1.第一讲：函数的概念、解析式、定义域和值域

1.第一讲：函数的概念、解析式、定义域和值域
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第一讲函数的概念、解析式、定义域和值域
一、引言
1．本节的地位：函数是整个高中数学的重点，而函数的概念、解析式、定义域和值域又是研究函数的基本出发点，对于研究函数的性质和图象有着极其重要的作用，也是每年高考试卷必考的内容之一，因此本讲内容在高考中占据十分重要的地位．
2．考纲要求：了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；能根据不同需要选择恰当的方法表示函数；能运用求值域的常用方法解决实际问题和最优问题．
3．考情分析：涉及本讲内容的问题仍将出现在2010年高考试题中，函数的概念要求较低，以函数解析式、定义域的考查为主，题型以选择题和填空题为主．
二、考点梳理
1．函数的概念：
设A，B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()
f x和它对应，那么就称
据函数的定义：“集合M中的任一元素，在对应法则f作用下，在集合N中都有唯一元素与之对应．”由此逐一进行判断即可．
解：对于图A：M中属于(]1,2的元素，在N中没有象，不符合定义；
对于图B：符合M到N的函数关系；
对于图C：M中有一部分的元素的象不属于集合N，因此它不表示M到N的函数关系；
对于图D：其象不唯一，因此也不表示M到N 的函数关系．
由上分析可知，应选B．
归纳小结：（1）该题考查了函数概念，函数概念的本质是两个集合之间的对应关系，因此在求解该题时要从定义出发，注意集合M中元素的任意性和集合N中元素的唯一性，将这种对应关系与图象结合起来．
（2）在问题的解决过程中，将图形语言与代数语言有效地结合并合理转化，因此要注意培养数形结合的数学思想，提高数学转化能力和抽象思维能力．
例2 已知下列几组函数，其中表示同一函数的有（）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
①()()2,f x x g x x ==
②()()33,f x x g x x == ③()()21,11
x f x g x x x -==-+； ④()()211,1f x x x g x x =-+=-
⑤()221f x x x =--，()221g t t t =--．
分析：根据函数的定义可以判定，两个函数
相同，则它们的对应法则、定义域、值域都相同，因此要从函数的三要素角度进行观察、对比．
解：①中()g x x =，两个函数的解析式不同；
②中()g x x =，所以与()f x 表示同一函数；
③中()f x 定义域为{}1x x ≠-，而()g x 的定义域为
R ；
④中()f x 定义域为{}1x x ≥，而()g x 的定义域为
{}11x x x ≥≤-或；
⑤两个函数的解析式、定义域相同，所以表
示同一函数．
所以选择C ．
归纳小结：（1）实际上判断两个函数是否为
同一函数，只需看函数的两个要素：定义域和对应法则．只有当两个函数的定义域与对应法则都
分别相同时，这两个函数才是同一函数．
（2）该题仍涉及的考点是函数概念．在解
决问题的过程中注意对概念和定义的灵活运用，不断提高数学知识的应用和转化能力．
（3）第⑤小题易错判断成它们是不同的函
数，原因是对函数的概念理解不透．在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如()21f x x
=+，()21f t t =+，
()()2111f u u +=++，都可视为同一函数． 例 3 ①已知两个函数
()()()2,0,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，()()()21,0,0x x
g x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩当0x <时,求()f g x ⎡⎤⎣⎦及()g f x ⎡⎤⎣⎦的解析式；
分析：由于函数()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦中的变元成为
()g x 和()f x ，所以只需要进行代换即可．
解：∵0x <，
∴()()()2224f g x f x x x ===⎡⎤⎣⎦，()()1g f x g x x
=-=-⎡⎤⎣⎦． ②已知45)1(2+-=+x x x f ，求()f x 的解析式；
分析：f 的作用下变元是1x +，因此只需把1
x +看成是整体，通过配凑的方式把解析式中的变元转化为1x +的形式，或仍将x 视为变元，通过换元
得到关于x 的解析式．
解法一：∵
()()22(1)5417110f x x x x x +=-+=+-++，∴()2710f x x x =-+．
