2017年福建省莆田八中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2016-2017学年福建省莆田八中高三（上）期中数学试卷（理科）
一、单项选择（共12小题，每小题5分）
1．（5分）已知复数z=（其中i是虚数单位），那么z的共轭复数是（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i
2．（5分）已知x∈（﹣，0），tanx=﹣，则sin（x+π）等于（）A．B．﹣ C．﹣ D．
3．（5分）sinxdx等于（）
A．πB．2πC．4πD．0
4．（5分）若a=2，b=ln2，c=log5sin，则（）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．b＞c＞a
5．（5分）设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6=2，S5=30，则S8=（）A．31 B．32 C．33 D．34
6．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）
A．ac＞bc B．＞1 C．|a|＞|b|D．（）a＜（）b
7．（5分）函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）A．B．C．D．π
8．（5分）函数y=log2（x2﹣5x﹣6 ）单调递减区间是（）
A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（6，+∞）
9．（5分）为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin（3x+）的图象（）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
10．（5分）△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一根为1，则△ABC一定是（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
11．（5分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）
A．2 B．C．D．
12．（5分）若点P（a，b）在函数y=x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）
A．B．8 C．2 D．2
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）已知集合A={0，1，2}，则集合A的子集共有个．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为．15．（5分）数列{a n}中，若a n+1=，a1=1，则a6等于．
16．（5分）对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是．
三、解答题（共6小题，17题10分，其余每小题10分）
17．（10分）已知f（α）=；
（1）化简f（α）；
（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．
18．（12分）已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量=（，﹣1）
（1）当∥，求θ．
（2）当⊥时，求θ．
（3）求|2﹣|的最大和最小值．
19．（12分）某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入x台（x∈N*），且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k（k ＞0），若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．
（1）求k的值；
（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
20．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；
（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα的值．
21．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=是数列{b n}的前n项和，求使得2T n≤λ﹣2015对所有n ∈N*都成立的实数λ的范围．
22．（12分）已知函数f（x）=mlnx﹣x2（m∈R）满足f'（1）=1．
（1）求m的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣（x2﹣3x+c）在[1，3]内有两个零点，求实数c 的取值范围．
2016-2017学年福建省莆田八中高三（上）期中数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、单项选择（共12小题，每小题5分）
1．（5分）已知复数z=（其中i是虚数单位），那么z的共轭复数是（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i
【解答】解：∵z==，
∴．
故选：A．
2．（5分）已知x∈（﹣，0），tanx=﹣，则sin（x+π）等于（）A．B．﹣ C．﹣ D．
【解答】解：因为x∈（﹣，0），tanx=﹣，
所以sinx=﹣，
∴sin（x+π）=﹣sinx=．
故选：D．
3．（5分）sinxdx等于（）
A．πB．2πC．4πD．0
【解答】解：sinxdx=﹣cosx|=﹣（cos2π﹣cos0）=0，
故选：D．
4．（5分）若a=2，b=ln2，c=log5sin，则（）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．b＞c＞a
【解答】解：∵a=2＞20=1，
0=ln1＜b=ln2＜lne=1，
c=log5sin＜log51=0，
∴a＞b＞c．
故选：C．
5．（5分）设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6=2，S5=30，则S8=（）A．31 B．32 C．33 D．34
【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
由a6=2，S5=30，得
，解得：．
∴S8==．
故选：B．
6．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）
A．ac＞bc B．＞1 C．|a|＞|b|D．（）a＜（）b
【解答】解：当c=0时，ac=bc=0，A错．
由a＜b＜0，1＞＞0，B错．
利用绝对值的几何意义得：|a|＞|b|，C正确．
因为y=（）x在定义域上为单调减函数，由a＜b＜0，得（）a＞（）b，故D错．
故选：C．
7．（5分）函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）
A．B．C．D．π
【解答】解：对于，T=
∴两条相邻对称轴间的距离为=
故选：B．
8．（5分）函数y=log2（x2﹣5x﹣6 ）单调递减区间是（）
A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（6，+∞）
【解答】解：根据题意，函数y=log2（x2﹣5x﹣6 ）分解成两部分：f（U）=log2U 外层函数，U=x2﹣5x﹣6 是内层函数．
根据复合函数的单调性，可得若函数y=log2x单调增函数，
则函数y=log2（x2﹣5x﹣6 ）单调递减区间就是函数y=x2﹣5x﹣6单调递减区间，∴，
考虑到函数的定义域，x2﹣5x﹣6＞0，得x＜﹣1．
故选：C．
9．（5分）为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin（3x+）的图象（）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
【解答】解：由于函数y=sin（3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移
个单位，
即可得到y=sin[3（x+﹣）]=sin3x的图象，
故选：A．
10．（5分）△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一根为1，则△ABC一定是（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
【解答】解：依题意可知1﹣cosAcosB﹣cos2=0，
∵cos2===
∴1﹣cosAcosB﹣=0，整理得cos（A﹣B）=1
∴A=B
∴三角形为等腰三角形．
故选：B．
11．（5分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）
A．2 B．C．D．
【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
设正方形边长为1，则=（1，），=（﹣，1），=（1，1）．
∵=λ+μ，
∴，解得．
∴λ+μ=．
故选：D．
12．（5分）若点P（a，b）在函数y=x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）
