2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：13 变化率与导数、导数的计算

课时作业13 变化率与导数、导数的计算
一、选择题
1．(2019·泰安一模)给出下列结论：
①若y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2；②若y ＝－1x ，则y ′＝12x x ；
③若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－2
27；④若y ＝a x (a >0)，则y ′＝a x ln a .其中正确的个数是( D )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知函数f (x )＝x
e x (e 是自然对数的底数)，则其导函数
f ′(x )＝( B )
A.1＋x e x
B.1－x e x C ．1＋x
D ．1－x
解析：函数f (x )＝x
e x ，则其导函数
f ′(x )＝e x
－x e x
e 2x ＝1－x e x ，故选B.
3．若函数f (x )＝x 3－x ＋3的图象在点P 处的切线平行于直线y
＝2x －1，则点P 的坐标为( C )
A ．(1,3)
B ．(－1,3)
C ．(1,3)或(－1,3)
D ．(1，－3)
解析：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，即3x 2－1＝2⇒x ＝1或－1，又f (1)＝3，f (－1)＝3，所以P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故点P 的坐标为(1,3)或(－1,3)．
4．(2019·合肥市质量检测)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x
＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( B )
A.12 B ．1 C ．2
D ．e
解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.
5．曲线y ＝2ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为( A ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5
D ．2
解析：设与直线2x －y ＋3＝0平行且与曲线y ＝2ln x 相切的直线方程为2x －y ＋m ＝0.设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝2x ，∴斜率k ＝2x 0＝2，
解得x 0＝1，因此y 0＝2ln1＝0，∴切点为P (1,0)，则点P 到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|2－0＋3|
22＋(－1)2＝5，∴曲线y ＝2ln x 上的点到直
线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.
6．(2019·福州质检)过点(－1,1)与曲线f (x )＝x 3－x 2－2x ＋1相切的直线有( C )
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．3条
解析：设切点P (a ，a 3－a 2－2a ＋1)，由f ′(x )＝3x 2－2x －2，当
a ≠－1时，可得切线的斜率k ＝3a 2
－2a －2＝(a 3－a 2－2a ＋1)－1a －(－1)
，所
以(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a 3－a 2－2a ，即(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a (a －2)(a ＋1)，所以a ＝1，此时k ＝－1.又(－1,1)是曲线上的点且f ′(－1)＝3≠－1，故切线有2条．
7．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是( B )
A.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，1e B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1e ，＋∞ C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)
解析：由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x
－m ＝－1e 有解，即e x
＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1
e 即可，故选B.
8．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( B )
A ．在直线y ＝－3x 上
B ．在直线y ＝3x 上
C ．在直线y ＝－4x 上
D ．在直线y ＝4x 上
解析：f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，结合题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B.
二、填空题
9．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝－3.
解析：y ′＝(ax ＋1＋a )e x ，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为－2，得y ′|x ＝0＝(ax ＋1＋a )e x |x ＝0＝1＋a ＝－2，所以a ＝－3.
10．已知函数f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(2x －1)ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处切线的斜率为－1.
解析：当x >0时，f ′(x )＝2ln x ＋2x －1
x ，则f ′(1)＝1， ∵函数f (x )是偶函数，∴f ′(－1)＝－1.
11．若函数y ＝2x 3＋1与y ＝3x 2－b 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b ＝0或－1.
解析：设公共切点的横坐标为x 0，函数y ＝2x 3＋1的导函数为y ′＝6x 2，y ＝3x 2－b 的导函数为y ′＝6x .由图象在一个公共点处的切线
相同，可得6x 20＝6x 0且1＋2x 30＝3x 2
0－b ，
解得x 0＝0，b ＝－1或x 0＝1，b ＝0.故实数b ＝0或－1.
三、解答题
12．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程． (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．
解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.
(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 2
0＋5x 0
－4)，因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 2
0－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或
1，所以经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.
13．已知函数f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1，曲线y ＝f (x )上存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围为( B )
A ．(3，＋∞) B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，72 C.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，72 D ．(0,3)
解析：f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1的导函数为f ′(x )＝2e 2x －2e x ＋a ，
由题意可得2e 2x
－2e x
＋a ＝3的解有两个，即有⎝ ⎛⎭
⎪⎫e x －122＝7－2a
4，即为
e x ＝12＋7－2a 2或e x ＝1
2－7－2a 2，即有7－2a >0且7－2a <1，解得3<a <72.
14．已知函数f (x )＝1
3x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围；
(2)若曲线C 存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由(2)中条件并
结合(1)中结论可知⎩⎨⎧
k ≥－1，－1
k ≥－1，
解得－1≤k <0或k ≥1，
故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．
尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．(2019·安徽江南十校联考)若曲线C 1：y ＝x 2
与曲线C 2：y ＝e x
a
(a >0)存在公共切线，则a 的取值范围为( D )
A ．(0,1)
B.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，e 2
4 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤e 2
4，2 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫e 2
4，＋∞ 解析：曲线y ＝x 2在点(m ，m 2)的切线斜率为2m ，曲线y ＝e
x
a (a >0)
在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ，1a e n 的切线斜率为1a e n ，如果两条曲线存在公共切线，那么2m
＝1a e n
.又由直线的斜率公式得到2m ＝m 2
－1a e
n
m －n
，则有m ＝2n －2，则由
题意知4n －4＝1a e n 有解，即y ＝4x －4，y ＝1
a e x 的图象有交点．若直线y ＝4x －4与曲线y ＝1a e x 相切，设切点为(s ，t )，则1a e s
＝4，且t ＝4s －4＝1a e s ，可得切点为(2,4)，此时1a ＝4e 2，故要使满足题意，需1a ≤4
e 2，则a ≥e 24，故a 的取值范围是a ≥e 2
4.故选D.
16．(2019·安徽淮南一模)已知函数f (x )＝x 2－ln x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切
点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，1上？若存在，求
出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1
x ，f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1×(x －1)，即y ＝x .
(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
则x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，不妨设x 1<x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得(2x 1－1x 1)(2x 2－1x 2
)＝－1，又函数f ′(x )＝2x －1
x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上
单调递增，函数的值域为[－1，1]，故－1≤2x 1－1x 1<2x 2－1
x 2
≤1，
据此有⎩⎪⎨⎪⎧
2x 1－1x 1＝－1，
2x 2－1
x 2＝1，
解得x 1＝12，x 2＝1(x 1＝－1，x 2＝－1
2)舍去，故存在两点
⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，ln2＋14，(1,1)满足题意．。