湖北省鄂州市部分高中联考协作体2021学年高二数学上学期期中试题

湖北省鄂州市部分高中联考协作体2021学年高二数学上学期期中试
题
考试时间：2022年 11月14 日上午 8:00——10:00 试卷满分：150分
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.命题∀x ∈R ，x 2
＋x ≥0的否定是( )
A ．∃x 0∈R ，x 2
0＋x 0≤0 B ．∀x ∈R ，x 2
＋x <0 C ．∀x ∈R ，x 2＋x ≤0
D ．∃x 0∈R ，x 2
0＋x 0<0
2. 若数列{}n a 是等差数列且0n a >，设其前n 项和为n S .若2
195a a a +=，则9S = ( )
A ．36
B ．18
C ．27
D ．9
3. 某商店为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：
摄氏温度 －1 3 8 12 17 饮料瓶数 3
40
52
72
122
由上表可得回归方程y bx a =+中的b 为6，则可预测气温为30℃时销售饮料瓶数为（ ）
A. 141
B. 241
C. 211
D. 191
4. 当方程x 2
＋y 2
＋kx ＋2y ＋k 2
＝0所表示的圆的面积最大时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角
α的值为()
A.
4
π
B. 34π
C. 32π
D. 54π
5. 已知m ，n 为两个非零向量，则“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )
A ．充分不必要条件
B ． 充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
6等比数列{a n }中，0,8,242>==n a a a ，{}2log n a n 则数列的前项和为（ ）
A.
n (n ＋1)
2 B.(n －1)22 C. n (n －1)2 D.(n ＋1)
2
2
7.如图所示，已知三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥
B 1­AB
C 1的体积为( )
A.
34B.312C.612 D.6
4
鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷（共4页）第1页
8.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )
A. －32B ．－12C.32D ．12
9.一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数，事件B 表示向上的一面出现的数字不超过3，事件C 表示向上的一面出现的数字不小于4，则( )
A ．
B 与
C 是对立事件B ．A 与B 是对立事件
C ．B 与C 是互斥而非对立事件
D ．A 与B 是互斥而非对立事件
10.自圆C ：(x －3)2
＋(y ＋4)2
＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，P Q 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )
A ．8x －6y －21＝0
B ．6x －8y －21＝0
C ．6x ＋8y －21＝0
D ．8x ＋6y －21＝0
11.已知等腰直角三角形ABC 中，,222
C CA π
∠=
=，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，
使点A 与点B 间的距离为22，此时三棱锥C —ABD 的外接球的表面积为（） A.12π
B.3π
C.3π
D.5π
12.定义：在数列{a n }中，若满足
a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n
＝d (n ∈N *
，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则
2020
2018
a a 等于( ) A ．4×2 0192
－1 B ．4×2 0182
－1C ．4×2 0172
－1 D ．4×2 0172
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 从集合{}1,1,2A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{}2,1,2B =-中随机选取一个数记为b ，则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为
14.过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为________．
15. 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *
)，则数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
前2022项的和为________．
16.给出下面四个命题：
①“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ②“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；
③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；
④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．
其中正确命题的序号是
三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）已知公差0d ≠的等差数列{}n a 满足11a =，且124,,a a a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
18.（12分）已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式220x x m --=成立”是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；
（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．
19. （12分）某校命制了一套调查问卷(试卷满分均为100分)，并对整个学校的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．
(1)求频率分布直方图中x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷（共4页）第3页
(2)用样本估计总体，若该校共有2 000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；
(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率．
20.（12分）如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，PA ＝PD ＝
AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，N 为AD 的中点．
(1)求证：AD ⊥平面PNB ；
(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P ­NBM 的体积．
21. （12分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．
(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
22.（12分）在数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，223()n n
s n a n N *+=∈
（1）求数列
{}n a 的通项公式
（2）设1
1n n n n a b a a ++=
⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明14
n T <
高二数学参考答案
1-12DBDBCCBDAB AB 13．
29
14．x ＋2y －6＝0. 15．2019101016. ①④
12. 解析：选B 由题知
1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为2的等差数列，则a n ＋1
a n
＝2n －1， 所以
20202018a a ＝20202019a a ·20192018
a
a ＝(2×2 019－1)(2×2 018－1) ＝(2×2 018＋1)(2×2 018－1)＝4×2 0182
－1. 17.（1）由条件知2
2
214111()(3)a a a a d a a d =⇒+=+， 又11a =，则有(1)0d d -=，又0d ≠，故1d =，故n a n =.…………………4分
（2）由（1）可得(1)1211
2()2(1)1
n n n n S S n n n n +=
⇒==-++，………………7分 即11111
112(1)22334
1122111
n n n n T n n =⎛⎫⨯-= ⎪++⎝-
+-+-+
-=+⎭．………10分 18.解：（1）由题意，方程2
2m x x =-在(1,1)-上有解。

