5.7 三角函数的应用(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
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所以，该船在1: 00至5: 00或13: 00至17: 00能安全
= 6 ，∴函数的表达式为 = 3sin 6 +
∴ sin 6 ≥ 2 ，∴
1，
∈ 2π +
π
6
, 2π +
5π
6
， = 0，
典型例题
题型三：数据拟合问题
【 对 点 训 练 3】 某 市某 日气 温 （ ∘ C ）是 时间 ( 0 ≤ ≤ 2 4，单 位： 小时 ) 的函 数， 下面 是该 天不 同时 间的 气温 预报 数据 ：
动时的位置变化、物体做简谐运动时
的位移变化、交变电流变化等，都可
用三角函数刻画。
三角函数在物理中的应用——简谐运动
问题1.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t (单位s)与位移y (单
位mm)之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于
时间的函数解析式．
t
y
0.00
0.05
6
由题意知当 ∈ [ 6 ,
=
2π
3
(s)时，小球在平衡位置，
π 7π
]且
6
则小球的最高点和最低点相距平衡位置都是 2cm，故小
因为(1,3) ⊆ [ 6 ,
球的最高点和最低点相距4cm，A错误；
以即 ℎ = 2sin( + 3 ) 递减，
π
小球在 = 0 时的高度 ℎ = 2sin 3 =
什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）
（小时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（米)
10．0
13．0
9．9
7．0
10．0
13．0
10．1
7．0
10．0
+ = 13
【解析】（1）根据数据，
，∴ = 3，
− + = 7
（其中 > 0， > 0，0 ≤ < 2π）的振幅为1，
则 = 1，
周期为 2 ，则 =
2π
=
2π
2π
π
所以噪声的声波曲线的解析式为
= cos +
π
2
π
= 1 ，初相位为 2 ， = 2 ，
= −sin ，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为
典型例题
题型二：三角函数模型的实际应用
根 据 上 述 数据 描出 的 曲线 如图 所示 ，经 拟合 ，该 曲线 可近 似地 看成 函数 = s in( + ) + ( > 0 , > 0 , < π ) 的图 象．
（ 1 ） 根据 以上 数 据， 试求 函数 = s in ( + ) + ( > 0 , > 0 , < π ) 的表 达式
问题2.图①是某次实验测得的交变电流i(单位：A)随时间t
(单位：s)变化的图象．将测得的图象放大，得到图②．
(1)求电流 i 随时间 t 变化的函数解析式；
（2）当 t＝0，
， ， ，
时，求电流i．
【解析】（1）电流i随时间t的变化规律可用i＝Asin(ωt＋φ)
根据已知数据作出散点图如右：
三角函数在物理中的应用——简谐运动
由数据表和散点图可知y＝Asin(ωt＋φ) 中，
振子振动时位移的最大值为 20 mm，
∴A＝20；
2π
振子振动的周期为 0.6 s，即 ＝0.6，解得ω＝
10π
；
3
再由初始状态(t＝0)振子的位移为-20，可得sinφ＝-1，
π
∴φ＝－ ．
A．小球的最高点和最低点相距 2cm
C．每秒钟小球往复运动的次数为2
）
B．小球在 = 0 时的高度ℎ = 1cm
D．从 = 1 到 = 3 ，弹簧长度逐渐变长
【答案】D
【解析】由题意弹簧挂着的小球上下振动，它相对于平
衡位置的高度由关系式 ℎ = 2sin( +
π
) 确定，
3
π 7π
]时， ℎ
c os
3，
3，
故当 =
15 −
2
≤ 1 ， 解得 ≥
3
= 1， = 6 ， 满足 t a n ≤
15，
,
因为 ∈ 0,
1+2
此 时 s i n + 3 c os = 2 , s in +
15
4
c os
2
2 − si n
c os
> 0，
+ c os = 2， 即 s in + =
= 10， = 15 − 3 = 12，
∴=
2π
π
π
π
（2）由题意，水深 ≥ 4.5 + 7，即 3sin 6 + 10 ≥
11.5 0 ≤ ≤ 24 ，
1
π
6
进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间
最多不能超过16小时．
10 0 ≤ ≤ 24 ；
π
∴ ∈ [1,5]或 ∈ [13,17]；
（1）求， ， ， ；
（2）求这一天4~12时的最大温差近似值．
参考数据： 2 ≈ 1.4， 3 ≈ 1.7．
【 解 析 】 （ 1） 由 图象 可知 ：
max
= 3 0，
mi n
= 1 0，
最 小 正 周 期 = 2 × 1 4 − 6 = 1 6，
∴=
2
1
则每秒钟小球往复运动的次数为 2π ，C错误；
置运动，故弹簧长度逐渐变长， D正确，故选：D
典型例题
题型一：三角函数模型在物理学中的应用
【对点训练1】智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯
片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线 = cos + （其中 >
