河北省唐山市玉田县2018_2019学年高二数学下学期期中试题理(扫描版)

河北省唐山市玉田县2018-2019学年高二数学下学期期中试题理（扫
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2018---2019学年度第二学期期中考试
高二理科数学参考答案
一、选择题： CBCAD BDBAD CA
二、填空题： 13. 2
(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦
； 14. 2a =- ； 15.52； 16.2e 三、解答题：
17:解：(1)因为 55()()a b a a ++=6556a ab a b a +++=3323344()2()a a a b ab a b +-++
=222
4()ab a b +-4≥
所以55()()4a b a b ++≥……………5分
(2)证明：设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，
则0x a ＝－x 0－2x 0＋1，且0＜0x a ＜1. 所以0＜－x 0－2x 0＋1<1，即12
＜x 0＜2，与假设x 0＜0矛盾． 故方程f (x )＝0没有负数根．-------------------10分
18 . 解 (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原
理，共有C 14C 24C 13×A 22＝144(种)． ……………4分
(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．……………8分
(3)确定2个空盒有C 24种方法．
4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 2
2种方法；第二
类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22
·A 22)＝84(种)．……12分 19.解：
1.根据题意,得()2x f x e x '=-,则()'01f b ==.由切线方程可得切点坐标为()0,0,将其代入()y f x =,得 1a =-,故()2
1x f x e x =--.……………4分 2.令()()21x g x f x x x e x =+-=--由()'10x
g x e =-=,得0?x =, 当(),0x ∈-∞,()'0g x <,()y g x =单调递减;
当()0,x ∈+∞,()'0g x >,()y g x =单调递增.
所以()()min 00g x g ==,所以()2
f x x x ≥-+.……………8分 3. ()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立等价于()f x k x >对任意的()0,x ∈+∞恒成立.
令()()
f x x x ϕ=,0x >,得
()()()
2''xf x f x x x ϕ-==()()2221x x x e x e x x ----=()()211x x e x x ---.
由2可知,当()0,x ∈+∞时, 10x e x -->恒成立,
令()0x ϕ'>,得1x >;令()0x ϕ'<,得01?x <<.
所以()y x ϕ=的单调增区间为()1,+∞,单调减区间为()0,1,
故()()min 12x e ϕϕ==-,所以()min 2k x e ϕ<=-.
所以实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.……………12分
20 解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．
过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，
故OE =40cos θ，EC =40sin θ，
则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ），
△CDP 的面积为
12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）………4分
过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．
令∠GOK =θ0，则sin θ0=
14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2
）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[
14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为
1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14
，1）．……………6分 （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），
则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2
）．……………8分 设f （θ）=sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，
π2）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′
． 令()=0f θ′，得θ=
π6，当∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2
）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=
π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．……………12分 21 （1）由点P 1的坐标为（1，-1）知，a 1=1，b 1=-1，
所以b 2=314121
1=-a b ，a 2=a 1·b 2=31， 所以点P 2的坐标为（31，3
1）， 所以直线l 的方程为2x+y-1=0．
（2）①当n=1时，2a 1+b 1=2×1+（-1）=1，命题成立．
②假设n=k （k≥1，k∈N*）时命题成立，则2a k +b k =1，
所以2a k+1+b k+1=2a k ·b k+1 +b n+l =)12(412+-k k k
a a
b =1212121=--=-k
k k k a a a b ， 所以当n=k+1时，命题也成立．
由①②知，对n∈N*，都有2a n +b n =1，∴对于n N *
∈，点n P 都在（1）中的直线l 上． 22． 解（1）．2222
1(1)(1)()()1a a x a x a x x a f x x x x x ++++++'=++==，0x >，……2分 当0a ≥时，在(0,)x ∈+∞上()0,f x '>()f x 在(0,)+∞上单调递增；……………3分 当0a <时，在(0,-)x a ∈上()0f x '<；在(,)x a ∈-+∞上()0f x '>；
所以()f x 在(0,-)a 上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增．……………5分
综上所述，当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0a <时，()f x 的单调递减区间为(0,-)a ，单调递增区间为(,)a -+∞．……………6分
（2）若在[]1,e 上存在0x ，使得0()0f x <成立，则()f x 在[]1,e 上的最小值小于0． ①当1a -≤，即1a ≥-时，由（1）可知()f x 在[]1,e 上单调递增，
()f x 在[]1,e 上的最小值为(1)f ，由(1)10f a =-<，可得1a >；……………8分 ②当a e -≥，即a e ≤-时，由（1）可知()f x 在[]1,e 上单调递减，
()f x 在[]1,e 上的最小值为()f e ，由()(1)0a
f e a e e =++-<， 可得(1)
1e e a e +<--；……………10分
③当1a e <-<，即1e a -<<-时，由（1）可知()f x 在(1,)a -上单调递减， 在(,)a e -上单调递增，()f x 在[]1,e 上的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=+--+， 因为0ln()1a <-<，所以(1)(1)ln()0a a a +<+-<，
即()(1)ln()1112a a a a a +--+>+-+>，
即()2f a ->，不满足题意，舍去．
综上所述，实数a 的取值范围为()()e e 1,1,e 1⎛+⎫
-∞-+∞ ⎪-⎝⎭
U ．……………12分。