高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第54课 直线与平面垂直的判定和性质 文(含解析)-人教版高三全

第54课 直线与平面垂直的判定和性质
1.直线与平面垂直
（1）定义：如果直线l 与平面α内的 任意一条直线都垂直，那么就说直线l 与平面α互相垂直．记作l α⊥
（2）直线与平面垂直的判定 例1.(2013·某某卷)如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝
2
2
. (1)证明：DE //平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ； (3)当AD ＝2
3
时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG .
类别
语言表述
图示 字母表示 作用
判定
（1）若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
,m n m n P a a m a n α
α⊂⎫⎪
=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭
、
用于证明直线与平面垂直
（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面
//a b a b αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭
用于证明直线与平面垂直
(1)证明：在等边三角形ABC 中，AD ＝AE . ∴AD DB ＝AE EC
，在折叠后的三棱锥ABCF 中也成立， ∴DE ∥BC ，∵DE ⊄平面BCF,
BC ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF .
(2)证明：在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF ⊥BC ，①
BF ＝CF ＝12
.
∵在三棱锥A －BCF 中，BC ＝22
，∴BC 2＝BF 2＋CF 2
， ∴CF ⊥BF ，②
∵BF ∩CF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .
(3)解析：由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG . ∴V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12·DG ·FG ·GE ＝13×12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32×1
3＝3324
.
练习：如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．
（1）求证:BC ⊥平面PAC ；
（2）设Q 为PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，求证：平面QOG ∥平面PBC ．
【解析】（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，
∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴
PA BC ⊥， ∵PA
AC A =，∴BC ⊥平面PAC ．
（2）连结OG 并延长交AC 于M ，连结,QM QO ， ∵G 为AOC ∆的重心，∴M 为AC 的中点， ∵Q 为PA 的中点，∴QM ∥PC ， ∵QM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC
A
∴QM ∥平面PBC
∵O 为AB 的中点，M 为AC 的中点，∴OM ∥BC ， ∵OM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ∴OM ∥平面PBC ，而QM ∥平面PBC ∵QM
OM M =，QM ⊂平面QMO ，OM ⊂平面QMO ，
∴平面QMO ∥平面PBC ，即平面QOG ∥平面PBC
（3）直线与平面垂直的性质
例2.如图，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积． 【解】(1)证明：
取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB . 由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .
类别
语言表述
图示 字母表示 作用
性质 （1）若一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条
直线
a a
b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭
证两条直线垂直
（2）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行
//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭
证两条直线平行
因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .
(2)由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1＝ 3. 又A 1C ＝6，则A 1C 2
＝OC 2
＋OA 2
1，故OA 1⊥OC .
因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的高． 又△ABC 的面积S △ABC ＝3，故三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ·OA 1＝3. 练习：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，60BCD ︒
∠=，
2AB AD =，PD ⊥平面ABCD . 求证：AD ⊥PB ；
证明:∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥AD . ∵60BAD BCD ︒
∠=∠=，2AB AD =， ∴2
22260BD
AB AD AB AD cos ︒=+-⋅⋅
2222AB AD AD =+-22AB AD =-.
∴2
2AB
AD =2BD +∴AD BD ⊥.
∵PD
BD D =，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，
∴AD ⊥平面PBD . ∵PB ⊂平面PBD ， ∴AD PB ⊥. 2.直线与平面所成的角
（1）一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角. （2）直线与平面所成的角的X 围是[0,
]2
π
（3）如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角．
练习：若四棱锥P ABCD -的所有棱长均为2，则侧棱PA 与底面ABCD 所成的角为 ， 斜高与底面底面ABCD 所成的角的正切值为
第54课 直线与平面垂直的判定和性质作业题
1．一条直线与一个平面垂直的条件是 ( ) A. 垂直于平面内的一条直线 B. 垂直于平面内的两条直线 C. 垂直于平面内的无数条直线 D. 垂直于平面内的两条相交直线 解析：D
2. 如果平面α外的一条直线a 与α内两条直线垂直，那么 ( ) A. a ⊥α B. a ∥α C. a 与α斜交 D. 以上三种均有可能
解析：D
3. 已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面a、β，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊥a，n⊥β，a⊥β，则m⊥n
B．若m⊥a，n∥β，a⊥β，则m⊥n
C．若m∥a，n∥β，a∥β，则m∥n
D．若m∥a，n⊥β，a⊥β，则m∥n
【答案】A
【解析】
试题分析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中记ABCD为平面a，CDC1D1为平面β，直线AA1为m，直线BB1为n，则m∥n，因此选项B为假；同理选项D也为假，取平面r∥a∥β，则平面内的任意一条直线都可以为直线m,n，因此选项C为假，答案选A.
考点：空间几何中直线与直线的位置关系
4. 如图，BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、PC，作PD⊥BC于D，连结AD，则图中共有直角三角形_________个。