解法二：令
1x t +=，则1x t =-，∴()()()221514710f t t t t t =---+=-+．
∴()2710f x x x =-+．
③已知()1210x f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，求()f x 的解析式． 解：由()1210x
f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
． ① 可得()11210x
f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ②
由①②解得()121101033
x x
f x =⋅-⋅． 归纳小结：（1）该题主要考查了函数的解析
式的求解方法，能灵活地根据题目条件选择恰当地方法得到函数的解析式，其中涉及多种数学思想，如函数与方程的思想、分类讨论思想等，注重对分析问题和解决问题能力的考查．
（2）根据已知条件求函数的解析式常用待
定系数法、换元法、配方法、赋值法、解方程组法等．
①当所求函数的解析式的形式已知（如二次
函数、指数函数等）常用待定系数法．
②已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式，求()f x 的表达式，常
用配方法或换元法．
③由简单的函数方程求函数的表达式，常用
赋值法及解方程组法．
例4（2007年安徽卷）如图所示中的图象所表
示的函数的解析式为（ ）
A ．()3|1|022y x x =-≤≤
B ．()33|1|0222
y x x =--≤≤ C ．()3|1|022
y x x =--≤≤ D ．()1|1|02y x x =--≤≤
分析：本题是由图形判断函数的解析式，由
于图象在定义域[][]0,1,1,2都是线段，因此其解析式都是一次函数型，利用待定系数法，分别求出各定义域上的解析式即可．另外在图象上给出了三
个特殊点()()30,0,1,,2,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以还可以考虑特殊值法． 解：由图象可知，当01x ≤≤时，3
2
y x =；当12x ≤≤时，3
32
y x =-； ∴3
31,0222
y x x =--≤≤．
∴应选B．
另解：（特殊值法）分别代入0,1
x x
==进行验证，只有选项B符合条件．
归纳小结：（1）本题考查了函数解析式与图象之间的关系，和分段函数解析式的表达形式，考查了数形结合思想和灵活解题能力．
（２）根据图象求函数解析式或判断函数性质，要注意在不同的函数自变量的取值范围内采用恰当的方法求出函数解析式．如果所求结果能用一个解析式综合，则应写成一个解析式的形式，否则应采用分段函数形式．
（３）特殊值法的使用可以简化计算过程，降低难度，因此要注意使用．
例5（2008湖北卷）已知函数
2
()962
f bx x x
=-+,其中x R∈,,a b为常数，则=++,2
()2
f x x x a
方程()0
f ax b
+=的解集为．
分析：利用待定系数法确定a，b的值，确定
方程()0f ax b +=形式，从而求解．
解：∵2()2f x x
x a =++， ∴22()2f bx b x bx a =++．
∵2()962f bx x x =-+，
∴2,3a b ==-． ∴()()
()22()232322324850f ax b f x x x x x +=-=-+-+=-+=． ∵644200∆=-⨯<，
∴方程()0f ax b +=的解集为∅．
归纳小结：（1）本题考查了函数的待定系数
法求函数的解析式、二次方程的解法的知识点，考查计算和推理能力．
（2）运用待定系数法求含参数解析式中，
要注意恒等代数式两边对应系数相等，从而确定参数．
例6（2008湖北卷）函数
221()ln(3234)f x x x x x x =-+--+的定义域为（ ）
A ．(,4]
[2,)-∞-+∞ B ．(4,0)(0.1)- C ．[4,0)(0,1]－ D ．[4,0)(0,1)-
分析：由于函数的解析式已经明确，并且没
有特殊标明定义域，所以定义域为使函数解析式有意义的自变量的取值范围．
解：
2222320340323400x x x x x x x x x ⎧-+≥⎪--+≥⎪⎨-+--+>⎪≠⎩，可解得函数定义域为[4,0)(0,1)-．
归纳小结：（１）本题考查了函数定义域的
意义和基本解法，考查了分析问题和解决问题的能力．2232340x x x x -+--+>对特殊点1x =的验证，考查了思维的全面性．
（２）若已知函数解析式，且没有特别要求
定义域，则函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围．
当()f x 是整式时，定义域是全体实数；
当()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为