（ 2 ） 大数 据统 计 显示 ，某 种特 殊商 品在 室外 销售 可获 得 3倍 于室 内销 售的 利润 ，但 对室 外温 度的 要求 是气 温不 能低 于 2 3 ∘ C， 根
据 （ 1）中 所得 模 型， 一个 24小时 营业 的商 家想 获得 最大 利润 ，应 在什 么时 间段 （用 区间 表示 ）将 该种 商品 放在 室外 销售 ？（ 忽
常数有关：
A是简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
2π
T＝ 是简谐运动的周期，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
1
2π
f＝ ＝ 是简谐运动的频率，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
ωx交变电流
2
1 + 2
，
3
3
15 −
3
时 ， 总施 工费 用 y达 到最 小， 所以
3
=
典型例题
题型二：三角函数模型的实际应用
【对点训练2】（2023·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从 4~18时的温度变化曲线近似满足
= sin + + ，其中 > 0， > 0，0 < < ．
2
∴振子的位移关于时间的函数解析式为y＝20sin
10π
π
－
3
2
，t∈[0，＋∞)．
三角函数在物理中的应用——简谐运动
简谐运动：物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动.
在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)，x∈[0,＋∞) 表示，
其中A>0，ω>0．描述简谐运动的振幅、周期和频率等物理量都与这个解析式中的
刻画。
5 3
（2）当t＝0时，i＝ ；
由图②可知，电流最大值为5A，
2
1
∴A＝5；当t＝600 时，i＝5；
1
1
当t＝
时，i＝0；
电流变化的周期为
s，频率为50Hz，即
＝50，解得ω＝100π；
150 50
2π
7
当
t＝
时，i＝－5；
由初始状态(t＝0)的电流约为4.33A，可得sinφ＝0.866，
600
π当 t＝ 1 时，i＝0．
∴φ约为 ． 60
3
∴电流i随时间t变化的函数解析式是i＝5sin
π
100π＋
3
，t∈[0,+∞)．
典型例题
题型一：三角函数模型在物理学中的应用
【例1】如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在 t（单位：s）时相对于平衡位置的高度 h（单位：cm）由关系
π
式 ℎ = 2sin( + 3 ) 确定，下列结论正确的是（
即 这 一 天 4 ~1 2时的 最大 温 差近 似值 为 1 7．
= ；
8
∵ 1 4 = 1 0s in
∴
= 1 0， =
∴
典型例题
题型三：数据拟合问题
【 例 3 】 某 港 口 水 深 （ 米 )是 时 间 （ 0 ≤ ≤ 2 4， 单 位 ： 小 时 ） 的 函 数 ， 下 表 是 水 深 数 据 ：
【例2】（2023·江西省万载中学高一阶段练习）如图所示，一条河宽 AC为1km，两岸各有一座城市A和B，
A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连接城市 A和B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆
的修建费是4万元/km，假设两岸是平行直线（没有弯曲），设∠CAD=θ，铺设电缆总施工费用为 y元．
π
0， > 0，0 ≤ < 2π）的振幅为1，周期为2，初相位为 2 ，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为
（
）
A． = sin
B． = cos
C． = −sin
D． = −cos
= sin ．
故选：A．
【答案】A
【解析】因为噪音的声波曲线 = cos +
3(cm) ，B错误；
π
= 2sin( + 3 ) 单调递减，
∈ (1,3)，故 +
π
3
∈
π 3π
,
2 2
，所
π
= 1时，小球在平衡位置以上位置， = 3时，小球在
π
1
由 ℎ = 2sin( + 3 ) 知，最小正周期 = 2π ，则频率为 2π ， 平衡位置以下位置，
即小球此时从平衡位置以上位置逐渐向平衡位置以下位
（1）求y关于θ的函数关系式．
（2）应该铺设地下电缆 BD多长时方可使总施工费用y达到最小．
【 解 析 】 （ 1） 由 题可 知， = t a n , =
tan, =
1
c os
15 −
因为sin + ∈ −1,1 ，所以
,
= 4 + 2 =
4
c os
略 商 品 搬 运时 间及 其 他非 主要 因素 ）
（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（ ∘ C）
15．7
14．0
15．7
20．0
24．2
26．0
24．2
20．0
15．7
【 解 析 】 （1 ） 由 的图 象， 可得
必修第一册 第五章
三角函数
第五章 三角函数
5.7三角函数的应用
三角函数的应用
现实生活中存在大量具有周而复
始、循环往复特点的周期变化现象，
如果某种变化着的现象具有周期性，
那么我们就可以考虑借助三角函数来
描述.
