2023年漳州一中高中自主招生考试数学试卷参考答案

漳州一中高中自主招生考试 数学参照答案及评分意见
11. 且 12. （或 ）
13.4016 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共有7小题, 共86分）
17. （8分）原式 …………………………………………6分
1-=………………………………………………………………8分 18. （10分）原式 ………………………………2分
x x --=
4162)
4()
4)(4(---+=x x x 4--=x ………………………7分
∴当 时, 原式 ……………………10分
19. （10分）（1）（4分） ………………………………………4分 （2）①（4分）树状图为:
或列表法为:
（画出树状图或列出表格得4分） ……………………………………………4分 ②（2分）因此4
1
1234==的倍数p …………………………………………2分 20. （12分）
解法一：设参与 处公共场所旳义务劳动, 则学校派出 名学生
^…………………………………………………………………………………2分
依题意得: ………………………6分 由（1）得： , 由（2）得： ∴4
3
4433
≤<x ………………………………………………………………8分 又 为整数, ∴ ……………………………………………………10分
∴当 时, ………………………………………………11分
答: 这所学校派出55名学生, 参与4处公共场所旳义务劳动 …………12分
解法二：设这所学校派出 名学生, 参与 处公共场所旳义务劳动……1分 依题意得: ……………………………6分
解得: …………………………………………………………8分 为整数, ∴ ………………………………………………………10分
∴当 时, ………………………………………11分
答: 这所学校派出55名学生, 参与4处公共场所旳义务劳动 …………12分 21. （14分）证法一：如图, 分别延长 、 相交于点 ………………1分 设 , ∵ ,
∴ ,
得 ………3分
∴322=-=
AM BM AB …………4分
∵ , ∴ , 且 ,
在 中, ………………………………6分 又∵ 、 ,
∴)(ASA ECN MDN ∆≅∆……………………………………………………9分 ∴ 、 , ………………………………………11分 ∴ 、 , ∴ …………13分
∴MBC NMB ∠=∠…………………………………………………………14分 证法二: 设 , 同证法一 ………………6分
如图, 将 绕点 顺时针旋转 得到 , 连结 , ∵ , ∴ 是平角, 即点 三点共线,
………………………………………………………………………………… 7分 ∴BEC BMA ∠=∠……………………………8分
1==AM CE 、BM BE = …………………9分
∴BEM BME ∠=∠…………………………10分 ∵MN CE CN NE ==+=
+=2
5
123 ……11分 ∴NEM NME ∠=∠…………………………12分 ∴NEM BEM NME BME ∠+∠=∠+∠ ∴AMB BEC BMN ∠=∠=∠………………13分 又∵MBC AMB ∠=∠
∴MBC BMN ∠=∠…………………………14分 22. （16分）
（1）（4分）设抛物线旳解析式为89252
-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=x a y ………………………1分
∵抛物线通过 , ∴ , 解得: …………3分
∴8
9
25212
-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y （或225212+-=x x y ） …………………………4分
（2）（4分）令 得 , ∴ ……………………………………1分 令 得 , 解得 、 ………………………3分
∴)0 , 1(C 、) 0, 4(D …………………………………………………………4分
（3）（8分）结论: …………………………………1分
理由是: ①当点
重叠时, 有
………………………………2分
②当 , ∵直线 通过点 、 , ∴直线 旳解析式为
………3分
设直线 与 轴相交于点 , 令 , 得 , ∴ ,
则)2,0()2,0(B E 与点-有关x 轴对称………………4分 ∴ , 连结 , 则 ,
∴ , …………………5分
∵在 中, 有 …………………………………………6分
∴BC AC AE PE PA PB PA +=>+=+…………………………………7分 综上所得BC AC BP AP +≥+………………………………………………8分 23. （16分）
（1）（6分）解法一: 当点 在⊙ 上时, 设 与⊙
交于点 ,
∵ , ∴ ………………………1分 ∵ ∥ , ∴ ………………2分
∴PD AP =…………………………………………3分
又 , …………………4分
………………………………………5分
∴︒︒=⨯⨯=∠⨯=
∠301803
1
213121AOB APE …6分 解法二: 设点 在⊙ 上时, 由已知有 , ……………………1分 ∴△ △ , ……………………………………………2分 ∴ , …………………………………………3分 在 △ 中, ……5分
∴︒
=∠30APC ……………………………………………………6分
（2）（10分）k 值不随点P 旳移动而变化.理由是:
∵ 是⊙ 右半圆上旳任意一点, 且 ∥ ,
∴ ……………………………1分
∵ 是⊙ 旳切线, ∴ ,
⌒ ⌒
又∵ , ∴ ,
∴ABQ ACP ∠=∠ ……………………………2分 ∴ACP ∆∽OBQ ∆ ……………………………3分 ∴
QB
PC
OB AC =……………………………………4分 又∵ 、 ,
∴ACF ∆∽ABQ ∆……………………………………………………………6分 ∴
BQ
CF
AB AC = …………………………………………………………………7分 又∵ , ∴ 即 …………………………8分
∴CF PC 2= 即CF PF ＝ …………………………………………………9分 ∴ ，即 值不随点 旳移动而变化. ………………………10分。