廊坊市第一中学2024届八年级数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

廊坊市第一中学2024届八年级数学第二学期期末教学质量检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分） 1．①y kx =；②2
3
y x =；③()1y x x x =--；④21y x =+；⑤22y x =-，一定是一次函数的个数有( ) A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
2．矩形的对角线一定具有的性质是（ ） A ．互相垂直 B ．互相垂直且相等 C ．相等
D ．互相垂直平分
3．为了迎接2022年的冬奥会，中小学都积极开展冰上运动，小明和小刚进行米短道速滑训练，他们的五次成绩
如下表所示：
设两个人的五次成绩的平均数依次为、，方差依次为、，则下列判断正确的是（ ） A ． B ． C ．
D ．
4．如图，点E 为菱形ABCD 边上的一个动点，并沿A →B →C →D 的路径移动，设点E 经过的路径长为x ，ADE 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）
A ．
B ．
C．D．
5．下列选项中的计算，正确的是( )
A．=±3 B．2-=2 C．=-5 D．6．满足不等式2
x>的正整数是（）
A．2.5B．5C．-2D．5 7．下列各式属于最简二次根式的有（）
A．8B．21
x+C．3y D．1 2
8．小明同学将某班级毕业升学体育测试成绩（满分30分）统计整理，得到下表，则下列说法错误的是（）
分数20 21 22 23 24 25 26 27 28
人数 2 4 3 8 10 9 6 3 1
A．该组数据的众数是24分
B．该组数据的平均数是25分
C．该组数据的中位数是24分
D．该组数据的极差是8分
9．如图，已知正方形ABCD的边长为10，E在BC边上运动，取DE的中点G，EG绕点E顺时针旋转90°得EF，问CE长为多少时，A、C、F三点在一条直线上（）
A．8
3
B．
6
5
C．
10
3
D．
3
2
10．下列调查中，适合用普查方式的是（）
A．夏季冷饮市场上某种冰淇淋的质量B．某品牌灯泡的使用寿命C．某校九年级三班学生的视力D．公民保护环境的意识
11．. 已知样本 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 的平均数是2，则 x 1 +3， x 2 +3， x 3 +3， x 4 +3的平均数为（ ）． A ．2
B ．2.75
C ．3
D ．5
12．下列函数（1）y x π=（2）21y x =-（3）1y x =（4）123y x -=-（5）2
1y x =-中，一次函数有（ ）
个. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题（每题4分，共24分）
13．将直线y ＝ax+5的图象向下平移2个单位后，经过点A （2，1），则平移后的直线解析式为_____．
14．如图，平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，1），若将线段AB 平移至A 1B 1，点A 1的坐标为（3，1），则点B 1的坐标为_______．
15．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别是CD 、BC 的中点，AE 与DF 交于点P ，连接CP ，则CP ＝_____．
16．解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程__________． 17．在平面直角坐标系中，已知点(,)A m n 在第二象限，那么点(,)B n m -在第_________象限．
18．不等式组-12
31x x >⎧⎨
+≥⎩
的解集是________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的关系如图所示． ①当0≤x ≤3时，求y 与x 之间的函数关系． ②3＜x ≤12时，求y 与x 之间的函数关系．
③当容器内的水量大于5升时，求时间x 的取值范围．
20．（8分）如图，在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.