地球自转引起的昼夜交替变化、
地球公转引起的四季交替变化、月亮
圆缺、潮汐变化、物体做匀速圆周运
0.10
－20.0 －17.8 －10.1
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.1
10.3
17.7
20.0
17.7
10.3
0.1
0.50
0.55
－10.1 －17.8
0.60
－20.0
振子的振动具有循环往复的特点，其位移 y 随时间 t 的变化规律可以用
函数 y＝Asin(ωt＋φ) 来刻画．
m a x − m i n
2
m a x + m i n
2
= 2 0， =
7
4
+=
2
8
× 1 4 + + 2 0 = 3 0 ， ∴ s in
+ 2 ∈ ，解得： = −
又0 < < ，∴ =
5
4
7
4
+ = 1，
+ 2 ∈ ，
根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数 = sin + 的图象．
（1）试根据数据表和曲线，求出 = sin + > 0, > 0, > 0 的表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4．5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在
mi n =
+2
1 5 − t a n ， 其 中 t a n max =
（ 2 ） 由（ 1 ）可 得 =
2 2 − si n
c os
设 =
+2
15 − t a n = 2 15 +
， 所 以2 − s in > 0 , c os > 0 ,
2 − si n
， 则 s in
3
．
4
（ 2 ） 由图 象可 知 ： 在 4 , 6 上单 调递 减， 在 6 , 12 上 单调
递增，
mi n
max
∴
= 6 = 1 0，
= 1 2 = 10sin
max
−
mi n
9
4
+ 2 0 = 5 2 + 2 0，
= 10 + 5 2 ≈ 10 + 5 × 1.4 = 17，
= 6 ，∴函数的表达式为 = 3sin 6 +
∴ sin 6 ≥ 2 ，∴
1，
∈ 2π +
π
6
, 2π +
5π
6
， = 0，
典型例题
题型三：数据拟合问题
【 对 点 训 练 3】 某 市某 日气 温 （ ∘ C ）是 时间 ( 0 ≤ ≤ 2 4，单 位： 小时 ) 的函 数， 下面 是该 天不 同时 间的 气温 预报 数据 ：
动时的位置变化、物体做简谐运动时
的位移变化、交变电流变化等，都可
用三角函数刻画。
三角函数在物理中的应用——简谐运动
问题1.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t (单位s)与位移y (单
位mm)之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于
时间的函数解析式．
t
y
0.00
0.05
6
由题意知当 ∈ [ 6 ,
=
2π
3
(s)时，小球在平衡位置，
π 7π
]且
6
则小球的最高点和最低点相距平衡位置都是 2cm，故小
因为(1,3) ⊆ [ 6 ,
球的最高点和最低点相距4cm，A错误；
以即 ℎ = 2sin( + 3 ) 递减，
π
小球在 = 0 时的高度 ℎ = 2sin 3 =
什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）
（小时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（米)
10．0
13．0
9．9
7．0
10．0
13．0
10．1
7．0
10．0
+ = 13
【解析】（1）根据数据，
，∴ = 3，
− + = 7
（其中 > 0， > 0，0 ≤ < 2π）的振幅为1，
则 = 1，
周期为 2 ，则 =
2π
=
2π
2π
π
所以噪声的声波曲线的解析式为
= cos +
π
2
π
= 1 ，初相位为 2 ， = 2 ，
= −sin ，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为
典型例题
题型二：三角函数模型的实际应用
根 据 上 述 数据 描出 的 曲线 如图 所示 ，经 拟合 ，该 曲线 可近 似地 看成 函数 = s in( + ) + ( > 0 , > 0 , < π ) 的图 象．