零的一切实数；
当()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式
为非负实数的集合；
当()f x 是对数函数时，满足真数大于零；当
对数或指数函数的底数中含参数时，底数须大于零且不等于1；
在tan y x =中()2
x k k Z π
π≠+∈；在cot y x =中()x k k Z π≠∈； 零指数幂的底数不能为零．
注意：在实际问题中，函数的定义域要受到
实际意义的限制．
例7 设函数()y f x =的定义域为[]0,1，求函数
()()()()0F x f x a f x a a =++->的定义域．
分析：该题已知函数()y f x =的定义域，求含
有参数的解析式的定义域，显然要对a 进行分类讨论．由于函数()f x 是抽象函数，所以在求函数()f x a +和()f x a -的定义域时，把握在f 的作用下，括号里的变元范围相同．在分别求出()f x a +和()f x a -定义域的基础上，求()F x 的定义域是根据a 的范围求出的交集．
解：由01,01,x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩ 得1,1.a x a a x a -≤≤-⎧⎨≤≤+⎩
∵0a >，∴,11a a a a -<-<+．
（1）当1a a -=，即12a =时，12
x =； （2）当1a a ->，即12
a <时，1a x a ≤≤-． ∴当102
a <≤时，()F x 的定义域为[],1a a -． 归纳小结：（1）该题考查了抽象函数定义域，体现了对分类讨论思想和逆向思维能力的考查．
（2）求复合函数的定义域：若已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的
定义域为(),x a b ∈，求()f x 的定义域只需利用a x b <<，
求出()g x 的范围，而()g x 的范围就是()f x 的定义域；若已知()f x 的定义域为(),x a b ∈，求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，只需由()a g x b <<，求出x 的范围，即为()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域．在某些情况下，也可以先求出函数的解析式，由解析式求出()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域．
求运算型解析式的定义域：当()f x 是由有限
个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
例8（2007年北京卷）已知函数()()x g x f ,分别由
下表给出：
则()[]1g f 的值 ；满足()[]()[]x f g x g f >的x 的
值 ．
分析：本题中的函数()()x g x f ,由列表法进行表
示，只需将x 进行逐个验证即可．
解：∵()13g =，∴()()131f g f ==⎡⎤⎣⎦；
当1x =时，()()131f g f ==⎡⎤⎣⎦，()()113g f g ==⎡⎤⎣⎦；
当2x =时，()()223f g f ==⎡⎤⎣⎦，()()231g f g ==⎡⎤⎣⎦；
当3x =时，()()311f g f ==⎡⎤⎣⎦，()()313g f g ==⎡⎤⎣⎦．
所以2x =．
归纳小结：（1）本题考查了函数概念、表达
形式、函数值等知识，考查了转化、化归思想和分析问题和解决问题的能力．
（2）函数表达形式有解析式法、图象法和
列表法．其中列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．因此在解决本题时只需把x 的值逐个代入验证即可．
例9（2008江西卷）若函数()y f x =的值域是1[,3]2
，则函数1()()()
F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23
D ．10[3,]3
解：∵()0f x >， ∴1()()2()
F x f x f x =+≥．当且仅当()2f x =号．
当()12f x =时，5()2
F x =； 当()3f x =时，()103
F x =．
所以()F x 的值域为10[2,]3
，选B ． 归纳小结:(1)本题考查了函数的值域、均值
不等式等基本知识，还考查了函数与不等式的转化与整合的数学思想和计算、推理能力．
（2）求函数值域的方法比较多，常见的主
要有：
①直接法；②反函数法；③配方法；④分离
常数法；⑤不等式法；⑥换元法；⑦判别式法；⑧数形结合法；⑨导数法等．
本题从函数形式及()f x 的值域可以判断出使
用不等式法确定()F x 的最小值，再比较连续函数()F x 在闭区间上的端点值中的较大值，从而判断
