初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题含解析

初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题含解析
一．选择题共12小题
1．1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示,头发丝的半径是
A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米
2．足球循环赛中,红队胜黄队4：1,黄队胜蓝队2：1,蓝队胜红队1：0,则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是
A．红队2,黄队﹣2,蓝队0 B．红队2,黄队﹣1,蓝队1
C．红队3,黄队﹣3,蓝队1 D．红队3,黄队﹣2,蓝队0
3．要使为整数,a只需为
A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数
4．体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中“+”表示成绩大于18秒,“﹣”表示成绩小于18秒,“0”表示刚好达标,这个小组的达标率是
﹣1+0.80﹣
1.2﹣
0.1
0+0.5﹣
0.6
A．25% B．37.5% C．50% D．75%
5．有一列数a1,a2,a3,a4,…,a n,从第二个数开始,每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差,若a1=2,则a2008值为
A．2 B．﹣1 C ．D．2008
6．有理数a,b,c都不为零,且a+b+c=0,则++=
A．1 B．±1 C．﹣1 D．0
7．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
16进制0123456789A B C D E F
10进制0123456789101112131415
例如,用十六进制表示5+A=F,3+F=12,E+D=1B,那么A+C=
A．16 B．1C C．1A D．22
8．若ab＞0,且a+b＜0,那么
A．a＞0,b＞0 B．a＞0,b＜0 C．a＜0,b＜0 D．a＜0,b＞0
9．如图,在日历中任意圈出一个3×3的正方形,则里面九个数不满足的关系式是
A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2a4+a5+a6
B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2a2+a5+a8
C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5
D．a3+a6+a9﹣a1+a4+a7=a2+a5+a8
10．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文加密,接收方由密文明文解密,已知有一种密码,将英文26个小写字母a,b,c,…,z依次对应0,1,2,…,25这26个自然数见表格,当明文中的字母对应的序号为β时,将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号,例如明文s对应密文c
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号0 1 2 3 4 5 678 9 10 11 12
字母n o p q r s t u v w x y z
序号13 14 15 16 17 18 1920212223 24 25
按上述规定,将明文“maths”译成密文后是
A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc
11．设y=|x﹣1|+|x+1|,则下面四个结论中正确的是
A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值
C．有限个x不止一个y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值
12．若“”是一种数学运算符号,并且1=1,2=2×1=2,3=3×2×1=6,4=4×3×2×1,…且公式
,则C125+C126=
A．C135B．C136C．C1311D．C127
二．填空题共10小题
13．2.40万精确到位,有效数字有个．
14．如图M,N,P,R分别是数轴上四个整数所对应的点,其中有一点是原点,并且
MN=NP=PR=1,数a对应的点在M与N之间,数b对应的点在P与R之间,若|a|+|b|=2,则原点是填入M、N、P、R中的一个或几个．
15．为了求1+3+32+33+...+3100的值,可令M=1+3+32+33+...+3100,则3M=3+32+33+34+ (3101)
因此,3M﹣M=3101﹣1,所以M=,即1+3+32+33+…+3100=,仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．
16．我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数只有数码0和1,它们两者之间可以互相换算,如将1012,10112换算成十进制数应为：
；
按此方式,将二进制11012换算成十进制数的结果是．
17．请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a⊕b”,使得下列算式成立：
1⊕2=2⊕1=3,﹣3⊕﹣4=﹣4⊕﹣3=﹣,﹣3⊕5=5⊕﹣3=﹣,…
你规定的新运算a⊕b=用a,b的一个代数式表示．
18．我们定义=ad﹣bc,例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数,且满足1＜＜3,则x+y的值．
