x 5 x 1,
且 f (0) 1, f (1) 1.
则 f ( x )在[0,1]连续,
由零点定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的正实根.
2）唯一性
设另有 x
f ( x) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的 条件, 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间), 使得 f ( ) 0.
但 f ( x) 5 x 4 1 0 ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该 区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既 是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又 是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。
二 微分中值定理
微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。
f ()存在,
f () f ().
只有 f () 0.
注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 Y 结论可能不成立. 例如,
y x , x [1,1];
-1 0 1 X
注2:若罗尔定理的条件仅 是充分条件，不是必要的. 例如,
x2 f ( x) 0
1 预备定理——费马（Fermat）定理
若函数 f ( x )在 (a, b)内一点x0取得最值， 且f ( x )在点x0可微，则 f ( x0 ) 0.
费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔 共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。
几何解释:
曲线在最高点和最低点
' f 即 ( ) 0
C
y f ( x)
几何解释:
o
a
1
2 b
x
在曲线弧 AB上至少有一点 C , 在该点处的切线是水平 的.
证 f ( x ) 在 [a , b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 都有 f () 0.
y
y f ( x)
显然有水平切线，其斜 率 为0， 当 切 线 沿 曲 线 连 o 续滑动时，就必然经过 位 于 水 平 位 置 的 那 一 .点
a
1
a 2 b b
x
证明: 只就f ( x)在x0达到最大值证明。
由于f ( x )在x0达到最大值，所以只要 x0 x在(a, b)内, 就有f ( x0 x ) f ( x0 ), 即 f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, f ( x0 x ) f ( x0 ) 从而 0,当x 0时; x f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,当x 0时; x f ( x0 x ) f ( x0 ) 这 样f ( x0 0) lim 0 x 0 x f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 0) lim 0. x 0 x