A．B．8 C．2 D．2
【解答】解：设直线y=x+m与曲线y=﹣x2+3lnx相切于P（x0，y0），
由函数y=﹣x2+3lnx，∴y′=﹣2x+，
令﹣2x0+=1，又x0＞0，解得x0=1．
∴y0=﹣1+3ln1=﹣1，
可得切点P（1，﹣1）．
代入﹣1=1+m，解得m=﹣2．
可得与直线y=x+2平行且与曲线y=﹣x2+3lnx相切的直线y=x﹣2．
而两条平行线y=x+2与y=x﹣2的距离d==2．
∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值=（2）2=8．
故选：B．
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）已知集合A={0，1，2}，则集合A的子集共有8个．
【解答】解：因为集合A={0，1，2}，
所以集合A的子集共有23=8，
故答案为：8．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为7．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的三角形及其内部，由
可得A（1，2），z=x+3y，将直线进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
=1+2×3=7．
∴z
最大值
故答案为：7
15．（5分）数列{a n}中，若a n+1=，a1=1，则a6等于．
=，a1=1，
【解答】解：∵a n
+1
∴a2==，
a3==，
a4==，
a5==，
a6==，
故答案为：
16．（5分）对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是250．
【解答】解：第1次操作为23+53=133，
第2次操作为13+33+33=55，
第3次操作为53+53=250，
第4次操作为23+53+03=133，
所以操作结果，以3为周期，循环出现，
由此可得第2016次操作后得到的数与第3次操作后得到的数相同，
故第2016次操作后得到的数是250，
故答案为：250．
三、解答题（共6小题，17题10分，其余每小题10分）
17．（10分）已知f（α）=；
（1）化简f（α）；
（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．
【解答】解：（1）f（α）===﹣cosα；
（2）α是第三象限角，且cos（α﹣）=，可得﹣sinα=，即sinα=﹣，cosα=﹣=﹣．
f（α）的值为：．
18．（12分）已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量=（，﹣1）（1）当∥，求θ．
（2）当⊥时，求θ．
（3）求|2﹣|的最大和最小值．
【解答】解：（1）由得，cosθ×（﹣1）﹣sinθ=0，则tanθ=，
又θ∈[0，π]，所以θ=；
（2）由⊥得，=0，即=0，所以，
又θ∈[0，π]，所以；
（3）=（2cosθ﹣，2sinθ+1），
则|2﹣
|===，
由θ∈[0，π]，得∈[﹣，]，
所以sin（）∈[﹣，1]，所以8+8sin（）∈[8﹣4，16]，
|2﹣|∈[，4]，
故|2﹣|的最大值为4，最小值为．
19．（12分）某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入x台（x∈N*），且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k（k ＞0），若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．
（1）求k的值；
（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
【解答】解：设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元，
题中的比例系数设为k，每批购入x台，则共需分批，
每批费用2000x元．
由题意知y=×400+k×2000x，
当x=400时，y=43600，
解得k=
∴y=×400+100x≥2=24000（元）
当且仅当×400=100x，即x=120时等号成立．
故只需每批购入120台，可以使资金够用．
20．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；
（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα的值．
【解答】解：（1）因为向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣
|===，所以2﹣2cos
（α﹣β）=，
所以cos（α﹣β）=；
（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，所以0＜α﹣β＜π，因为cos（α﹣β）=，所以sin（α﹣β）=
且sinβ=﹣，cosβ=，
所以，sinα=sin（α﹣β+β）=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ==
21．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=是数列{b n}的前n项和，求使得2T n≤λ﹣2015对所有n ∈N*都成立的实数λ的范围．
【解答】解：（1）∵点（n，S）在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上，∴
当n=1时，a1=S1=3﹣2=1…（2分）
当n≥2时，=6n﹣5…（5分）
当n=1时，6n﹣1=1符合∴…（6分）
（2）∵，
∴=…（10分）
∴2T n＜1
又∵2T n≤λ﹣2015对所有n∈N*都成立∴1≤λ﹣2015
故λ≥2016…（12分）
22．（12分）已知函数f（x）=mlnx﹣x2（m∈R）满足f'（1）=1．
（1）求m的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣（x2﹣3x+c）在[1，3]内有两个零点，求实数c 的取值范围．
【解答】（本小题满分14分）
解：（1）函数的定义域是（0，+∞）．…（1分）
∵x，由f′（1）=1得m﹣1=1，
∴m=2，即…（2分）
令f′（x）=0得：或（舍去）．…（3分）
当时，f′（x）＞0，∴f（x）在上是增函数；
当时，f′（x）＜0，∴f（x）在上是减函数．…（5分）∴函数f（x）的增区间是，减区间是．…（6分）
（2）由（1）可知，
∴g（x）=2lnx﹣x2+3x﹣c，…（7分）
∴．…（8分）
令g′（x）=0得：x=2或（舍去）．…（9分）
当x∈[1，2）时，g′（x）＞0，则g（x）在[1，2）上单调递增；
当x∈（2，3]时，g′（x）＜0，则g（x）在（2，3]上单调递减．…（10分）
又∵函数g （x ）在[1，3]有两个零点等价于：，…（12分）
∴，…（13分）
∴实数c 的取值范围是
． …（14分）
赠送—高中数学知识点
【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念
①如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，
n
n a a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0) n
n
a a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩
． （2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m n
a a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是： 11
()()(0,,,m
m m n
n n a
a m n N a a
-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r r r
ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称
指数函数
定义
函数(0x
y a a =>且1)a ≠叫做指数函数
图象
1a >
01a <<
定义域 R
值域 (0,)+∞
过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
函数值的 变化情况
1(0)
1(0)1(0)
x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)
x x x a x a x a x <>==>< 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫
x
a y =x
y
(0,1)
O
1
y =x
a y =x
y (0,1)
O 1
y =
做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M
M N N
-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N
a N =
⑤
log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥
换
底
公
式
：
log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且
【2.2.2】对数函数及其性质。