19．符号“G”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下：
1G1=1,G2=3,G3=5,G4=7,…
2G=2,G=4,G=6,G=8,…
利用以上规律计算：G2010﹣G﹣2010=．
20．a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示,下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是．只填序号,答案格式如：“①②③④”．
21．若|x|=2,|y|=3,且＜0,则x+y=．
22．王老师为调动学生参加班级活动的积极性,给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片,若在活动中表现优胜者,可依次用色彩纸片覆盖圆面积的,,…．请你根据数形结合的思想,依据图形的变化,推断当n为整数时,+++…+=．三．解答题共18小题
23．计算：++++…+．
24．请你仔细阅读下列材料：计算：
﹣÷﹣+﹣
解法1：按常规方法计算
原式=﹣÷+﹣+=﹣÷﹣=﹣×3=﹣
解法2：简便计算,先求其倒数
原式的倒数为：﹣+﹣÷﹣=﹣+﹣×﹣30=﹣20+3﹣5+12=﹣10
故﹣÷﹣+﹣=﹣
再根据你对所提供材料的理解,模仿以上两种方法分别进行计算：﹣÷﹣+﹣．25．已知x、y为有理数,现规定一种新运算※,满足x※y=xy+1．
1求2※4的值；
2求1※4※﹣2的值；
3任意选择两个有理数至少有一个是负数,分别填入下列□和○中,并比较它们的运算结果：□※○和○※□；
4探索a※b+c与a※b+a※c的关系,并用等式把它们表达出来．
26．若a,b互为相反数,c,d互为倒数,|m|=2,求+m2﹣3cd的值．
27．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
1判断正负,用“＞”或“＜”填空：b﹣c0,
a+b0,c﹣a0．
2化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
28．1阅读下面材料：
点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|．
当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；
当A,B两点都不在原点时,
①如图2,点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图3,点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣﹣a=|a﹣b|；
③如图4,点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+﹣b=|a﹣b|；
综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
2回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x为；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是．
④当x=时,|x+1|+|x﹣2|=5．
29．
请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算：
1999×﹣15
2999×118+999×﹣﹣999×18．
30．同学们都知道：|5﹣﹣2|表示5与﹣2之差的绝对值,实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
1数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是,
2数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．
3如果|x﹣2|=5,则x=．
4同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和,请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+3|+|x﹣1|=4,这样的整数是．
5由以上探索猜想对于任何有理数x,|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值如果有,直接写出最小值；如果没有,说明理由．
31．阅读材料：求值1+2+22+23+24+…+22014
解：设S=1+2+22+23+24+…+22014①,将等式两边同时乘以2得
2S=2+22+23+24+…+22014+22015②
将②﹣①得：S=22015﹣1,即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1
请你仿照此法计算：11+2+22+23+24+…+210
21+3+32+33+34+…+3n其中n为正整数
32．小红和小明在研究绝对值的问题时,碰到了下面的问题：
“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是,最小值是”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”他们把数轴分为三段：x＜﹣1,﹣1≤x≤2和x＞2,经研究发现,当﹣1≤x≤2时,值最小为3．
请你根据他们的解题解决下面的问题：
1当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时,相应的x的取值范围是,最小值是．
2已知y=|2x+8|﹣4|x+2|,求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．33．1阅读下面材料：