（1）求证：四边形BFDE是矩形
（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．
21．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE．求证：DE∥BF．
22．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．
23．（10分）如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF=45°，F在CD上，BF交CD于点E，连接AE，AE⊥AD．
(1)若BG=1，10EF的长度；
(2)求证：2BE=AB．
24．（10分）平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC中的顶点B在x轴的正半轴上，点A在反比例函数y=k x
（x＞0）的图象上，点C的坐标为（3，﹣4）．（1）点A的坐标为_____；
（2）若将菱形OABC沿y轴正方向平移，使其某个顶点落在反比例函数y=k
x
（x＞0）的图象上，则该菱形向上平移
的距离为_____．
25．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，图象如图2所示．
（1）在这个变化中，自变量、因变量分别是、；
（2）当点P运动的路程x＝4时，△ABP的面积为y＝；
（3）求AB的长和梯形ABCD的面积．
26．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝43，E为对角线AC上的动点（点E不与A，C重合），连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AD于点F．
（1）如图1，当AE＝AF时，求∠AEB的度数；
（2）如图2，分别过点B，F作EF，BE的平行线，且两直线相交于点G．
①试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；
②连接AG，设CE＝x，AG＝y，请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过程．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分） 1、A 【解题分析】
根据一次函数的定义条件解答即可． 【题目详解】
解：①y=kx ，当k=0时原式不是函数； ②2
3
y x =
，是一次函数； ③由于()2
1=y x x x x =--，则()1y x x x =--不是一次函数； ④y=x 2+1自变量次数不为1，故不是一次函数； ⑤y=22-x 是一次函数． 故选A ． 【题目点拨】
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b 的定义条件是：k 、b 为常数，k ≠0，自变量次数为1． 2、C 【解题分析】
根据矩形的性质即可判断. 【题目详解】
因为矩形的对角线相等且互相平分，所以选项C 正确， 故选C ． 【题目点拨】
本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的性质． 3、B 【解题分析】
根据平均数和方差的定义分别计算可得．
解：==55，
==55，
则=×[(58-55)2+2×(53-55)2+(51-55)2+(60-55)2]=11.6，
=×[(54-55)2+(53-55)2+(56-55)2+(55-55)2+(57-55)2]=2，
故选：B．
【题目点拨】
本题主要考查了方差的计算，熟记方差的计算公式是解决此题的关键．
4、D
【解题分析】
分段来考虑：点E沿A→B运动，△ADE的面积逐渐变大；点E沿B→C移动，△ADE的面积不变；点E沿C→D的路径移动，△ADE的面积逐渐减小，据此选择即可．
【题目详解】
点E沿A→B运动，△ADE的面积逐渐变大，设菱形的边长为a，∠A=β，
∴AE边上的高为ABsinβ=a•sinβ，
∴y=1
2 x•a•sinβ，
点E沿B→C移动，△ADE的面积不变；
点E沿C→D的路径移动，△ADE的面积逐渐减小．
y=1
2
（3a-x）•sinβ，
故选D．
【题目点拨】
本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．
5、D
【解题分析】
根据算术平方根的定义，开方运算是求算术平方根，结果是非负数，同类根式相加减，把同类二次根式的系数相加减, 做为结果的系数, 根号及根号内部都不变.
【题目详解】
解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
D、，符合题意.
故答案为：D
【题目点拨】
本题考查了算术平方根的计算、二次根式的计算，熟练掌握数的开方、同类二次根式的合并及二次根式商的性质是解题的关键.
6、D
【解题分析】
在取值范围内找到满足条件的正整数解即可．
【题目详解】
不等式2
x>的正整数解有无数个，
四个选项中满足条件的只有5
故选:D.
【题目点拨】
考查不等式的解，使不等式成立的未知数的值就是不等式的解.
7、B
【解题分析】
先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【题目详解】
A822
=A选项错误；
B21
x+是最简二次根式，故B选项正确；
C3y y y
=
D 11
2
22
=D选项错误；
故选：B．
【题目点拨】
考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．8、B
【解题分析】
根据众数、中位数、极差的概念，采用逐一检验法进行答题．
【题目详解】
A、数据24出现了10次，出现次数最多，所以这组数据的众数是24分，故A正确；
B、
202214223238241025926627328
x
2438109631
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+
=
++++++++
=24分，故B错误；
C、这组数据一共有46个数据，2+4+3+8=17<23，2+4+3+8+10=27>24，所以这组数据的中位数是24分，故C正确；
D、该组数据的极差是28-20=8分，故D正确，
符合题意的是B选项，
故选B．
【题目点拨】
本题考查了平均数，中位数，众数及极差的概念及求法，熟练掌握相关定义以及求解方法是解题的关键.
9、C
【解题分析】
过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，连接AF．只要证明Rt△FNE∽Rt△ECD，利用相似比2：1解决问题．再证明△CNF是等腰直角三角形即可解决问题．
【题目详解】
过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，连接AF.
∵∠DCE=∠ENF=90°,∠DEC+∠NEF=90°,∠NEF+∠EFN=90°,
∴∠DEC=∠EFN，
∴Rt△FNE∽Rt△ECD，
∵DE的中点G,EG绕E顺时针旋转90°得EF，
∴两三角形相似比为1:2，
∴可以得到CE=2NF,NE=1
2
CD=5.
