特征向量与特征方程资料

到 ri个相互正交的单位特征向量;
(3) 把属于i (i 1,2,, s) 每个特征值的正交单位特 征向量放在一起,得到A的n个相互正交的单位特征
向量, 以它们作为列, 得正交矩阵Q , 且
Q 1 AQ QAQ diag(1,, 1,, s ,, s )
4 0 0
例1
设A
0
3
1
,
0 1 3
f（） a0 a1 a2 2 am m ,
f（A） a0E a1A a2A2 am Am。
1 是A-1的特征值； 1|A|是A*的特征值.
性质3（定理1）设λ1, λ2,…, λn是矩阵A的互不相 同的特征值，α1, α2,…, αn是其对应的特征向量。 则α1, α2,…, αn是线性无关的。
2. 实对称矩阵性质
定理1 实对称矩阵A的特征值为实数。
定理2 实对称矩阵A的不同特征值对应的特征 向量必正交。
定理3 设A为实对称矩阵，则必有正交矩阵P， 使得P-1AP=Λ，其中Λ是以A的n个特征值为 对角元素的对角矩阵。
推论1 实对称矩阵的每一个ri (i=1,2,...,s)重特征 值恰好有ri个线性无关的特征向量。
第五章 特征值与特征向量
矩阵的对角化
本章主要介绍矩阵的特征值与特征向量， 进而引出相似矩阵和矩阵的对角化，最后针 对实对称矩阵进行对角化。
第一节Байду номын сангаас矩阵的特征值与特征向量
定义1 设A是 n 阶矩阵，如果存在数 和 n 维非 零列向量 使得
A=
(5.1)
成立，那么，这样的数 称为方阵A的特征值，
n 维非零列向量 称为 A 对应于特征值
0
1
1
~
0
1
1
,
此方程组的基础解系为
0 1 1 0 0 0
0 1 1
, 单位特征向量为p1
0 1
1
2 2
0 0 0 x1 0
当2
3
4时，解方程
0
1
1
x2
0
0 1 1 x3 0
0 0 0 0 1 1
0
1
1
~
0
0
0
,
此方程组的基础解系为
三 小结
1 实对称矩阵的一些性质
2 实对称矩阵的对角化
第二节 相似矩阵和矩阵的对角化
本节先给出相似矩阵的概念，然后介绍把 方阵进行对角化。
一、相似矩阵
对角矩阵是最简单的一种矩阵, 现在考虑对 于给定的n阶方阵A, 是否存在可逆矩阵P, 使得 P-1AP为对角矩阵, 这就称为把方阵A对角化。
为此, 首先给出相似矩阵的概念。
定义1 设A, B都是n阶矩阵，若有可逆阵P, 使得 P-1AP=B
（3）对A的每个特征值 , 求齐次线性方程组 ( A E)X 0的基础解系。设为：α1,α2 , αr ,
r
那么 kiαi即为矩阵A对应于的全部特征向量, i 1
其中 ki 不全为0。
1 1 0 例1 求矩阵 A 4 3 0 的特征值和特征向量
1 0 2 解：A的特征多项式为
1 1 0
一、实对称矩阵的一些性质
1. 共轭矩阵
设A (aij )为复数域上的矩阵,称A (aij )为A的 共轭矩阵。其中aij是aij的共轭复数。
容易验算共轭运算有如下性质:
(1) A B A B (2) AB AB
(3) kA k A
(4) A A
并不是任何矩阵都可对角化，但实对称矩阵一定可对 角化, 且其特征值与特征向量有许多特殊的性质。
| A E | 4 3 0
1
0 2
(2 )(1 )2 A的特征值为1 2,2 3 1
当1 2时，解方程(A 2E)x 0.
