2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（文史类）
数学试题（文史类）共5页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡
皮檫擦干净后，在选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须用0.5mm 黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：
如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+
如果事件A B 、相互独立，那么()()()P A B P A P B =
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：
()(1)k k n k n n P k C p p -=-
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5,7}A =，{3,4,5}B =，则()()A B =U U 痧
（A ）{1,6} （B ）{4,5} （C ）{2,3,4,5,7} （D ）{1,2,3,6,7}
（2）在等差数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8
（3）以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为
（A ）22(2)(1)3x y -++= （B ）22(2)(1)3x y ++-=
（C ）22(2)(1)9x y -++= （D ）22(2)(1)3x y ++-=
（4）若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是
（A ）过P 只能作一条直线与平面α相交 （B ）过P 可作无数条直线与平面α垂直
（C ）过P 只能作一条直线与平面α平行 （D ）过P 可作无数条直线与平面α平行
（5）()5
23x -的展开式中2x 的系数为 （A ）－2160 （B ）－1080 （C ）1080 （D ）2160
（6）设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，且(21)y f x =-的图像过点1(,1)2
，则
1()y f x -=的图像必过
（A ）1(,1)2 （B ）1(1,)2
（C ）(1,0) （D ）(0,1)
（7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。

为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。

若采用分层抽样的方法，
抽取的中型商店数是
（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）13
（8）已知三点(2,3),(1,1),(6,)A B C k --，其中k 为常数。

若AB AC =，则AB 与AC 的
夹角为 （A ）24arccos()25-
（B ）2
π或24arccos 25 （C ）24arccos 25 （D ）2π或24arccos 25π- （9）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演
出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
（A ）1800 （B ）3600 （C ）4320 （D ）5040
（10）若,(0,)2παβ∈，cos()2βα-=,1sin()22
αβ-=-，则cos()αβ+的值等于
（A ）2- （B ）12- （C ）12
（D ）2 （11）设11229(,),(4,),(,)5
A x y
B
C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的
（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要
（12）若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是
（A ） （B ）3 （C ）2 （D 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。

把答案填写在答题卡相应位置上。

（13）已知sin 5α=，2
παπ≤≤，则tan α= 。

（14）在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 。

（15）设0,1a a >≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值，则不等式log (1)0a x ->的
解集为 。

（16）已知变量x ，y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩。

若目标函数z ax y =+（其中0a >）
仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为 。

三．解答题：本大题共6小题，共76分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分）
甲、乙、丙三人在同一办公室工作。

办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为16、13、12。

若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。

求：
（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；
（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；
（18）（本小题满分13分）
设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0,a R ω>∈）。

且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是
6π。

（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果()f x 在区间5[,]36
ππ-
a 的值； （19）（本小题满分12分）
设函数32
()33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-。

（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性。

（20）（本小题满分12分）
如图，在增四棱柱1111ABCD A B C D -
中，11,1AB BB ==，E 为1BB 上使11B E =的点。

平面1AEC 交1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求：
（Ⅰ）异面直线AD 与1C G 所成角的大小；
（Ⅱ）二面角11A C G A --的正切值；
（21）（本小题满分12分）
已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a
+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；
（22）（本小题满分12分）
如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线
24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 角抛物
线于另一点(,)n n n B s t 。

（Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；
（Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以
n A 与n B 为切点的两条切线的交点。

试证：
112221n n n FC FC FC -++++=-+；
2006年普通高等学校招生全国统一考试
（重庆卷）数学（文史类）
参考答案
（1）—（12）DDCDB CCDBB AA
(13) -2 (14) 2n – 1 (15)12162
a +∞>（，）（） 三．解答题：本大题共6小题，共76分。

解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。

办公室只有一部电话机，
设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为16、13、12。

若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。

求：
（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；
（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；
解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，
所求概率为：3331111()()().6326p =++=
（Ⅱ）这是n=3，p= 16
的独立重复试验，故所求概率为： 2233155(2)()().6672
P C ==
（18）（本小题满分13分）设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++
（其中0,a R ω>∈）。

且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是
6π。

（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果()f x 在区间5[,]36ππ
-，求a 的值；
解：（I ）1()2sin 2sin(2)22232
f x x x x a πωωαω=+++=+++ 依题意得 126322
π
π
π
ωω⋅+=⇒=．
（II ）由（I ）知，()sin()32f x x π
α=+++．又当5[,]36
x ππ∈-时， 7[0,]36x π
π+∈，故1sin()123x π-≤+≤，从而()f x 在区间π5π36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，
12a =-
，故a =
（19）（本小题满分12分）
设函数32
()33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-。