（ 1 ） 根据 以上 数 据， 试求 函数 = s in ( + ) + ( > 0 , > 0 , < π ) 的表 达式
问题2.图①是某次实验测得的交变电流i(单位：A)随时间t
(单位：s)变化的图象．将测得的图象放大，得到图②．
(1)求电流 i 随时间 t 变化的函数解析式；
（2）当 t＝0，
， ， ，
时，求电流i．
【解析】（1）电流i随时间t的变化规律可用i＝Asin(ωt＋φ)
根据已知数据作出散点图如右：
三角函数在物理中的应用——简谐运动
由数据表和散点图可知y＝Asin(ωt＋φ) 中，
振子振动时位移的最大值为 20 mm，
∴A＝20；
2π
振子振动的周期为 0.6 s，即 ＝0.6，解得ω＝
10π
；
3
再由初始状态(t＝0)振子的位移为-20，可得sinφ＝-1，
π
∴φ＝－ ．
A．小球的最高点和最低点相距 2cm
C．每秒钟小球往复运动的次数为2
）
B．小球在 = 0 时的高度ℎ = 1cm
D．从 = 1 到 = 3 ，弹簧长度逐渐变长
【答案】D
【解析】由题意弹簧挂着的小球上下振动，它相对于平
衡位置的高度由关系式 ℎ = 2sin( +
π
) 确定，
3
π 7π
]时， ℎ
c os
3，
3，
故当 =
15 −
2
≤ 1 ， 解得 ≥
3
= 1， = 6 ， 满足 t a n ≤
15，
,
因为 ∈ 0,
1+2
此 时 s i n + 3 c os = 2 , s in +
15
4
c os
2
2 − si n
c os
> 0，
+ c os = 2， 即 s in + =
= 10， = 15 − 3 = 12，
∴=
2π
π
π
π
（2）由题意，水深 ≥ 4.5 + 7，即 3sin 6 + 10 ≥
11.5 0 ≤ ≤ 24 ，
1
π
6
进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间
最多不能超过16小时．
10 0 ≤ ≤ 24 ；
π
∴ ∈ [1,5]或 ∈ [13,17]；
（1）求， ， ， ；
（2）求这一天4~12时的最大温差近似值．
参考数据： 2 ≈ 1.4， 3 ≈ 1.7．
【 解 析 】 （ 1） 由 图象 可知 ：
max
= 3 0，
mi n
= 1 0，
最 小 正 周 期 = 2 × 1 4 − 6 = 1 6，
∴=
2
1
则每秒钟小球往复运动的次数为 2π ，C错误；
置运动，故弹簧长度逐渐变长， D正确，故选：D
典型例题
题型一：三角函数模型在物理学中的应用
【对点训练1】智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯
片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线 = cos + （其中 >
（ 2 ） 大数 据统 计 显示 ，某 种特 殊商 品在 室外 销售 可获 得 3倍 于室 内销 售的 利润 ，但 对室 外温 度的 要求 是气 温不 能低 于 2 3 ∘ C， 根
据 （ 1）中 所得 模 型， 一个 24小时 营业 的商 家想 获得 最大 利润 ，应 在什 么时 间段 （用 区间 表示 ）将 该种 商品 放在 室外 销售 ？（ 忽
常数有关：
A是简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
2π
T＝ 是简谐运动的周期，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
1
2π
f＝ ＝ 是简谐运动的频率，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
ωx交变电流
2
1 + 2
，
3
3
15 −
3
时 ， 总施 工费 用 y达 到最 小， 所以
3
=
典型例题
题型二：三角函数模型的实际应用
【对点训练2】（2023·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从 4~18时的温度变化曲线近似满足
= sin + + ，其中 > 0， > 0，0 < < ．
2
∴振子的位移关于时间的函数解析式为y＝20sin
10π
π
－
3
2
，t∈[0，＋∞)．
三角函数在物理中的应用——简谐运动
简谐运动：物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动.