∵AC平分正方形直角，
∴∠NFC=45°，
∴△CNF是等腰直角三角形，
∴CE=
23NE=23
⨯5=103， 故选C. 【题目点拨】
本题考查正方形的性质和旋转的性质，解题的关键是掌握正方形的性质和旋转的性质. 10、C 【解题分析】
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，据此解答即可． 【题目详解】
解：A 、夏季冷饮市场上某种冰淇淋的质量，适合抽样调查，故本选项错误； B 、某品牌灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故本选项错误； C 、某校九年级三班学生的视力，适合全面调查，故本选项正确； D 、调查公民保护环境的意识，适合抽样调查，故本选项错误． 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 11、D 【解题分析】
因为样本1x ，2x ，3x ，4x 的平均数是2，即2=1234
4
x x x x +++，
所以1x +3，2x +3，3x +3，4x +3的平均数是1
23412
4
x x x x ++++=2+3=1． 故选D ． 12、C 【解题分析】
根据一次函数的定义进行分析，即可得到答案. 【题目详解】
解：根据题意，一次函数有：y x π=，21y x =-，1
23y x -=-，共3个；
【题目点拨】
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、y=-x+1．
【解题分析】
根据一次函数的平移可得直线y=ax+5的图象向下平移2个单位后得y=ax+1，然后把（2，1）代入y=ax+1即可求出a 的值，问题得解.
【题目详解】
解：由一次函数y=ax+5的图象向下平移2个单位后得y=ax+1，
∵经过点（2，1），
∴1=2a+1，解得：a=-1，
∴平移后的直线的解析式为y=-x+1，
故答案为：y=-x+1.
【题目点拨】
本题考查一次函数图像上的点的应用和图像平移规律，其中一次函数图像上的点的应用是解答的关键，即将点的坐标代入解析式，解析式成立，则点在函数图像上.
14、（1，2）
【解题分析】
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得线段AB向右平移1个单位，向上平移1个单位，进而可得a、b的值．
【题目详解】
解：∵A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，1），平移后A1（3，1），
∴线段AB向右平移1个单位，向上平移1个单位，
∴a=0+1=1，b=1+1=2，
点B1的坐标为（1，2），
故答案为（1，2），
【题目点拨】
本题考查坐标与图形的变化--平移，解题关键是掌握点的坐标的变化规律．
15、
5
【解题分析】
由△ADE ≌△DCF 可导出四边形CEPF 对角互补，而CE ＝CF ，于是将△CEP 绕C 点逆时针旋转90°至△CFG ，可得△CPG 是等腰直角三角形，从而PG ＝PF +FG ＝PF +PE ＝2CP ，求出PE 和PF 的长度即可求出PC 的长度．
【题目详解】
解：如图，作CG ⊥CP 交DF 的延长线于G ．
则∠PCF +∠GCF ＝∠PCG ＝90°，
∵四边形ABCD 是边长为2的正方形，
∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ＝2，∠ADC ＝∠DCB ＝90°，
∵E 、F 分别为CD 、BC 中点，
∴DE ＝CE ＝CF ＝BF ＝1，
∴AE ＝DF 5
∴DP ＝AD DE AE
⋅25， ∴PE 5，PF ＝355， 在△ADE 和△DCF 中：
AD DC ADE DCF DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADE ≌△DCF （SAS ），
∴∠AED ＝∠DFC ，
∴∠CEP ＝∠CFG ，
∵∠ECP +∠PCF ＝∠DCB ＝90°，
∴∠ECP ＝∠FCG ，
在△ECP 和△FCG 中：
CEP CFG CF CF
ECP FCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ECP ≌△FCG （ASA ），
∴CP ＝CG ，EP ＝FG ，
∴△PCG 为等腰直角三角形，
∴PG ＝PF +FG ＝PF +PE
， ∴CP
．
故答案为：
5． 【题目点拨】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
16、x ＋3＝1(或x －1＝1)
【解题分析】
试题分析：把方程左边分解，则原方程可化为x ﹣1=1或x+3=1．
解：（x ﹣1）（x+3）=1，
x ﹣1=1或x+3=1．
故答案为x ﹣1=1或x+3=1．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
17、三
【解题分析】
根据在第二象限中，横坐标小于0，纵坐标大于0，所以-n ＜0，m ＜0，再根据每个象限的特点，得出点B 在第三象限，即可解答．
【题目详解】
解：∵点A （m ，n ）在第二象限，
∴m ＜0，n ＞0，
∴-n ＜0，m ＜0，
∵点B （-n ，m ）在第三象限，
故答案为三．
【题目点拨】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
18、x >1
【解题分析】
根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集．
【题目详解】
-1231x x >⎧⎨+≥⎩
①②， 解不等式①，得x ＞1，
解不等式②，得x≥-2，
所以不等式组的解集为：x ＞1．
故答案为：x ＞1.