解：8个。

因为AP⊥平面ABC，PD⊥BC，AD是PD的射影，由三垂线定理，
得AD⊥BC。

从而△PAB、△PAC、△PAD、△ABC、△ABD、△ACD、△PBD、
△PDC都是直角三角形。

5．如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是异于A、B的⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于E ，
求证：（1）BC⊥平面PAC（2）AE⊥平面PBC
证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC
又∵AE 平面PAC，∴BC⊥AE
∵PC⊥AE且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC
6．如图，已知ABCD是空间四边形，AB＝AD，CB＝CD，求证：BD⊥AC
证明：设BD的中点为K，连结AK、CK，
∵AB＝AD，K为BD中点
∴AK⊥BD
同理CK⊥BD，且AK∩KC＝K
∴BD⊥平面AKC
∴BD垂直于平面AKC内的所有直线
∴BD ⊥AC
7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1中点，O 为底面ABCD 中心， 求证：B 1O ⊥平面PAC
证明：如图：连结AB 1，CB 1，设AB ＝1
∵AB 1＝CB 1＝2，AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ，连结PB 1，
222111194PB PD B D =+=
∵2321221=+=BB OB OB ，432
22=+=DO PD OP
∴2
12
2
1PB OP OB =+，∴B 1O ⊥PO ， ∴B 1O ⊥平面PAC 。

8．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1,AB AC AC AA ⊥=，E 、F 分别是棱1BC CC 、的中点.
F
E
B 1
C 1
A 1
B
A
C
（Ⅰ）求证：AB ⊥平面AA 1 C 1C ；
（Ⅱ）若线段AC 上的点D 满足平面DEF //平面1ABC ，试确定点D 的位置，并说明理由； 【答案】见解析 【解析】（I ）
1A A ⊥底面ABC ，
1A A ∴⊥AB ， 3分 AB AC ⊥，1A A AC A =，
AB ∴⊥面11A ACC . 6分 F
D E
B 1
C 1
1
B
A
C
（II ）面DEF //面1ABC ，面ABC
面DEF DE =，面ABC
面1ABC AB =，
AB ∴//DE ， 10分
在ABC ∆中E 是棱BC 的中点， D ∴是线段AC 的中点. 12分
【考点定位】本题主要考查立体几何平行、垂直关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、空间想象能力和推理论证能力．
9．在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA 1=4，点D 在棱AB 上．
(1)求证：AC ⊥B 1C ；
（2）若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD. 【答案】(1)详见解析；（2）详见解析 【解析】 试题分析：（1）要证明AC ⊥B 1C ，根据线面垂直的判定定理，只要转化证明AC ⊥平面BB 1C 1C 即可；
（2）要证明AC 1∥平面B 1CD ，根据线面的判定定理，只要转换证明DE//AC 1即可. 试题解析：(1)证明：在△ABC 中，因为AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC 2+BC 2=AB 2
，所以AC ⊥BC ．
因为直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，所以CC 1⊥AC ， 因为BC ∩AC=C ，所以AC ⊥平面BB 1C 1C ． 所以AC ⊥B 1C ． 6分
（2）连结BC 1，交B 1C 于E ，连接DE ．
因为直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，D 是AB 中点，所以侧面BB 1C 1C 为矩形， DE 为△ABC 1的中位线，所以DE//AC 1．
因为DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ，所以AC 1∥平面B 1CD ． 12分 考点：空间位置关系的证明.
10. ．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.
（1）证明：;1AB C B ⊥
（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB
求三棱柱
111C B A ABC -的高.
【答案】（1）详见解析;（2）三棱柱111ABC A B C -21
. 【解析】 试题分析：（1）根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边形是菱形，故可想到连结1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，又因为侧面11BB C C 为菱形，对角线相互垂直11B C BC ⊥;又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，根据线面垂直的判定定理可
得：1B C ⊥平面ABO ，结合线面垂直的性质：由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥;（2）要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O 到平面ABC 的距离，即：作OD BC ⊥，垂足为D ，连结AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，则由线面垂直的判定定理可得OH ⊥平面ABC ，再根据三角形面积相等：OH AD OD OA ⋅=⋅，可求出OH 的长度，最后由三棱柱
111ABC A B C -的高为此距离的两倍即可确定出高．
试题解析：（1）连结1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点. 因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥. 又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥， 故1B C ⊥平面ABO.
由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥.
（2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连结AD ，作OH AD ⊥，垂足为H.
由于，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥， 又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC.
因为0
160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得3OD =
. 由于1AC AB ⊥，所以11122
OA B C =
=, 由OH AD OD OA ⋅=⋅，且2
2
7AD OD OA =+=
21
OH = 又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 21
. 故三棱柱111ABC A B C -的高为
217
.。