点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|．
当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；
当A,B两点都不在原点时,
①如图2,点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图3,点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣﹣a=|a﹣b|；
③如图4,点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+﹣b=|a﹣b|；
综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
2回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x为；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是．
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．
34．计算：××××××…××××．
35．小明早晨跑步,他从自家向东跑了2千米到达小彬家,继续向东跑了1.5千米到达小红家,然后向西跑了4.5千米到达中心广场,最后回到家．
1以小明家为原点,以向东的方向为正方向,用1 个单位长度表示1千米,你能在数轴上表示出中心广场,小彬家和小红家的位置吗
2小彬家距中心广场多远
3小明一共跑了多少千米
36．已知：b是最小的正整数,且a、b满足c﹣52+|a+b|=0,请回答问题
1请直接写出a、b、c的值．a=,b=,c=
2a、b、c所对应的点分别为A、B、C,点P为易动点,其对应的数为x,点P在0到2之间运动时即0≤x≤2时,请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|请写出化简过程
3在12的条件下,点A、B、C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动,假设t 秒钟过后,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变若变化,请说明理由；若不变,请求其值．37．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得：
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014,将下式减去上式得：
2S﹣S=22014﹣1,即S=22014﹣1,即1+2+22+23+24+…22013=﹣1
请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值．
38．计算：1；
2﹣24+3﹣16﹣5；
3；
4；
5；
6；
7；
8；
9；
10；
11；
12﹣47.65×2+﹣37.15×﹣2+10.5×﹣7．
39．1+2+3+…+100= 经过研究,这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=,其中n是正整数．
现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…nn+1=
观察下面三个特殊的等式
1×2=1×2×3﹣0×1×2
2×3=2×3×4﹣1×2×3
3×4=3×4×5﹣2×3×4
将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=3×4×5=20
读完这段材料,请你思考后回答：
1直接写出下列各式的计算结果：
①1×2+2×3+3×4+…10×11=
②1×2+2×3+3×4+…nn+1=
2探究并计算：
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+nn+1n+2=
3请利用2的探究结果,直接写出下式的计算结果：
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=．
40．如图所示,一个点从数轴上的原点开始,先向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度,可以看到终点表示的数是﹣2,已知点A、B是数轴上的点,请参照图并思考,完成下列各题．
1如果点A表示数﹣3,将点A向右移动7个单位长度,那么终点B表示的数是,A、B 两点间的距离是；
2如果点A表示数3,将A点向左移动7个单位长度,再向右移动5个单位长度,那么终点B表示的数是,A、B两点间的距离为；
3如果点A表示数﹣4,将A点向右移动16个单位长度,再向左移动25个单位长度,那么终点B表示的数是,A、B两点间的距离是；
4一般地,如果A点表示的数为m,将A点向右移动n个单位长度,再向左移动p个单位长度,那么请你猜想终点B表示什么数A、B两点间的距离为多少
初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题含解析
参考答案与试题解析
一．选择题共12小题
1．2016春碑林区校级期末1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示,头发丝的半径是
A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米
分析首先根据题意求出头发丝的半径是60 000÷2纳米,然后根据1纳米=10﹣9米的关系就可以用科学记数法表示头发丝的半径．
解答解：头发丝的半径是60 000÷2×10﹣9=3×10﹣5米．
故选D．