（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性。

解：（Ⅰ）求导得'2()363f x x ax b =-+。

由于 ()f x 的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-，
所以'(1)11,(1)12f f =-=-，即：
1-3a+3b = -11 解得: 1,3a b ==-．
3-6a+3b=-12
（Ⅱ）由1,3a b ==-得：'22
()3633(23)3(1)(3)f x x ax b x x x x =-+=--=+- 令f ′（x ）＞0，解得 x ＜-1或x ＞3；又令f ′（x ）< 0，解得 -1＜x ＜3.
故当x ∈（-∞, -1）时，f (x )是增函数，当 x ∈（3,+∞）时，f(x)也是增函数，
但当x ∈（-1 ，3）时，f(x)是减函数.
（20）（本小题满分12分）
如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，
11,1AB BB ==，E 为1BB 上使11B E =的点。

平面1AEC 交1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求：
（Ⅰ）异面直线AD 与1C G 所成角的大小；
（Ⅱ）二面角11A C G A --的正切值；
解法一：（Ⅰ）由111//AD D G C GD ∠知为异面直线AD 与1C G 所成角．（如图1）
连接1C F ．因为ＡＥ和1C F 分别是平行平面1111ABB A CC D D 1和与平面AEC G 的交线，
所以AE//1C F ,由此得111
D F BF FDG FDA DG =∆∆⇒= 116Rt C D G π∆∠=
1111在中,由C D =1得C GD
（Ⅱ）作11D H C G ⊥于H,由三垂线定理知 11,FH C G D HF ⊥∠11故为二面角F-C G-D
即二面角11A C G A --的平面角.
1162
Rt HD G H D H π∆∠==11在中,由D GD 得.
从而111tan 2D F D HF D H ===. 解法二：（Ⅰ）由111//AD D G C GD ∠知为异面直线AD 与1C G 所成角．（如图2）
因为1EC 和AF 是平行平面11BB C D 111C 与平面AA D 与平面AEC G 的交线，
所以1//EC AF ,
由此得1111
11,14AGA EC B AG AA D G π
∠=∠=⇒==⇒= 116Rt C D G π∆∠=
1111在中,由C D =1得C GD （Ⅱ）111146AC G AC G ππ∆∠∠∠1111在中,由C A G=,A GC =知为钝角。

作111A H GC GC ⊥交的延长线于H,连接AH ，由三垂线定理知
1,GH AH A HA ⊥∠11故为二面角A-C G-A 的平面角.
111,6Rt A HG H H π∆∠==11在中,由A GA 得A
从而111tan 2A A A HA A H ===.
解法三：（Ⅰ）以1A 为原点，A 1B 1，A 1D 1，A 1A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图3
所示的空间直角坐标系，于是，11),(1,1,0),(0,11),(1,0,1),A C D E
1(0,1,0),(0,1,1).AD EC ==-因为1EC 和AF 是平行平面
11BB C D 111C 和AA D 与平面AEC G 的交线，所以1//EC AF ．设Ｇ（0,y,0）,则
11(0,,13).//AG y EC AG
y =--⇒=由
,
于是1y =. 故1(0,1(1G C G =-.设异面直线AD 与1C G 所成的角的大小为θ,则:
113c o s A D C G
A D C G θ⋅==⋅,从而 .6πθ= （Ⅱ）作11A H C G ⊥ H,由三垂线定理知1,GH AH A HA ⊥∠11故为二面角A-C G-A
的平面角. 设H （a,b,0）,则:11(,,0),(1
,1,0)A H a b C H a b ==--.由11A H C G ⊥得
: 110,C H C G ⋅=由此得……①
又由1111,,//,1a H C G C H C G -⇒=-共线得,于是
1)0.b +-= ……②
联立①②得
:3131,.(,)4444
a b H ==故, 由2211331313()()
,13
A H A A +++=+==+ 得: 111tan 2A A A HA A H ===.
（21）（本小题满分12分）
已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a
+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，
求k 的取值范围； 解：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以()f x =0，即111201()22
x
x b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= -f （-1）知1
1122 2.41a a a -
-=-⇒=++ （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知11211()22221
x x x f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数。

又因()f x 是奇函数，从而不等式： 22
(2)(2)0f t t f t k -+-<
等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得：
2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->， 从而判别式1
4120.3
k k ∆=+<⇒<- 解法二：由（Ⅰ）知112()22
x
x f x +-=+．又由题设条件得：
2222222121121202222t t t k t t t k ---+-+--=<++， 即 ：2222212212(22)(12)(22)(12)0t k t
t t t t k -+--+-+-++-<， 整理得 23221,t t k -->因底数2>1,故:2320t t k -->
上式对一切t R ∈均成立，从而判别式1
4120.3k k ∆=+<⇒<-
（22）（本小题满分12分）
如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，
过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点(,)n n n B s t 。

（Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；
（Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点。

试证：112221n n n FC FC FC -+++
+=-+；
证明：（Ⅰ）对任意固定的1,n ≥因为焦点F （0,1）,所以可设直线n n A B 的方程为
1,n y k x -=将它与抛物线方程24x y =联立得:
2440n x k x --=,由一元二次方程根与系数的关系得4(1)n n x s n =-≥． （Ⅱ）对任意固定的1,n ≥利用导数知识易得抛物线24x y =在n A 处 的切线的斜率,2
n n A x k =故24x y =在n A 处的切线的方程为： ()2
n n n x y y x x -=-，……① 类似地，可求得24x y =在n B 处的切线的方程为：
()2
n n n s y t x s -=
-，……②
由②－①得：22222244
n n n n n n n n x s x s x s y t x ---=-+=-， 22,242n n n n n n x s x s x s x x --+=∴=……③ 将③代入①并注意4n n x s =-得交点n C 的坐标为(
,1)2n n x s +-． 由两点间的距离公式得：2222()42244
n n n n n x s x s FC +=+=++ 2224222(),422n n n n n n n
x x x FC x x x =++=+⇒=+． 现在2n n x =，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：
12121221121111()2()21111(222)2()(21)(22)22 1.2222n n n n n n n n n FC FC FC x x x x x x --+++
+=+++++++=+++++++
=-+-=-+
2006年普通高等学校招生全国统一考试
（重庆卷）数学（文史类）（编辑：ahuazi ）
参考公式：
如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+
如果事件A B 、相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：
()(1)k k n k n n P k C p p -=-
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题
给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}, A ={2,4,5,7},B ={3,4,5},则()()A B =U U 痧（ D ）
（A ）{1,6} （B ）{4,5} （C ）{2,3,4,5,7} （D ）{1,2,3,6,7}
解：()()A B =U U 痧｛1，3，6｝｛1，2，6，7｝＝｛1，2，3，6，7｝故选D
（2）在等差数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为( D )
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8
解：a 3a 7＝a 52＝64，又0n a >，所以5a 的值为8，故选D
（3）以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为( C )
（A ）22(2)(1)3x y -++= （B ）22
(2)(1)3x y ++-=
（C ）22(2)(1)9x y -++= （D ）22(2)(1)3x y ++-=
解：r
＝3，故选C
（4）若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是( D )
（A ）过P 只能作一条直线与平面α相交 （B ）过P 可作无数条直线与平面α垂直
（C ）过P 只能作一条直线与平面α平行 （D ）过P 可作无数条直线与平面α平行 解：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已
知平面平行。

故选D
（5）()5
23x -的展开式中2x 的系数为( B ) （A ）－2160 （B ）－1080 （C ）1080 （D ）2160
解：5551552332r r r r r r r r T C x C x ⨯－－－＋＝（）（－）＝（－），由5－r ＝2解得r ＝3，故所求
系数为
322532C ⨯⨯（－）＝－1080故选B （6）设函数()y f x =的反函数为1
()y f x -=，且(21)y f x =-的图像过点1(,1)2
， 则1()y f x -=的图像必过( C )12
（A ）1(,1)2 （B ）1(1,)2
（C ）(1,0) （D ）(0,1) 解：当x ＝12时，2x －1＝0，即y ＝f （x ）的图象过点（0，1），所以1()y f x -=的图像必过（1，0）故选C
（7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店
有195家。

为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。

若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是( C )
（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）13
解：各层次之比为：3075195＝2513，所抽取的中型商店数是5，故
选C
（8）已知三点(2,3),(1,1),(6,)A B C k --，其中k 为常数。