3 1 0 1 0 0
由
A
2E
4 1
1 0
0 0
~
0 0
1 0
0 0
0
得基础解系：p1
0
1
所以k1p1(k1 0)是对应于特征值1 2的全部
解：（1）由于A为n阶对称正交矩阵，故A必能相似
于对角矩阵，且A的特征值只能为 1。
1为A的r重特征值, 1为A的n r重特征值
因而A的相似对角矩阵为
Λ diag(1, ,1, 1, , 1)
r个
n r个
(2) 由A的特征多项式为| E A | ( 1)r ( 1)nr ,
| 3E A | 2r4nr 22nr
推论1 设λ1, λ2,…, λs是n阶矩阵A的S个互不相同
的特征值，对应于λi的线性无关的特征向量为
αi1, αi2,…, αir(i=1,2,…,s)。则由所有这些特征向
量构成的向量组
线性无关。
11,12 , ,1r1 , 21,22 , ,2r2 , ,s1,s2 , ,srs
小结
1. 矩阵的特征值、特征向量的概念 2. 矩阵的特征值、特征向量的计算 3. 矩阵的特征值、特征向量的性质
定理1 若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多 项式相同，从而特征值相同。
证：设A～B ，则存在可逆阵P, 使得P-1AP=B，
| B E || P 1 AP E || P 1 AP P 1 EP | | P1 || A E || P || A E |
推论1 相似矩阵的行列式相同, 迹相同, 秩也 相同。
因而 Ai ii , i 1, 2, , n,
因为P可逆,所以1 ,2 ,
,
都为非零向量且为
n
线性无关组, 因而它们分别是A对应于特征值
1,2 , ,n的特征向量
充分性 设矩阵A有n个线性无关的特征向量α1, α2, …,αn它们对应的特征值分别为λ 1, λ2 ,
…,λ n
1
A(1 ,2 ,
1
得基础解系：p1
0
1
所以k1p1(k1 0)是对应于特征值1 1的全部
特征向量。
当2 3 2时，解方程(A 2E)x 0.
4 1 1 4 1 1
A
2E
0
0
0
~
0
0
0
4 1 1 0 0 0
0 1
得基础解系：p2
1
,
p3
0
1
4
所以k2p2 k3p3(k2 , k3不全为0)是对应于特征值
的特征向量。
如果α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量, 则α的任何一个非零倍数kα也是A的属于特征值 λ的特征向量, 因为从(5.1)式可以推出
A(k ) kA (k )
这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的, 相反,特征值却是被特征向量所唯一决定的。
根据定义, 若α 为n 阶矩阵的属于特征值λ的 特征向量，则α 为齐次线性方程组
二、矩阵的对角化
定理2：n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的 充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量.
证明： 必要性 设有可逆矩阵P, 使得
P -1AP , 其中 diag(1,2, ,n )
将P按列分块，P (1 ,2 , ,n ),则有 A(1 ,2 , ,n ) (1 ,2 , ,n )
则称B是A的相似矩阵 ，或说A与B相似, 记A～B 对A进行的运算P-1AP称为对A进行相似变换， 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。
由定义可知,矩阵的相似关系是一种特殊的等价 关系, 具有如下性质 (1) 反身性 A～A； (2) 对称性 若A～B, 则B～A； (3) 传递性 若A～B,B～C, 则A～C。
a1n a2n 0
an1
an2
ann
上式是以λ为未知量的一元n次方程，称为矩阵
A的特征方程。其左端|A-λE|是λ的n次多项式，
记为f (λ)，称为方阵A的特征多项式。
求矩阵A的特征值和特征向量的步骤：
（1）写出矩阵A的特征多项式f()= | A E |,
（2）求出特征方程f() 0的所有根,即A的特征值。
求( A E)X 0基础解系。
[A (4)E]X 0
[A 1E]X 0
A的特征值对应的特征向量为
1
1
2
3
2
2
1
0
1
3 0
1
矩阵A可对角化，且相似矩阵变换可取为
1 2 1
P
(1 ,2
,3
)
2 3
1 0
0 1
4
则
P 1 AP
2
2
例2 设3阶方阵A，4E-A和A+5E都不可逆，问A 能否对角化？若能，写出其对角阵。
证明： 是方阵A的特征值， 非零向量p,使得 Ap p,
而A2 p A(Ap) A( p) Ap 2 p 2是矩阵A2的特征值。
依此类推, k是Ak的特征值。
矩阵特征值、特征向量的性质
性质1 方阵A与AT 的特征值相同。
性质2 若是方阵A的特征值，则 k是Ak的特征值；
f（）是（f A）的特征值,其中
解：因为 A，4E-A和A+5E都不可逆，所以A有0， 4，-5三个不相等的特征值，从而它有三个线 性无关的特征向量。
0
即
A
~
4
5
一个n阶矩阵A具备什么条件才能对角化，这是
一个比较复杂的问题，我们不做一般性讨论，
只讨论实对称矩阵的情形，这是下一节的内容
第三节 实对称矩阵的对角化
本节研究对象是实对称矩阵，先介绍 实对称矩阵的一些性质，然后着重介绍实 对称矩阵的对角化。
特征向量。
当2 3 1 时，解方程(A E)x 0.