点评此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．2014秋赛罕区校级期末足球循环赛中,红队胜黄队4：1,黄队胜蓝队2：1,蓝队胜红队1：0,则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是
A．红队2,黄队﹣2,蓝队0 B．红队2,黄队﹣1,蓝队1
C．红队3,黄队﹣3,蓝队1 D．红队3,黄队﹣2,蓝队0
分析每个队的进球总数记为正数,失球总数记为负数,这两数的和为这队的净胜球数．依此列出算式进行计算．
解答解：由题意知,红队共进4球,失2球,净胜球数为：4+﹣2=2,
黄队共进3球,失5球,净胜球数为3+﹣5=﹣2,
蓝队共进2球,失2球,净胜球数为2+﹣2=0．
故选A．
点评每个队的进球总数记为正数,失球总数记为负数,这两数的和为这队的净胜球数．3．2010春佛山期末要使为整数,a只需为
A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数
分析如果为整数,则a﹣52为4的倍数,可确定a的取值．
解答解：∵为整数,
∴a﹣52为4的倍数,
∴a﹣5是偶数,
则a可取任意奇数．
故选A．
点评本题考查了奇数、偶数、乘方的有关知识．注意：奇数±奇数=偶数,任何一个偶数必定能够被2整除,偶数的平方能够被4整除．
4．2013秋郑州期末体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中“+”表示成绩大于18秒,“﹣”表示成绩小于18秒,“0”表示刚好达标,这个小组的达标率是
﹣1+0.80﹣
1.2﹣
0.1
0+0.5﹣
0.6
A．25% B．37.5% C．50% D．75%
分析根据正数是大于标准的数,非负数是达标成绩,可得达标人数,达标人数除以总人数,可的达标率．
解答解：﹣1＜0,0=0,﹣1.2＜0,﹣0.1＜0,0=0,﹣0.6＜0,达标人数为6人,
达标率为6÷8=75%,
故选：D．
点评本题考查拉正数和负数,注意非负数是达标人数,达标人数除以总人数的达标率．5．2014 新华区模拟有一列数a1,a2,a3,a4,…,a n,从第二个数开始,每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差,若a1=2,则a2008值为
A．2 B．﹣1 C ．D．2008
分析从所给出的资料中,可得到若a1=2,a2=,a3=﹣1,a4=2…则这列数的周期为3,据此解题即可．
解答解：根据题意可知：若a1=2,则a2=1﹣=,a3=1﹣2=﹣1,a4=1﹣﹣1=2,…,这列数的周期为3,
∵2008=3×669+1
∴a2008=2．
故选：A．
点评考查有理数的运算方法和数学的综合能力．解此题的关键是能从所给出的资料中找到数据变化的规律,并直接利用规律求出得数,代入后面的算式求解．
6．2016春沭阳县期末有理数a,b,c都不为零,且a+b+c=0,则++= A．1 B．±1 C．﹣1 D．0
分析根据a、b、c是非零有理数,且a+b+c=0,可知a,b,c为两正一负或两负一正,按两种情况分别讨论,求得代数式的可能的取值即可．
解答解解：∵a、b、c是非零有理数,且a+b+c=0,
∴a,b,c为两正一负或两负一正,且b+c=﹣a,a+c=﹣b,a+b=﹣c,
①当a＞b＞0＞c时：++=++=1+1﹣1=1；
②当a＞0＞b＞c时：++=++=1﹣1﹣1=﹣1；
综上,++的所有可能的值为±1．
故选B
点评本题主要考查了代数式求值,关键是掌握绝对值的性质等知识点,注意分情况讨论字母的符号,不要漏解．
7．2013 天桥区一模计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
16进制0123456789A B C D E F
10进制0123456789101112131415
例如,用十六进制表示5+A=F,3+F=12,E+D=1B,那么A+C=
A．16 B．1C C．1A D．22
分析首先把A+C利用十进制表示,然后化成16进制即可．
解答解：A+C=10+12=22=16+6,则用16进制表示是16．
故选A．
点评本题考查了有理数的运算,理解十六进制的含义是关键．
8．2012秋祁阳县校级期中若ab＞0,且a+b＜0,那么
A．a＞0,b＞0 B．a＞0,b＜0 C．a＜0,b＜0 D．a＜0,b＞0
分析两数之积大于0,说明两数同号,两数之和小于0,说明两数都是负数．
解答解：∵ab＞0,
∴a,b同号；
又∵a+b＜0,
∴a,b同为负数．
故本题选C．
点评本题考查的知识点为：两数相乘,同号得正；同号两数相加为负数,则这两个数都为负数．
9．2011秋南海区期末如图,在日历中任意圈出一个3×3的正方形,则里面九个数不满足的关系式是
A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2a4+a5+a6
B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2a2+a5+a8
C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5
D．a3+a6+a9﹣a1+a4+a7=a2+a5+a8
分析从表格中可看出a5在中间,上下相邻的数为依次大7,左右相邻的数为依次大1,所以可得到代数式．
解答解：A、a1+a2+a3+a7+a8+a9=a4+a5+a6﹣21+a4+a5+a6+21=2a4+a5+a6,正确,不符合题意；
B、a1+a4+a7+a3+a6+a9=a1+a3+a4+a6+a7+a9=2a2+a5+a8,正确,不符合题意；
C、a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5,正确,不符合题意
D、a3+a6+a9﹣a1+a4+a7=6,错误,符合题意．
故选D．
