人教版九年级数学下册 锐角三角函数教案

《锐角三角函数》教案
教学目标
1．理解正弦、余弦、正切的概念并根据其概念进行正确的计算．
2．感知当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．
3．能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数．4．能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．
学习重点
1．理解正弦、余弦、正切的概念并根据其概念进行正确的计算．
2．熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．
教学难点
1．当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值是固定值的事实．
2．30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程．
教学过程
一、寻疑之自主学习
1．活动
问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？
思考1：如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？；如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？；
结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值．
思考2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？
C
B
A
结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 ．
【答案】
思考1：100米 2a m 12
思考2：是定值
2
2
3．通过自主练习寻找疑问
（1）在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，无论三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个 固定值 ．
（2）在直角三角形ABC 中，23
B ∠=的对边斜边若直角三角形DEF 中∠D =∠B ，则D ∠=的对边斜边（23
）． （3）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =513
，则sin B 等于（ D ）．
（4）（2014·天津）cos 60°的值等于（ A ）． A ．12
B
．2 C
．2 D
．3 （5）（2014·厦门）sin 30°的值是（ C ）． A ．12
B
C
D ．1 （6）（2014·包头）计算sin 2 45°+cos 30°·tan 60°，其结果是（ A ）．
A ．2
B ．1 C
．2 D
．4
（7）已知α是锐角，且sin （α+15°）=
）． 二、解惑之例题解析 例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，求sin A 和sin B 的值．
解：（1）在Rt △ABC 中，根据勾股定理得：
AB 2=BC 2+AC 2，AB =5，
∴sin A =BC AB =35
， sin B =AC AB =45
． （2）在Rt △ABC 中，根据勾股定理得
AC 2=AB 2-BC 2，AC =12
∴sin A =BC AB =513
sin B =AC AB =1213
【归纳总结】sin A 就是要确定∠A 的对边与斜边的比；求sin B 就是要确定∠B 的对边与斜边的比．
例2 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，BC =6，求sin A 、cos A 、tan A 的值． 解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理得
AC 2=AB 2-BC 2，AC =8 A B
C 13 5
A
B C 3
4
∴sin A=BC
AB
=
3
5
，
cos B=AC AB
=
4
5
例3 如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠
P AB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）
解：设PD=x米，在Rt△P AD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置．
解：（1）在图中，
∵sin A =BC AB
∴∠A =45°
（2）如图，已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB
倍，求α．
解：（2）在图中，圆锥的母线，底面半径，高线正好构成直角三角形，根据三角函数
∴α=60°．
三、尝试之知识巩固
1．如图，在直角三角形ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13．则sin A =（513
），sin B =（1213
）．
A B
C
2．正方形网格中，∠AOB 按如图放置，则cos ∠AOB 的值为（ A ）．
A B C ．12
D ．2
3．a ，b ，c 是△ABC 的∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ∶b ∶c =1cos B 的值为（ B ）．
A B C ．2 D ．4
4．如图，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tan A 的值是（ A ）．
A ．65
B ．56
C D
5．在△ABC 中，∠C =90°，AB =3AC ，则tan A =（ C ）．
A ．13
B ．3
C ．
D ．2 6．如图，⊙O 与正方形ABCD 的各边分别相切于
E ，
F ，
G ，
H ，点P 是HG 上的一点，则tan ∠EPF 的值是_ 1 _．
四、培优之达标测试
1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，sin A =
35
，则AB 等于（ C ）． A ．8 B ．9 C ．10 D ．12 2．在△ABC 中，AB =AC =5，sin ∠ABC =0.8，则BC = 6 ．
3．如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =14
，BC =2，求AC ，AB 的长．
解：∵sin A =14，∴BC AB =14
，∴AB =4BC =4×2=8，∴AC =
4．若∠A 是锐角，tan A ，则∠A =_ 30° _． 5．已知α为锐角，且cos （90°-α）=12
，则α=_ 30° _． 6．（2014·凉山州）在△ABC 中，若|cos A -
12|+（1-tan B ）2=0，则∠C 的度数是（ C ）． A ．45° B ．60° C ．75° D ．105°
7．如果在△ABC 中，sin A =cos B ，那么下列最确切的结论是（ C ）． A ．△ABC 是直角三角形
B ．△AB
C 是等腰三角形
C ．△ABC 是等腰直角三角形
D ．△ABC 是锐角三角形
8．计算．
（1）（3.14-π）0+（-12
）-2+|1-4cos 45°；
解：原式=1+4+1-4×
2=4． （2）cos 45sin 45︒︒+2sin 60°·tan 60°-1tan 30︒
+tan 45°．
解：原式=1+3+1=5．
9．如图，在⊙O 中，过直线AB 延长线上的点C 作⊙O 的一条切线，切点为D ，若AC =7，AB =4，则sin C 的值为（25
）．
10．已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的
四个顶点分别在四条直线上，那么sin α=
11．菱形ABCD 的边长为10 cm ，DE ⊥AB ，sin A =35
，求DE 的长和菱形ABCD 的面积．
解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED =90°．在Rt △AED 中，sin A =DE AD ，即35=10
DE ， 解得DE =6，∴菱形ABCD 的面积为：10×6=60（cm 2）．
12．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB =6，点C 是优弧AB 上一点（不与A ，B 重合），则cos C 的值为（45
）．
13．在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin B =47
，则sin A 的值是（ C ）．
A ．47
B ．74
C ．7
D ．733
14．如图，P A ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交P A ，PB 于C ，D ．若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（ B ）．
A ．π122θ⎫-⎪⎝⎭
B ．125
C ．5
D ．3
点拨：连接OA ，OB ，OP ，延长OB 交PA 的延长线于点F ，由切线长定理可得AC =CE ，ED =DB ，PA =PB ，可知△PCD 的周长为2PA ，∴PA =PB =23
r ，由Rt △BFP ∽Rt △OAF ，得AF =23BF ，在Rt △PBF 中，PF 2=PB 2+BF 2，∴（23r +23
BF ）2-（32r ）2=BF 2，解得BF =185r ，∴tan ∠APB =
185r /32r =125． 15．如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点，已知∠BAC =60°，∠DAE =45°，点D 到地面的垂直距离DE =3 2 m ，求点B 到地面的垂直距离BC ．
解：在Rt △DAE 中，∠DAE =45°，DE =m ，∴sin45°=DE AD
，∴AD =6 m ，在Rt △
ACB 中，∠BAC =60°，AB =AD =6 m ，∵sin60°=
BC AB
，∴BC =m ．
五、课堂小结： 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，我们把锐角A 的对边与_ 斜边 _边的比叫做∠
A的正弦，记作_ 正弦_，即sin A=a/c．
2．我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作_cos A_，即cos A=_b/c _．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，
记作_ tan A_，即tan A=a
b
．
4．填写下表：
六、作业设置：
如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，
AE=6，cos A=3
5
．
求：（1）DE，CD的长；（2）tan∠DBC的值．
七、自我反思：
本节课我的收获： ．
附作业答案
解：（1）∵∠C =90°，DE ⊥AB ，BD 平分∠AB C ，∴ED =DC ，在Rt △ADE 中，
AE AD =cos A =35，∴AD =10．由勾股定理可知ED =8，∴DE =CD =8．
（2）由（1）知AC =AD +DC =18，cos A =AC BA =35，∴18AB =35
，AB =30，BE =30-6=24，∴BC =BE =24，∴tan ∠DBC =824=13．。