…………………2分 令2
()2f x x x =-(11)x -<<.只需m 在()f x 值域内. …………………4分 易知()f x 值域为1
,38⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭。

m ∴的取值集合M =1
,38⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭。

…………6分
（2）由题意，M N ⊆。

显然N 不为空集. ……………………………………8分 ①当2a a >-即1a >时，(2,)N a a =-.
12831a a a ⎧
-<-⎪⎪
∴≥⎨⎪>⎪⎩
3a ∴≥. ………………………………………………………10分
②当2a a <-即1a <时，(,2)N a a =-.
23181
a a a -≥⎧⎪⎪
∴<-⎨⎪
<⎪⎩1a ∴≤-.
综合：3a ∴≥或1a ≤-……………………………………12分
19. (1)由频率分布直方图可得第4组的频率为1－(0.01＋0.03＋0.03＋0.01)×10＝0.2，则
x ＝
0.02. ………………………………………………………………………………………………………………2分
故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02
＋
95×0.01)×10
＝
74(分)．…………………………………………………………………………4分
由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4，前三组的频率之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，故中位数在第3组中．
设中位数为t 分，则有(t －70)×0.03＝0.1，得t ＝2203，
即
所
求
的
中
位
数
为
2203
分．…………………………………………………………………………………6分
(2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为
2 000×0.6＝1 200. …………………………………………………………………………8分
(3)由(1)可知，后三组中的人数分别为15,10,5，由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.
记成绩在[70,80)的3名学生分别为a ，b ，c ，成绩在[80,90)的2名学生分别为d ，e ，成绩在[90,100]的1名学生为f ，则从中随机抽取3人的所有可能结果为(a ，b ，c )，(a ，b ，
d )，(a ，b ，
e )，(a ，b ，
f )，(a ，c ，d )，(a ，c ，e )，(a ，c ，f )，(a ，d ，e )，(a ，d ，f )，
(a ，e ，f )，(b ，c ，d )，(b ，c ，e )，(b ，c ，f )，(b ，d ，e )，(b ，d ，f )，(b ，e ，f )，(c ，
d ，
e )，(c ，d ，
f )，(c ，e ，f )，(d ，e ，f )，共20种．
其中成绩在[80,100]的学生没人被抽到的可能结果为(a ，b ，c )，只有1种， 故成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率P ＝1－120
＝19
20
.………………………12分
20.解： (1)证明：连接BD .
∵PA ＝PD ，N 为AD 的中点， ∴PN ⊥AD .
又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形，
∴BN ⊥AD ，
又PN ∩BN ＝N ，∴AD ⊥平面PNB . ……………………………………………………………6分
(2)∵PA ＝PD ＝AD ＝2，∴PN ＝NB ＝ 3.
又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ，∴PN ⊥平面ABCD ， ∴
PN ⊥NB ，∴S
△PNB
＝
1
2
×3×3＝
3
2
.………………………………………………………………9分 ∵AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ， ∴
V P ­NBM ＝V M ­PNB ＝
23
V C ­PNB ＝
23
×
13
×
32
×2＝
2
3.…………………………………………………………………12分
21. 解 (1)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝2x －4，
y ＝x －1得圆心C (3,2)，
∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为(x －3)2
＋(y －2)2
＝1，………………………………2分 显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，
即kx －y ＋3＝0，∴|3k －2＋3|k 2
＋1＝1，∴|3k ＋1|＝k 2
＋1，∴2k (4k ＋3)＝0，…………………4分
∴k ＝0或k ＝－34，∴所求圆C 的切线方程为y ＝3或y ＝－3
4x ＋3，
即
y ＝3或3x ＋4y －12＝
0. …………………………………………………………………………………………6分
(2)∵圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上，∴设圆心C 为(a,2a －4)，
则
圆
C 的方程为(x －
a )2
＋[y －(2a －4)]
2
＝
1. …………………………………………………………7分 又∵|MA |＝2|MO |，∴设M (x ，y ), 则x 2
＋(y －3)2
＝2x 2
＋y 2
， 整
理
得
x 2
＋(y ＋1)
2
＝4，设为圆
D ，…………………………………………………………………………9分
∴点M 既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点，……………………………………10分
∴2－1≤a 2＋[(2a －4)－(－1)]2
≤2＋1，解得a 的取值范围为[0，125]． (12)
分
22.解析：（1）
223n n S n a +=
1122(1)3n n S n a ++∴++=……………………………1分
两式相减得1
32n n a a +=+……………………………2分
1131n n a a +∴+=+（）……………………………3分 11
12232S a a +=∴=又……………………………4分
∴数列{}1n a +是以3为首项， 3为公比的等比数列 (5)
分
1331n n n n a a ∴+=∴=-……………………………6分
（2）11
3111
()(31)(31)23131
n n n n n n b ++==-----........................8分 22311111111(.. (2313131313131)
n n n T +∴=-+-++-------）………10分
1111142314
n +=
-•<-………………………………………………………………12分。