点评本题考查有理数的加减混合运算,关键是从表格中看出各个数与a5的关系,从而得出结果．
10．2010 广州为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文加密,接收方由密文明文解密,已知有一种密码,将英文26个小写字母a,b,c,…,z依次对应0,1,2,…,25这26个自然数见表格,当明文中的字母对应的序号为β时,将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号,例如明文s对应密文c
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号0 1 2 3 4 5 678 9 10 11 12
字母n o p q r s t u v w x y z
序号13 14 15 16 17 18 1920212223 24 25
按上述规定,将明文“maths”译成密文后是
A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc
分析m对应的数字是12,12+10=22,除以26的余数仍然是22,因此对应的字母是w；a对应的数字是0,0+10=10,除以26的余数仍然是10,因此对应的字母是k；t对应的数字是19,19+10=29,除以26的余数仍然是3,因此对应的字母是d；…,所以本题译成密文后是wkdrc．
解答解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18,它们分别加10除以26所得的余数为22、10、3、17、2,所对应的密文为wkdrc．
故选：A．
点评本题是阅读理解题,解决本题的关键是读懂题意,理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则,然后套用题目提供的对应关系解决问题,具有一定的区分度．
11．2009秋和平区校级期中设y=|x﹣1|+|x+1|,则下面四个结论中正确的是
A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值
C．有限个x不止一个y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值
分析根据非负数的性质,分别讨论x的取值范围,再判断y的最值问题．
解答解：方法一：由题意得：当x＜﹣1时,y=﹣x+1﹣1﹣x=﹣2x；
当﹣1≤x≤1时,y=﹣x+1+1+x=2；
当x＞1时,y=x﹣1+1+x=2x；
故由上得当﹣1≤x≤1时,y有最小值为2；
故选D．
方法二：由题意,y表示数轴上一点x,到﹣1,1的距离和,这个距离和的最小值为2,此时x 的范围为﹣1≤x≤1,
故选D．
点评本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题,注意按未知数的取值分情况讨论．
12．若“”是一种数学运算符号,并且1=1,2=2×1=2,3=3×2×1=6,4=4×3×2×1,…且公式
,则C125+C126=
A．C135B．C136C．C1311D．C127
分析根据题目信息,表示出C125与C126,然后通分整理计算即可．
解答解：根据题意,有C125=,C126=,
∴C125+C126=+,
=,
=,
=C136．
故选B．
点评本题是信息给予题,读懂题目信息是解题的关键．
二．填空题共10小题
13．2009秋绥中县期末2.40万精确到百位,有效数字有3个．
分析根据24 000确定精确度,从左边第一个不是0的数开始数起,到精确到的数位为止共有3个有效数字．
解答解：2.40万=24 000,精确到百位,有效数字有3个,分别是2,4,0．
点评从左边第一个不是0的数开始数起,到精确到的数位为止,所有的数字都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字．
14．2016秋余杭区期末如图M,N,P,R分别是数轴上四个整数所对应的点,其中有一点是原点,并且MN=NP=PR=1,数a对应的点在M与N之间,数b对应的点在P与R之间,若|a|+|b|=2,则原点是N或P填入M、N、P、R中的一个或几个．
分析根据数轴判断出a、b之间的距离小于3,且大于1,然后根据绝对值的性质解答即可．解答解：∵MN=NP=PR=1,
∴|MN|=|NP|=|PR|=1,
∴|MR|=3；
①当原点在N或P点时,1＜|a|+|b|＜3,又因为|a|+|b|=2,所以原点可能在N或P点；
②当原点在M或R点时,|a|+|b|＞2,所以原点不可能在M或R点；
综上所述,原点应是在N或P点．
故答案为：N或P．
点评此题考查了数轴的定义和绝对值的意义．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性,再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉,把式子化简后根据整点的特点求解．
15．2015 茂名为了求1+3+32+33+…+3100的值,可令M=1+3+32+33+…+3100,则
3M=3+32+33+34+...+3101,因此,3M﹣M=3101﹣1,所以M=,即1+3+32+33+ (3100)
,仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．
分析根据题目信息,设M=1+5+52+53+…+52015,求出5M,然后相减计算即可得解．
解答解：设M=1+5+52+53+ (52015)
则5M=5+52+53+54 (52016)
两式相减得：4M=52016﹣1,
则M=．
故答案为．
点评本题考查了有理数的乘方,读懂题目信息,理解求和的运算方法是解题的关键．16．2013 天河区一模我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数只有数码0和1,它们两者之间可以互相换算,如将1012,10112换算成十进制数应为：