【题目点拨】
本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、①当0≤x ≤3时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝5x ； ②5203
y x =-+； ③1＜x ＜1．
【解题分析】
①当0≤x ≤3时，设y ＝mx （m ≠0），根据图象当x=3时，y=15求出m 即可；
②当3＜x ≤12时，设y ＝kx+b （k ≠0），根据图象过点（3,15）和点（12,0），然后代入求出k 和b 即可；
③根据函数图象的增减性求出x 的取值范围即可.
【题目详解】
解：①当0≤x ≤3时，设y ＝mx （m ≠0），
则3m ＝15，
解得m ＝5，
∴当0≤x ≤3时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝5x ；
②当3＜x≤12时，设y＝kx+b（k≠0），∵函数图象经过点（3，15），（12，0），
∴
315
120
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
5
3
20
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴当3＜x≤12时，y与x之间的函数关系式y＝﹣5
3
x+20；
③当y＝5时，由5x＝5得，x＝1；
由﹣5
3
x+20＝5得，x＝1．
∴由图象可知，当容器内的水量大于5升时，时间x的取值范围是1＜x＜1．
【题目点拨】
一次函数的解析式及其性质是本题的考点，根据题意读懂图象是解题的关键.
20、见解析
【解题分析】
分析：（1）由平行四边形的性质和已知条件得出BE=DF，证明四边形BFDE为平行四边形，再由DE⊥AB，即可得出结论；
（2）由矩形的性质和勾股定理求出BC，得出AD=BC=DF，证出∠DAF=∠DFA，再由平行线的性质即可得出结论．详解：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵CF＝AE，
∴BE＝DF.∴四边形BFDE为平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°
.∴四边形BFDE是矩形．
（2）∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°.
∴∠BFC＝90°
.在Rt△BFC中，由勾股定理得BC
＝10.
∴AD＝BC＝10. 又∵DF＝10，∴AD＝DF
.∴∠DAF＝∠DFA.
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠FAB.
∴∠DAF＝∠FAB.
∴AF是∠DAB的平分线．
点睛：本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形BFDE是矩形是解决问题的关键．
21、证明见解析
【解题分析】
直接连接BD，交AC于点O，利用平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，进而得出四边形EBFD是平行四边形求出答案即可．
【题目详解】
证明：连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵AF=CE，
∴OF=OE．
∴四边形EBFD是平行四边形．
∴DE∥BF．
【题目点拨】
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，正确得出四边形EBFD是平行四边形是解题关键．
22、证明见解析.
【解题分析】
根据平行四边形的判定推出四边形OBEC是平行四边形，根据菱形性质求出∠AOB=90°，根据矩形的判定推出即可．【题目详解】
∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，且AC、BD是对角线，
∴AC ⊥BD ，
∴∠BOC ＝90°，
∴平行四边形OBEC 是矩形．
【题目点拨】
本题考查了菱形性质，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
23、()1EF =；()2证明见解析.