出所求值域． 例10(2007浙江卷)设()⎩⎨⎧<≥=1,1
,2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的值域是（ ）
A ．
(][)+∞-∞-,11, B ．(][)+∞-∞-,01, C ．[)+∞,0 D ．[)+∞,1
解：由函数()f x 解析式可知当(][)
,10,x ∈-∞-+∞时，()0f x ≥，所以()[]x g f 的值域是[)+∞,0时，()(]
[),10,g x ∈-∞-+∞．因为()g x 是二次函数，结合选项，
判断选C ．
归纳小结：（１）本题考查了复合函数的值
域与分段函数、二次函数的知识，考查了二次函数的图象与值域的判断方法，考查了数形结合思想．
（２）本题在求解过程中要注意结合选项合
理地进行取舍．
（３）求函数值域没有固定的方法和解题模
式，要熟悉几种常见的求值域的方法，在问题解决过程中选择最优解法．
例11（2009年海南卷）用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个
数中的最小值．设(){}()min 2,2,100x
f x x x x =+-≥，则()f x 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
分析：利用作差法比较难以解决本题，因此
可以结合图象解决问题．
解：画出2x
y =，2y x =+，10y x =-的图象，如右图，观察图象可知，当02x ≤≤时，()2x
f x =，当23x ≤≤时，()2f x x =+，当4x >时，()10f x x =-．所以()f x 的最大值在4x =时取得为6，故选C ．
归纳小结：（1）本题主要考查了初等函数的
图象与函数值的大小比较，考查数形结合思想和转化思想，考查了识图和用图的能力和知识迁移能力．
（2）利用图象解决函数的最大值和最小值
是一种常见的考题形式，要熟记几种基本函数的图象与性质．
（3）本题是有一定创新意义的问题，抓住
问题的定义，转化为绘制()f x 的图象成为解题关键．
例12 定义在*
N 上的函数()f x 满足()11f =，且()()()1,21,f n n f n f n n ⎧⎪+=⎨⎪⎩
为偶数,为奇数,则()22______f =． 分析：本题考查了抽象分段函数求函数值的
问题．如果直接求解，则未知条件较多，因此从题目条件入手，对n 分类讨论，找到()f n 与()1f n +的关系成为解题关键．
解：由()()()1,21,f n n f n f n n ⎧⎪+=⎨⎪⎩
为偶数,为奇数,得： 当n 为偶数时，()()112f n f n +=；
当n 为奇数时，()()1f n f n +=．
所以()()()()()()()()()()
()21203222211201921f f f f f f f f f f f ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()()()()()()1021193112018221024f f f f f f ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭．
归纳小结：（1）本题考查了求分段函数和抽
象函数的函数的知识和方法，考查了数形结合思想，以及根据条件分析问题、灵活解题的能力．
（2）对于抽象函数的问题的解决，要根据
问题和条件灵活地进行变形，合理地推理分析是关键．
四、本专题总结
1．要深化对函数概念的理解，从函数三要
素（定义域、值域与对应法则）整体上去把握函数概念．在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是函数的核心，因值域可由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．
2．求函数解析式的方法主要有：待定系数法、换元法、配方法、函数方程法、赋值法等．已知函数为某类基本初等函数时用待定系数法，已知复合函数的问题时用换元法或配方法，抽象型函数问题一般用赋值法或函数方程法．
3．求函数定义域的常见题型及求法：
（1）已知函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可．
（2）已知()
f g x
⎡⎤
⎣⎦的定义域为A，求()
f x的定义
域，实质上求()
g x在A上的值域；已知函数()
f x的
定义域为A，求函数()
f g x
⎡⎤
⎣⎦
的定义域，实质上使()
g x A
∈，解不等式即可．
（3）涉及实际问题的定义域问题必须考虑问题的实际意义．
（4）当解析式中含有参数时，需对参数进行讨论．
4．定义域问题经常作为基本条件出现在试题中，具有一定的隐蔽性．所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点．。