；
按此方式,将二进制11012换算成十进制数的结果是13．
分析根据题目信息,利用有理数的乘方列式进行计算即可得解．
解答解：11012=1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=13．
故答案为：13．
点评本题考查了有理数的乘方,读懂题目信息,理解二进制与十进制的数的转化方法是解题的关键．
17．2012 台州请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a⊕b”,使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3,﹣3⊕﹣4=﹣4⊕﹣3=﹣,﹣3⊕5=5⊕﹣3=﹣,…
你规定的新运算a⊕b=用a,b的一个代数式表示．
分析由题中的新定义,将已知的等式结果变形后,总结出一般性的规律,即可用a与b表示出新运算a⊕b．
解答解：根据题意可得：
1⊕2=2⊕1=3=+,
﹣3⊕﹣4=﹣4⊕﹣3=﹣=+,
﹣3⊕5=5⊕﹣3=﹣=+,
则a⊕b=+=．
故答案为：．
点评此题考查了有理数的混合运算,属于新定义的题型,其中弄清题意,找出一般性的规律是解本题得关键．
18．2011 越秀区校级模拟我们定义=ad﹣bc,例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数,且满足1＜＜3,则x+y的值±15或±9．
分析首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式,然后根据x,y是整数即可确定x,y的值,从而求解．
解答解：根据题意得：1＜xy﹣12＜3,
则13＜xy＜15,
因为x、y是整数,则x=±1时,y=±14；
当x=±2时,y=±7,
当x=±3时,y的值不存在；
当x=±4,±5,±6,±8,±9,±10,±11,±12,±13时,y的值不存在；
当x=±14时,y=±1；
当x=±7时,y=±2．
则x+y=1+14=15,或x+y=﹣1﹣14=﹣15,或x+y=2+7=9,或x+y=﹣2﹣7=﹣9．
故x+y=±15或±9．
故答案是：±15或±9．
点评本题考查了不等式的整数解,正确确定x,y的值是关键．
19．2011春宿迁校级期末符号“G”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下：
1G1=1,G2=3,G3=5,G4=7,…
2G=2,G=4,G=6,G=8,…
利用以上规律计算：G2010﹣G﹣2010=﹣2009．
分析此题是一道找规律的题目,通过观察可发现1中等号后面的数为前面括号中的数的2倍减1,2中等号后面的数为分母减去1再乘2,计算即可．
解答解：G2010﹣G﹣2010=2010×2﹣1﹣2010﹣1×2﹣2010=﹣2009．
点评找到正确的规律是解答本题的关键．
20．2006 连云港a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示,下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是①②④．只填序号,答案格式如：“①②③④”．
分析首先能够根据数轴得到a,b之间的关系的正确信息,然后结合数的运算法则进行分析．
解答解：根据数轴得a＜﹣1＜b,|a|＞|b|．
①中,a﹣b＜0,故①正确；
②中,a+b＜0,故②正确；
③中,由于b的符号无法确定,所以ab＜0不一定成立,故③错误；
④中,ab+a+b+1=b+1a+1＜0,故④正确．
所以一定成立的有①②④．
故答案为：①②④．
点评此题综合考查了数轴、绝对值、有理数的运算法则的有关内容．
特别注意④中,能够运用因式分解的知识分解成积的形式,再分别判断两个因式的符号．21．2006 贺州若|x|=2,|y|=3,且＜0,则x+y=±1．
分析根据绝对值的意义,知绝对值等于正数的数有2个,且互为相反数．
根据分式值的符号判断字母符号之间的关系：同号得正,异号得负．
解答解：∵|x|=2,|y|=3,
∴x=±2,y=±3．
又∵＜0,
∴x,y异号,
故x=2,y=﹣3；
或x=﹣2,y=3．
∴x+y=2+﹣3=﹣1或﹣2+3=1．
故答案为：±1．
点评理解绝对值的意义,注意互为相反数的两个数的绝对值相同．
同时能够根据分式的值的符号判断两个字母符号之间的关系．
22．2004 乌鲁木齐王老师为调动学生参加班级活动的积极性,给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片,若在活动中表现优胜者,可依次用色彩纸片覆盖圆面积的,,…．请你根据数形结合的思想,依据图形的变化,推断当n为整数时,+++…+
=1﹣．
分析结合图形,知+=1﹣,++=1﹣,推而广之即可．
解答解：结合图形,得
+++…+=1﹣．
点评此题注意运用数形结合的思想进行分析．
三．解答题共18小题
23．计算：++++…+．
分析把++++…+变形为+++++++ +…++,再根据加法交换律和结合律计算即可求解．
解答解：++++…+
=++++++++…++
=+++++++…+++
=2×2014+
=4028+
=4028．
点评此题考查了有理数的混合运算,关键是把++++…+变形为++++++++…++计算．
24．2016秋湖北月考请你仔细阅读下列材料：计算：
﹣÷﹣+﹣
解法1：按常规方法计算
原式=﹣÷+﹣+=﹣÷﹣=﹣×3=﹣
解法2：简便计算,先求其倒数
原式的倒数为：﹣+﹣÷﹣=﹣+﹣×﹣30=﹣20+3﹣5+12=﹣10
故﹣÷﹣+﹣=﹣
再根据你对所提供材料的理解,模仿以上两种方法分别进行计算：﹣÷﹣+﹣．分析观察解法1,用常规方法计算即可求解；
观察解法2,可让除数和被除数交换位置进行计算,最后的结果取计算结果的倒数即可．
解答解：解法1,
﹣÷﹣+﹣
=﹣÷+﹣+
=﹣÷﹣
=﹣÷