若AB AC =，则AB 与AC 的夹角为 ( D )
（A ）24arccos()25-
（B ）2
π或24arccos 25 （C ）24arccos 25 （D ）2
π或24arccos 25π- 解：由AB AC =解得k ＝0或6，当k ＝0时，AB 与AC 的夹角为2
π，当k ＝6时，AB 与AC 的夹角为24arccos 25π-，故选D （9）高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目
的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( B )
（A ）1800 （B ）3600 （C ）4320 （D ）5040
解：不同排法的种数为5256A A ＝3600，故选B
（10）若,(0,)2π
αβ∈，cos()22β
α-=,1sin()22
αβ-=-，则c o s ()αβ+的值等于( B )
（A ） （B ）12- （C ）12
（D 解：由,(0,)2παβ∈，则242βππα∈－（－，），224αππ
β∈－（－，），又
cos()2β
α-=1sin()22αβ-=-，所以26βπα±－＝，26
απβ－＝－ 解得3π
αβ＝＝，所以 cos()αβ+＝12
-，故选B （11）设11229(,),(4,),(,)5
A x y
B
C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是 “128x x +=”的( A )
（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要
解：a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝
45，F （4，0），由焦半径公式可得|AF|＝5－45
x 1， |BF|＝5－45×4＝95，|CF|＝5－45x 2，故,,AF BF CF 成等差数列（5－45
x 1）＋（5－45x 2）＝2×95⇔128x x +=故选A （12）若,,0a b c >且2
22412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是( A )
（A ） （B ）3 （C ）2 （D 解：（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝12＋（b －c ）2
12，当且仅当b ＝c 时取等号，故选A
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。

把答案填写在答题卡相应位置上。

（13）已知sin 5α=，2
παπ≤≤，则tan α= -2 。

解：由sin α=，2παπ≤≤⇒
cos
tan α=－2 （14）在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 2n-1 。

解：由12(1)n n a a n +=+≥可得数列{}n a 为公差为2的等差数列，又11a =，所以
n a =2n －1
（15）设0,1a a >≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值，
则不等式log (1)0a x ->
解：由0,1a a >≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值可知a 1，所以 不等式log (1)0a x ->可化为x －11，即x 2.
（16）已知变量x ，y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩。

若目标函数z ax y =+（其中0a >）
仅在点(3,0)处取得最大值，则
a
解：画出可行域如图所示，其中B （3
C （1，1），
D （0，1），若目标函数z ax =+得最大值，必在B ，C ，D 3a a ＋1且3a 1，解得a
12
： 三．解答题：本大题共6小题，共76分。

解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。

办公室只有一部电话机，
设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为16、13、12。

若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。

求：
（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；
（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；
解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，
所求概率为：3331111()()().6326p =++=
（Ⅱ）这是n=3，p= 16
的独立重复试验，故所求概率为： 2233155(2)()().6672
P C ==
（18）（本小题满分13分）设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++
（其中0,a R ω>∈）。

且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是
6π。

（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果()f x 在区间5[,]36ππ
-，求a 的值；
解：（I ）1()2sin 2sin(2)22232
f x x x x a πωωαω=+++=+++ 依题意得 126322
π
π
π
ωω⋅+=⇒=．
（II ）由（I ）知，()sin()32f x x π
α=+++．又当5[,]36
x ππ∈-时， 7[0,]36x π
π+∈，故1sin()123x π-≤+≤，从而()f x 在区间π5π36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，
12a =-
，故a =
（19）（本小题满分12分）
设函数32
()33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-。

（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性。

解：（Ⅰ）求导得'2()363f x x ax b =-+。

由于 ()f x 的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-，
所以'(1)11,(1)12f f =-=-，即：
1-3a+3b = -11 解得: 1,3a b ==-．
3-6a+3b=-12
（Ⅱ）由1,3a b ==-得：'22
()3633(23)3(1)(3)f x x ax b x x x x =-+=--=+- 令f ′（x ）＞0，解得 x ＜-1或x ＞3；又令f ′（x ）< 0，解得 -1＜x ＜3.
故当x ∈（-∞, -1）时，f (x )是增函数，当 x ∈（3,+∞）时，f(x)也是增函数，
但当x ∈（-1 ，3）时，f(x)是减函数.
（20）（本小题满分12分）
如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，
11,1AB BB ==，E 为1BB 上使11B E =的点。

平面1AEC 交1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求：
（Ⅰ）异面直线AD 与1C G 所成角的大小；
（Ⅱ）二面角11A C G A --的正切值；
解法一：（Ⅰ）由111//AD D G C GD ∠知为异面直线AD 与1C G 所成角．（如图1）
连接1C F ．因为ＡＥ和1C F 分别是平行平面1111ABB A CC D D 1和与平面AEC G 的交线，
所以AE//1C F ,由此得111
D F BF FDG FDA DG =∆∆⇒= 116Rt C D G π∆∠=
1111在中,由C D =1得C GD
（Ⅱ）作11D H C G ⊥于H,由三垂线定理知 11,FH C G D HF ⊥∠11故为二面角F-C G-D
即二面角11A C G A --的平面角.
1162
Rt HD G H D H π∆∠==11在中,由D GD 得.
从而111tan 2D F D HF D H ===. 解法二：（Ⅰ）由111//AD D G C GD ∠知为异面直线AD 与1C G 所成角．（如图2）
因为1EC 和AF 是平行平面11BB C D 111C 与平面AA D 与平面AEC G 的交线，
所以1//EC AF ,
由此得1111
11,14AGA EC B AG AA D G π
∠=∠=⇒==⇒= 116Rt C D G π∆∠=
1111在中,由C D =1得C GD （Ⅱ）111146AC G AC G ππ∆∠∠∠1111在中,由C A G=,A GC =知为钝角。