【解题分析】
（1）根据勾股定理得到CG==3，推出BG=EG=1，得到CE=2，根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，于是得到结论；
（2）延长AE 交BC 于H ，根据平行四边形的性质得到BC ∥AD ，根据平行线的性质得到∠AHB=∠HAD ，推出∠GAE=∠GCB ，根据全等三角形的性质得到AG=CG ，于是得到结论．
【题目详解】
()1CG AB ⊥，
AGC CGB 90∠∠∴==，
BG 1=，BC =
CG 3∴==，
ABF 45∠=，
BG EG 1∴==，
CE 2∴=，
四边形ABCD 是平行四边形，
AB//CD ∴，
GCD BGC 90∠∠∴==，EFG GBE 45∠∠==，
CF CE 2∴==，
EF ∴==
()2如图，延长AE 交BC 于H ，
四边形ABCD 是平行四边形，
BC //AD ∴，
AHB HAD ∠∠∴=，
AE AD ⊥，
AHB HAD 90∠∠∴==，
BAH ABH BCG CBG 90∠∠∠∠∴+=+=，
GAE GCB ∠∠∴=，
在BCG 与EAG 中，90AGE CGB GAE GCB GE BG ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=
⎩
， BCG ∴≌()EAG AAS ，
AG CG ∴=，
AB BG AG CE EG BG ∴=+=++，
2BG EG ==， CE 2BE AB ∴=．
【题目点拨】
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题关键．
24、（1）（3，4）
（2）2或8
【解题分析】
（1）根据菱形的对称性，得A(3，4)
（2）则反比例函数为12y x
= 则B(6，0),若点B 向上平移到反比例函数上．则B(6,2)，即向上平移2个单位；若点C 在反比例函数上，则C （3,4），即向上平移8个单位.故该菱形向上平移的距离为2或8.
25、（1）x，y；（2）2；（3）AB=8，梯形ABCD的面积=1．
【解题分析】
（1）依据点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，即可得到自变量和因变量；
（2）依据函数图象，即可得到点P运动的路程x=4时，△ABP的面积；
（3）根据图象得出BC的长，以及此时三角形ABP面积，利用三角形面积公式求出AB的长即可；由函数图象得出DC的长，利用梯形面积公式求出梯形ABCD面积即可．
【题目详解】
（1）∵点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，∴自变量为x，因变量为y．
故答案为x，y；
（2）由图可得：当点P运动的路程x=4时，△ABP的面积为y=2．
故答案为2；
（3）根据图象得：BC=4，此时△ABP为2，∴1
2
AB•BC=2，即
1
2
×AB×4=2，解得：AB=8；
由图象得：DC=9﹣4=5，则S梯形ABCD=1
2
×BC×（DC+AB）=
1
2
×4×（5+8）=1．
【题目点拨】
本题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解答本题的关键．
26、（1）45°；（2）①四边形BEFG是菱形，83；② y＝21248
x x
-+（0＜x＜12）
【解题分析】
（1）利用等腰三角形的性质求出∠AEF即可解决问题．
（2）①证明四边形BEFG是菱形，根据垂线段最短，求出BE的最小值即可解决问题．
②如图2﹣1中，连接BD，DE，过点E作EH⊥CD于H．证明△ABG≌△DBE（SAS），推出AG＝DE＝y，在Rt△CEH
中，EH＝1
2
EC＝
1
2
x．CH＝
3
2
x，推出DH＝|43﹣
3
2
x|，在Rt△DEH中，根据DE2＝EH2+DH2，构建方程求
解即可．
【题目详解】
解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，∠BAC＝∠DAC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠EAF＝30°，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝75°，
∵∠BEF＝120°，
∴∠AEB＝120°﹣75°＝45°．
（2）①如图2中，连接DE．
∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE，
∵∠BAF+∠BEF＝60°+120°＝180°，
∴∠ABE+∠AFE＝180°，
∵∠AFE+∠EFD＝180°，
∴∠EFD＝∠ABE，
∴∠EFD＝∠ADE，
∴EF＝ED，
∴EF＝BE，
∵BE∥FG，BG∥EF，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∵EB＝EF，
∴四边形BEFG是菱形，
∴当BE⊥AC时，菱形BEFG的周长最小，此时BE＝AB•sin30°＝3
∴四边形BGFE的周长的最小值为83．
②如图2﹣1中，连接BD，DE，过点E作EH⊥CD于H．
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝BA，∠ABD＝60°，
∵BG∥EF，
∴∠EBG＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABD＝∠GBE，
∴∠ABG＝∠DBE，
∵BG＝BE，
∴△ABG≌△DBE（SAS），
∴AG＝DE＝y，
在Rt△CEH中，EH＝1
2
EC＝
1
2
x．CH
3
，
∴DH＝3﹣3
，
在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2，
∴y2＝1
4
x2+（3﹣
3
2
x）2，
∴y2＝x2﹣12x+48，
∴y21248
x x
-+0＜x＜12）．
【题目点拨】
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。