广西桂林中学2016-2017学年高二(下)开学数学试卷(文科)

2016-2017学年广西桂林中学高二（下）开学数学试卷（文科）
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.
1．下列结论正确的是（）
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a＞b，c＜0，则a+c＜b+c D．若＜，则a＜b
2．函数y=sinx﹣cosx，则f'（π）的值是（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．π
3．设p，q是两个命题，若（￢p）∧q是真命题，那么（）
A．p是真命题且q是假命题B．p是真命题且q是真命题
C．p是假命题且q是真命题D．p是真命题且q是假命题
4．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线的右焦点，则此抛物线的方程是
（）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=10x D．y2=20x
5．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）
A．尺B．尺C．尺D．尺
6．若△ABC的角A，B，C对边分别为a、b、c，且a=1，∠B=45°，S△ABC=2，则b=（）
A．5 B．25 C．D．
7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y（）
A．有最小值3，无最大值B．有最小值5，无最大值
C．有最大值3，无最小值D．有最大值5，无最小值
8．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：
偏爱蔬菜偏爱肉类合计
50岁以下4812
50岁以上16218
合计201030
则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）
附：参考公式和临界值表（其中n=a+b+c+d）k 2.706 3.841 6.63610.828
P（K2＞k）0.100.050.0100.001
A．90% B．95% C．99% D．99.9%
9．函数f（x）=lnx+在区间B．（﹣∞，2）C．﹣2，2﹣1，2﹣1，2，e2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）
A．（﹣∞，22，+∞） D．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】由题意可得，当x≥2时，f′（x）=﹣≥0，即a≤x，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+在区间，
故选：A．
10．要做一个圆锥形漏斗，母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为（）A．cm B．20cm C．10cm D．cm
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】设出圆锥的高，求出底面半径，推出体积的表达式，利用导数求出体积的最大值时的高即可．
【解答】解：设圆锥的高为x，
则底面半径为，
其体积为V=πx（0＜x＜20），
V′=π，令V′=0，
解得x1=，x2=﹣（舍去）．
当0＜x＜时，V′＞0；
当＜x＜20时，V′＜0；
∴当x=时，V取最大值．
故选A．
11．若b＞a＞3，f（x）=，则下列各结论中正确的是（）
A．B．C．f（）＜f（）＜f（a）D．f（b）＜f（）＜f（）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3F：函数单调性的性质．
【分析】对f（x）=进行求导，求出其单调区间，再根据均值不等式判断，ab，a，的大小，从而判断其函数值的大小；
【解答】解：∵f（x）=，
∴f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=e，
当x≥e时，f′（x）＜0，为减函数，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，为增函数，
∵b＞a＞3＞e，
∴ab＞b＞＞＞a＞e，
∴f（a）＞f（）＞f（）＞f（b）＞f（ab），
故选D．
12．设F1，F2分别为﹣=1（a＞0，b＞0）双曲线a≥1的左、右焦点，双曲线上存
在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．4 D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，结合双曲线的定义分析可得（2a）2=b2﹣3ab，进而变形可得，由双曲线离心率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，
又由||PF1|﹣|PF2||=2a，
则有（2a）2=b2﹣3ab，变形可得4a2+3ab﹣b2=0，所以，
所以，
故选D．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．曲线C：y=xlnx在点M（e，e）处的切线方程为y=2x﹣e．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先求导函数，求曲线在点（e，e）处的切线的斜率，进而可得曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线方程
【解答】解：求导函数，y′=lnx+1
∴当x=e时，y′=2
∴曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线方程为y﹣e=2（x﹣e）
即y=2x﹣e
故答案为：y=2x﹣e．
14．若x＞2，则x+的最小值为6．
【考点】7F：基本不等式．
【分析】本题可以配成积为定值形式，然后用基本不等式得到本题结论．
【解答】解：∵x＞2，
∴x﹣2＞0．
∴x+=≥=6．
当且仅当，即x=4时，取最小值．
故答案为6．
15．已知等比数列{a n}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a3=16．
【考点】89：等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：根据题意可得，，
∴．
故答案为：16．
16．已知p：x＜﹣3或x＞1，q：x＞a，若¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围a≥1．
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，即可得出．【解答】解：∵￢p是￢q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，
∴a≥1．
故答案为：a≥1．
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinC=ccosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=，c=3，求△ABC的面积．
【考点】HP：正弦定理．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sinC≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tanA=，结合A的范围由特殊角的三角函数值即可得解A的值．
（2）由余弦定理可求b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵asinC=ccosA，
由正弦定理得sinAsinC=sinCcosA，…
∵sinC≠0
∴sinA=cosA，即tanA=，
∵A∈（0°，180°），
∴A=60°，…
（2）∵A=60°，a=，c=3，
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：13=b2+9﹣2×，整理可得：b2﹣3b﹣4=0，
∴解得：b=4或﹣1（舍去），
=bcsinA==3．…
∴S
△ABC
18．已知等差数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，已知a2=9，S5=65．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为T n，求T n．
【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用等差数列的求和公式、“裂项求和”方法即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，因为a2=9，S5=65，
所以得∴a n=4n+1．
（2）∵a1=5，a n=4n+1，∴，
∴=，
∴=．
19．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2时取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）在上的最大值是9，求f（x）在上的最小值．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出函数的导数，利用函数的极值，列出方程组求解a，b即可．
（2）利用函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最大值，推出c，然后求解函数的最小值即可．
【解答】解：（1）函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+c，可得f′（x）=6x2+6ax+3b
因为函数f（x）在x=1及x=2时取得极值，则有f′（1）=0，f′（2）=0．
即解得a=﹣3，b=4．
（2）由（1）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+c，f′（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈时，f′（x）＞0；当x∈（1，2﹣1，2，e，e，e hslx3y3h上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，
而f（1）=，f（）=，f（e）=，
∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ），x∈（0，+∞）．
①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）
∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a ≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（）
即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）
整理得ln（a+1）＞﹣1
∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2017年5月26日。