=﹣；
解法2,原式的倒数为：
﹣+﹣÷﹣
=﹣+﹣×﹣56
=﹣×56+×56﹣×56+×56
=﹣21+12﹣28+16
=﹣21,
故﹣÷﹣+﹣=﹣．
点评此题考查了有理数的混合运算,解决本题的关键是读懂题意,理解第二种解法的思路：两个数相除,可先求这两个数相除的倒数．
25．2016秋东莞市期末已知x、y为有理数,现规定一种新运算※,满足x※y=xy+1．
1求2※4的值；
2求1※4※﹣2的值；
3任意选择两个有理数至少有一个是负数,分别填入下列□和○中,并比较它们的运算结果：□※○和○※□；
4探索a※b+c与a※b+a※c的关系,并用等式把它们表达出来．
分析读懂题意,掌握规律,按规律计算每个式子．
解答解：12※4=2×4+1=9；
21※4※﹣2=1×4+1×﹣2+1=﹣9；
3﹣1※5=﹣1×5+1=﹣4,
5※﹣1=5×﹣1+1=﹣4；
4∵a※b+c=ab+c+1=ab+ac+1,a※b+a※c=ab+1+ac+1=ab+ac+2．
∴a※b+c+1=a※b+a※c．
点评解答此类题目的关键是认真观察已知给出的式子的特点,找出其中的规律．26．2014秋朝阳区期末若a,b互为相反数,c,d互为倒数,|m|=2,求+m2﹣3cd的值．分析根据互为相反数的两数之和为0,互为倒数的两数之积为1可得a+b=0,cd=1,代入可得出答案．
解答解：由题意得：a+b=0,cd=1,m2=4,
原式=m2﹣3=4﹣3=1．
点评本题考查了倒数和相反数的知识,难度不大,注意细心运算．
27．2016秋东台市期中有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
1判断正负,用“＞”或“＜”填空：b﹣c＜0,
a+b＜0,c﹣a＞0．
2化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
分析1根据数轴判断出a、b、c的正负情况,然后分别判断即可；
2去掉绝对值号,然后合并同类项即可．
解答解：1由图可知,a＜0,b＞0,c＞0且|b|＜|a|＜|c|,
所以,b﹣c＜0,a+b＜0,c﹣a＞0；
故答案为：＜,＜,＞；
2|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|
=c﹣b+﹣a﹣b﹣c﹣a
=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a
=﹣2b．
点评本题考查了绝对值的性质,数轴,熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．
28．2016秋镜湖区校级期中1阅读下面材料：
点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|．
当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；
当A,B两点都不在原点时,
①如图2,点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图3,点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣﹣a=|a﹣b|；
③如图4,点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+﹣b=|a﹣b|；
综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
2回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是3,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1| ,如果|AB|=2,那么x为1或﹣3；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2．
④当x=3或﹣2时,|x+1|+|x﹣2|=5．
分析①根据数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；
②根据数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；
③|x+1|+|x﹣3|的最小值,意思是x到﹣1的距离与到3的距离之和最小,那么x应在﹣1和3之间的线段上．
④分三种情况讨论即可求得．
解答解：①|2﹣5|=3,|﹣2﹣﹣5|=3,|1﹣﹣3|=4；
②|x﹣﹣1|=|x+1|,
如果AB=2,则x+1=±2,
解得x=1或﹣3；
③若|x+1|+|x﹣2|取最小值,那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上,
所以﹣1≤x≤2．
④若x+1＞0,x﹣2＞0,则x+1+x﹣2=5,解得x=3,
若x+1＜0,x﹣2＜0,则﹣x+1﹣x﹣2=5,解得x=﹣2,
若x+1和x﹣2异号,则等式不成立,
所以当x=3或﹣2时,|x+1|+|x﹣2|=5．
故答案为：3,3,4；|x+1|,1或﹣3；﹣1≤x≤2；3或﹣2．
点评本题主要考查了数轴和绝对值,掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．
29．2016 河北
请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算：
1999×﹣15
2999×118+999×﹣﹣999×18．
分析1将式子变形为1000﹣1×﹣15,再根据乘法分配律计算即可求解；
2根据乘法分配律计算即可求解．
解答解：1999×﹣15
=1000﹣1×﹣15
=1000×﹣15+15
=﹣15000+15
=﹣14985；
2999×118+999×﹣﹣999×18
=999×118﹣﹣18
=999×100
=99900。