2 1 0 1 0 1 1 0 1
A
E
4 1
2 0
0 1
~
2 0
1 0
0 0
~
0 0
1 0
2 0
1
得基础解系：p2
2
1
所以k2p2 (k2 0)是对应于特征值2 3 1的全部
特征向量。
2 1 1
例2
求
A
0 4
2 1
0 3
的特征值和特征向量
解：A的特征多项式为
2 1 1 AE 0 2 0
4 1 3
(2 )2(1 ) A的特征值为1 1，2 3 2
当1 1时，解方程(A E) x 0.
1 1 1 1 0 1
A
E
0 4
3 1
0 4
~
0 0
1 0
0 0
2 3 2的全部特征向量。
设n阶矩阵A=(aij)有n个特征值为λ1, λ2,…, λn, (k重特征值算作k个特征值)，则
n
n
(1) i aii
i 1
i 1
n
(2) i A
i 1
n
其中 aii 是的主对角线元素之和，称为矩
阵的迹，i记1 作tr(A)。
例3 设λ是方阵A的特征值，证明λ2是A2的特征 值。
(A-λE)X=0，即
(a11 ) x1 a12 x2 a21 x1 (a22 ) x2
a1n xn 0 a2n xn 0
an1 x1 an2 x2 (ann ) xn 0
(5.2)
的非零解，反之亦然。
它有非零解的充要条件为|A-λE|=0
a11 a12 即：f ( ) a21 a22
,n ) (1 ,2 ,
,
n
)
2
n
即 AP PΛ, 又
1 ,2 ,
,
线性无关
n
,
P可逆,
故有 P1 AP Λ, 即A与Λ相似
联系上节定理1，可得
推论2 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则 A与对角阵相似。
当A的特征方程有重根时，它不一定有n个线性 无关的特征向量，从而不一定能对角化。
推论3 n 阶矩阵A的每一个ri 重特征值对应有ri
(i=1,2,…,s)个线性无关的特征向量的充要条件
是A相似于对角矩阵。
例1 矩阵A能否对角化？若能,求出对角阵Λ及相
似变换矩阵P,使P-1AP=Λ,若不能,说明理由。
3 2 1
A
2 3
2 6
2 1
解: 先求特征值及对应的特征向量
A的特征值1 4,2 3 2
求一个正交阵P,使得P1 AP Λ为对角阵。
解： 矩阵A的特征方程为 A E 0,
4
0 0
0
3
1
0 1 0,
3
即(4 )2(2 ) 0, 特征值为1 2，2 3 4
2 0 0 x1 0
当1
2时，解方程
0 0
1 1
1 1
x2 x3
0 0
2 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0
1 0
0
,
1
这是一组正交向量组.
0 1
单位化得
p2
1
0
,
0
p3
0 1
1
2 2
0
1 0
于是正交矩阵P
(
p1
,
p2
,
p3
)
1
2
0
1 2
2
P 1 AP
Λ
4
1 2 0 1 2
问题：使A对角化的矩
4 阵P是唯一的吗？
例 3 设A为n阶对称正交矩阵, 1为A的r重特征值。 （1）求A的相似对角矩阵；（2）求 | 3E A | .
二、将实对称矩阵A对角化的步骤：
(1) 求出特征多项式 f () A E 0 所有的根, 即
A其的中特r1征 值r2 ,设为 rs1
,
2 ,,
n;
s
,其重数分别为r1 , r2 ,, rs
,
(2) 对每个i (i 1,2,, s) 求出 ri 个线性无关的特
征向量, 利用正交化方法, 把它们正交单位化, 得