作111A H GC GC ⊥交的延长线于H,连接AH ，由三垂线定理知
1,GH AH A HA ⊥∠11故为二面角A-C G-A 的平面角.
111,6Rt A HG H H π∆∠==11在中,由A GA 得A
从而111tan 2A A A HA A H ===.
解法三：（Ⅰ）以1A 为原点，A 1B 1，A 1D 1，A 1A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图3
所示的空间直角坐标系，于是，11),(1,1,0),(0,11),(1,0,1),A C D E
1(0,1,0),(0,1,1).AD EC ==-因为1EC 和AF 是平行平面
11BB C D 111C 和AA D 与平面AEC G 的交线，所以1//EC AF ．设Ｇ（0,y,0）,则
11(0,,13).//AG y EC AG
y =--⇒=由
,
于是1y =. 故1(0,1(1G C G =-.设异面直线AD 与1C G 所成的角的大小为θ,则:
113c o s A D C G
A D C G θ⋅==⋅,从而 .6πθ= （Ⅱ）作11A H C G ⊥ H,由三垂线定理知1,GH AH A HA ⊥∠11故为二面角A-C G-A
的平面角. 设H （a,b,0）,则:11(,,0),(1
,1,0)A H a b C H a b ==--.由11A H C G ⊥得
: 110,C H C G ⋅=由此得……①
又由1111,,//,1a H C G C H C G -⇒=-共线得,于是
1)0.b +-= ……②
联立①②得
:3131,.(,)4444
a b H ==故, 由2211331313()(
),13
A H A A +++=+==+ 得: 111tan 2A A A HA A H ===.
（21）（本小题满分12分）
已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a
+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，
求k 的取值范围； 解：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22
x
x b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= -f （-1）知1
1122 2.41a a a -
-=-⇒=++ （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知11211()22221
x x x f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数。

又因()f x 是奇函数，从而不等式： 22
(2)(2)0f t t f t k -+-<
等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得：
2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->， 从而判别式1
4120.3
k k ∆=+<⇒<- 解法二：由（Ⅰ）知112()22
x
x f x +-=+．又由题设条件得：
2222222121121202222t t t k t t t k ---+-+--=<++， 即 ：2222212212(22)(12)(22)(12)0t k t
t t t t k -+--+-+-++-<， 整理得 23221,t t k -->因底数2>1,故:2320t t k -->
上式对一切t R ∈均成立，从而判别式1
4120.3k k ∆=+<⇒<-
（22）（本小题满分12分）
如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，
过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点(,)n n n B s t 。

（Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；
（Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点。

试证：112221n n n FC FC FC -+++
+=-+；
证明：（Ⅰ）对任意固定的1,n ≥因为焦点F （0,1）,所以可设直线n n A B 的方程为
1,n y k x -=将它与抛物线方程24x y =联立得:
2440n x k x --=,由一元二次方程根与系数的关系得4(1)n n x s n =-≥． （Ⅱ）对任意固定的1,n ≥利用导数知识易得抛物线24x y =在n A 处 的切线的斜率,2
n n A x k =故24x y =在n A 处的切线的方程为： ()2
n n n x y y x x -=-，……① 类似地，可求得24x y =在n B 处的切线的方程为：
()2
n n n s y t x s -=-，……② 由②－①得：22222244
n n n n n n n n x s x s x s y t x ---=-+=-， 22,242
n n n n n n x s x s x s x x --+=∴=……③ 将③代入①并注意4n n x s =-得交点n C 的坐标为(
,1)2n n x s +-． 由两点间的距离公式得：2222()42244
n n n n n x s x s FC +=+=++ 2224222(),422n n n n n n n
x x x FC x x x =++=+⇒=+． 现在2n n x =，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：
12121221121111()2()21111(222)2()(21)(22)22 1.2222n n n n n n n n n FC FC FC x x x x x x --+++
+=+++++++=+++++++=-+-=-+
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——培根
学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。

——阿卜·日·法拉兹。