河北省石家庄市2019届高三数学一模考试试题理(扫描版)

令 h(x) x sin x ， h(x) 1 cos x 0 ，所以 h(x) 在 (0, ) 单调递增，
故 h(x) h(0) 0 ，即 x sin x .，故 a sin x x ；
……9 分
只需证 q(x) x ln x x 1 0 ， q(x)= ln x ，当 x (0,1), q(x) 0 ， q(x) 在 (0,1) 单调递减，
……6 分 ……7 分
当 x (0,1), q(x) 0 ， q(x) 在 (0,1) 单调递减； x (1, ), q(x) 0 ， q(x) 在 (1, )
单调递增，故 q(x) q(1) 0 ，即 x ln x x 1 .当且仅当 x 1时取等号
又 0 a 1， x ln x x 1 ax 1（）
综上①②③可知，当 1 a 1 时， f (x) g(x) .
……12 分
法 2： 当 1 a 1 时，下证 x ln x a sin x 1 0 ，即证 x ln x a sin x 1 . ……5 分 ① 当 x 1 时，易知 x ln x 0 ， a sin x 1 0 ，故 x ln x a sin x 1 0 ；……6 分 ②当 x 1 时， 0 a sin11 0 显然成立，故 x ln x a sin x 1 0 ； ……7 分 ③当 0 x 1时， sin x 0 ，故 sin x a sin x sin x ，
程为
y k1( x 1) 2 ， 则 圆 心
M到切线
PA 的 距 离
d

2k1 2 r ， 整 理 得 ， k12 1
(r2 4)k12 8k1 r2 4 0 .
设切线 PB 的方程为 y k2 ( x 1) 2 ,同理可得 (r2 4)k22 8k2 r2 4 0 .
25
25
25
……8 分
当购进 33 份时，利润为
33 4 59 32 4 8 1 31 4 16 3 30 4 24 1 77.88 30 12.96 3.84 124.68
100
4
25
25
……10 分
125.6>124.68
可见，当购进 32 份时，利润更高！……12 分
法 1：要证 x ln x a sin x 1 0 ，即证 x ln x a sin x 1 . ①当 0 a 1时， 令 h(x) x sin x ， h(x) 1 cos x 0 ，所以 h(x) 在 (0, ) 单调递增，
故 h(x) h(0) 0 ，即 x sin x . ax 1 a sin x 1（） 令 q(x) x ln x x 1， q(x)= ln x ，
4k1 k1
，
所以
y1

4 2k1 k1

4 k1
2

4k2
2 ，同理可得
y2

4k1
2.
……8 分
设点 D 的横坐标为 x0 ，则
2(k12 k22 ) 2(k1 k2 ) 1 2(k1 k2 )2 2(k1 k2 ) 3
设
t

k1

k2
，则
2
2
16. 10
三、解答题
17. 解: （1） ∵△ABC 三内角 A、B、C 依次成等差数列，∴B=60°
设 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,由 S 3 3 = 1 ac sin B 可得 ac 12 .……2 分 2
∵ sin C 3sin A ，由正弦定理知 c 3a ，∴ a 2, c 6 .
FNM 为二面角 A BC F 的平面角；…………8 分
点 F 为 PA 中点，点 M 为 AC 中点，
F
在 RtFMN 中， FM 1 PC
3 ， MN
3
，
2
2
FN
15
…………10 分
2
A
M
C
N
B
sin FNM FM
2
5 ,所以二面角 P BC F 的余弦值为 2
5
。…………12 分
FN 5
5
19. 解答：根据题意可得
-6-
P( 30) 1 1 1 5 5 25
P( 31) 1 3 2 3 5 10 25
P( 32) 1 2 2 3 3 1 5 5 10 10 4
P( 33) 1 1 2 3 2 2 7 5 10 10 5 25
(0,
1 e
)
上单调递减，在
(
1 e
,
)
上单调递增，
m(
x)min

m(1)= e

1 e

1，故 x ln x

1
③当 1 a 0 时，
.……10 分
-9-
当 x （0,1] 时， a sin x 1 1，由②知 m(x) x ln x 1 ，而 1 1， ee
故 x ln x a sin x 1 ；
……11 分
当 x （1, ）时， a sin x 1 0 ，由②知 m(x) x ln x m(1) 0 ，
故 x ln x a sin x 1 ；
所以，当 x （0, ）时， x ln x a sin x 1 .
35
36
p
1
3
1
7
11
2
1
25
25
4
25
50
25
100
…………………………………5 分
E(x) 30 1 31 3 32 1 33 7 34 11 35 2 36 1 32.8 ……6 分
25
25
4
25
50
25
100
（2）当购进 32 份时，利润为
32 4 21 31 4 8 3 30 4 16 1 107.52 13.92 4.16 125.6
……4 分
△ABC 中，由余弦定理可得 b2 a2 c2 2ac cos B 28 ，∴b= 2 7 .
即 AC 的长为 2 7
……6 分
（2）∵BD
是
AC
边上的中线，∴
BD