在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)，x∈[0,＋∞) 表示，
其中A>0，ω>0．描述简谐运动的振幅、周期和频率等物理量都与这个解析式中的
刻画。
5 3
（2）当t＝0时，i＝ ；
由图②可知，电流最大值为5A，
2
1
∴A＝5；当t＝600 时，i＝5；
1
1
当t＝
时，i＝0；
电流变化的周期为
s，频率为50Hz，即
＝50，解得ω＝100π；
150 50
2π
7
当
t＝
时，i＝－5；
由初始状态(t＝0)的电流约为4.33A，可得sinφ＝0.866，
600
π当 t＝ 1 时，i＝0．
∴φ约为 ． 60
3
∴电流i随时间t变化的函数解析式是i＝5sin
π
100π＋
3
，t∈[0,+∞)．
典型例题
题型一：三角函数模型在物理学中的应用
【例1】如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在 t（单位：s）时相对于平衡位置的高度 h（单位：cm）由关系
π
式 ℎ = 2sin( + 3 ) 确定，下列结论正确的是（
即 这 一 天 4 ~1 2时的 最大 温 差近 似值 为 1 7．
= ；
8
∵ 1 4 = 1 0s in
∴
= 1 0， =
∴
典型例题
题型三：数据拟合问题
【 例 3 】 某 港 口 水 深 （ 米 )是 时 间 （ 0 ≤ ≤ 2 4， 单 位 ： 小 时 ） 的 函 数 ， 下 表 是 水 深 数 据 ：
【例2】（2023·江西省万载中学高一阶段练习）如图所示，一条河宽 AC为1km，两岸各有一座城市A和B，
A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连接城市 A和B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆
的修建费是4万元/km，假设两岸是平行直线（没有弯曲），设∠CAD=θ，铺设电缆总施工费用为 y元．
π
0， > 0，0 ≤ < 2π）的振幅为1，周期为2，初相位为 2 ，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为
（
）
A． = sin
B． = cos
C． = −sin
D． = −cos
= sin ．
故选：A．
【答案】A
【解析】因为噪音的声波曲线 = cos +
3(cm) ，B错误；
π
= 2sin( + 3 ) 单调递减，
∈ (1,3)，故 +
π
3
∈
π 3π
,
2 2
，所
π
= 1时，小球在平衡位置以上位置， = 3时，小球在
π
1
由 ℎ = 2sin( + 3 ) 知，最小正周期 = 2π ，则频率为 2π ， 平衡位置以下位置，
即小球此时从平衡位置以上位置逐渐向平衡位置以下位
（1）求y关于θ的函数关系式．
（2）应该铺设地下电缆 BD多长时方可使总施工费用y达到最小．
【 解 析 】 （ 1） 由 题可 知， = t a n , =
tan, =
1
c os
15 −
因为sin + ∈ −1,1 ，所以
,
= 4 + 2 =
4
c os
略 商 品 搬 运时 间及 其 他非 主要 因素 ）
（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（ ∘ C）
15．7
14．0
15．7
20．0
24．2
26．0
24．2
20．0
15．7
【 解 析 】 （1 ） 由 的图 象， 可得
必修第一册 第五章
三角函数
第五章 三角函数
5.7三角函数的应用
三角函数的应用
现实生活中存在大量具有周而复
始、循环往复特点的周期变化现象，
如果某种变化着的现象具有周期性，
那么我们就可以考虑借助三角函数来
描述.
地球自转引起的昼夜交替变化、
地球公转引起的四季交替变化、月亮
圆缺、潮汐变化、物体做匀速圆周运
0.10
－20.0 －17.8 －10.1
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.1
10.3
17.7
20.0
17.7
10.3
0.1
0.50
0.55
－10.1 －17.8
0.60
－20.0
振子的振动具有循环往复的特点，其位移 y 随时间 t 的变化规律可以用
函数 y＝Asin(ωt＋φ) 来刻画．
m a x − m i n
2
m a x + m i n
2
= 2 0， =
7
4
+=
2
8
× 1 4 + + 2 0 = 3 0 ， ∴ s in
+ 2 ∈ ，解得： = −
又0 < < ，∴ =
5
4
7
4
+ = 1，
+ 2 ∈ ，
根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数 = sin + 的图象．
（1）试根据数据表和曲线，求出 = sin + > 0, > 0, > 0 的表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4．5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在
mi n =
+2
1 5 − t a n ， 其 中 t a n max =
（ 2 ） 由（ 1 ）可 得 =
2 2 − si n
c os
设 =
+2
15 − t a n = 2 15 +
， 所 以2 − s in > 0 , c os > 0 ,
2 − si n
， 则 s in
3
．
4
（ 2 ） 由图 象可 知 ： 在 4 , 6 上单 调递 减， 在 6 , 12 上 单调
递增，
mi n
max
∴
= 6 = 1 0，
= 1 2 = 10sin
max
−
mi n
9
4
+ 2 0 = 5 2 + 2 0，
= 10 + 5 2 ≈ 10 + 5 × 1.4 = 17，