1
(BC

BA)
……8 分
2
∴
2 BD

1
2 (BC

2 BA
20.
解：（1）
由抛物线定义,得
PF
x0
p
，由题意得：
2
-7-
2x0 x0 2 px0 4
p 2

p

0

……2 分
p 2
解得

x0

1
所以，抛物线的方程为 y2 4x
……4 分
（2）由题意知，过 P 引圆 x 32 y2 r2 (0 r 2 ) 的切线斜率存在，设切线 PA 的方
t

8 r2
4
4, 2
，
所以，
x0

2t 2

2t

3
，对称轴 t

1 2

2
，所以
9

x0

37
21.解：（1）
f
( x)

1 x

a 1 x2

x
(a x2
1)（, x

0）
……10 分 ……12 分
-8-
当 a 1 0 时，即 a 1 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 在 (0, ) 上单调递增，无极小值；
当 a 1 时， f (x)极小 1 ln(a 1)
……4 分
（2）令 F (x)

f
(x)
g(x)

ln
x
a 1
a(sin
x 1) 2

x ln
x a sin
x 1 ,(x

0)
x
Байду номын сангаас
x
x
当 1 a 1 时，要证： f (x) g(x) ，即证 F (x) 0 ,即证 x ln x a sin x 1 0 ，
m x1 m 2
3y1 0 3z1 0
解得
x1

3 ， y1 1， z1 0
即 m ( 3, 1,0) …………8 分
xA
设平面 BCF 的一个法向量为 n (x2, y2, z2)
则 CB n x2 3y2 0 CF n x2 3z2 0
P( 34) 3 1 2 2 2 11 10 10 5 5 50
P( 35) 2 1 2 2 5 10 25
P( 36) 1 1 1 10 10 100
……..部分对给 2 分，全对给 4 分
的分布列如下：

30
31
32
33
34
-1-
-2-
-3-
-4-
石家庄 2019 届高中毕业班模拟考试（一） 理科数学答案
一、选择题
A 卷答案：1-5 CDACB 6-10BCCBD 11-12DA
B 卷答案：1-5 CDBCA 6-10ACCAD 11-12DB
二、填空题
13.
1
15. 2
14. y 1 x 2 或 y 1 x 2
……2 分
当 a 1 0 时，即 a 1时， f (x) 0, 0 x a 1，函数 f (x) 在 (0, a 1) 上单调递减；
f (x) 0, x a 1 ，函数 f (x) 在 (a 1, ) 上单调递增；
f (x)极小 =f (a 1) 1 ln(a 1) 综上所述，当 a 1 时， f (x) 无极小值；
由（）、（）可知 x ln x x 1 ax 1 a sin x 1 所以当 0 a 1时， x ln x a sin x 1
……9 分
② 当 a=0 时 ， 即 证 x ln x 1. 令 m(x)=x ln x ， m(x)= ln x 1， m(x) 在
-5-
轴建立空间直角坐标系 C xyz 如图所示：
C(0, 0, 0), P(0, 0, 2 3), A(2, 0, 0), B(1, 3, 0) ，F (1, 0, 3) …………6 分
设平面 PBC 的一个法向量为 m (x1, y1, z1)

则
CB CP
5
。……12 分
5
法 2：由（1）可知平面 PBC 平面 ABC ，
所以二面角 P BC F 的余弦值就是二面角 A BC F 的正弦值，…………6 分
作 FM AC 于点 M ，则 FM 平面 ABC ，
作 MN BC 于点 N ，连接 FN ，则 FN BC
P
解得 x2 3 ， y2 1 ， z2 1 即 n ( 3, 1, 1) …………10 分
mn
cos m,n

3 1 0
2 5
m n 2 3 12 12 5
F B
z P
C M y
由图可知二面角 P BC F 为锐角，所以二面角 P BC F 的余弦值为 2
所以， k1, k2
是方程 (r2

4)k 2
8k

r2

4

0
的两根， k1

k2

8 r2
4
, k1k2
1.
……6 分
设 A( x1, y1) ， B( x2, y2 )
由

y k1( x y2 4x

1)

2
得
，
k1
y2

4
y

4k1

8

0
，
由
韦
达定
理知
，
2
y1

8

2BC BA) =
1
(a2

c2

2ac cos
B)
=
1
(a2

c2

ac)
4
4
4
1 (2ac ac) 9 ，当且仅当 a c 时取“=” 4
∴ BD 3 ,即 BD 长的最小值为 3.
……10 分 ……12 分
18. 解：（1）证明：在 PBC 中， PBC 60o ， BC 2 ， PB 4 ，由余弦定理可得 PC 2 3 ， PC2 BC2 PB2 ， PC BC ，…………2 分 又 PC AB, AB BC B ， PC 又 又 ABC ， PC 又 又 PAC ，又 又 PAC 又 又 ABC .…………4 分 （2）法 1：在平面 ABC 中，过点 C 作 CM CA ，以 CA,CM ,CP 所在的直线分别为 x, y, z